新高考数学二轮专题《立体几何》第4讲 直线与平面所成的角（2份打包，解析版+原卷版）

第4讲 直线与平面所成的角

一．选择题（共2小题）

1．正方体的棱长为6，点在上，且，过点的直线与直线，分别交于，两点，则与面所成角的正弦值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：平面，

是与面所成角，

设与交点为，连结，

平面，平面，平面平面，

，

是的中点，是的中点，

是的中点，，

，，

．

故选：．

2．在正方体中，点为底面的中心，点为线段的中点，则直线与平面所成角的大小为　　

A． B． C． D．

【解答】解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

设正方体中棱长为2，

，1，，，2，，，0，，，0，，，2，，

，1，，，0，，，2，，

设平面的法向量，，，

则，取，得，，，

设直线与平面所成角的大小为，

则．

．

直线与平面所成角的大小为．

故选：．

二．填空题（共7小题）

3．如图，在长方体中，已知，，则直线与平面所成角的正弦值是　　．

【解答】解：连接交于点，连接，

在长方体中，因为，

所以，因为，，

所以平面，

所以直线与平面所成的角为，

已知，，

所以，，

由平面，平面，

所以，

所以．

即直线与平面所成角的正弦值是．

故答案为：．

4．在直角梯形中，，，，若将沿直线折成△，使得，则直线与平面所成角的正弦值是　　．

【解答】解：过作于，连结，过作，连结．

，，，

平面，平面，

，又，，

平面．

为直线与平面所成的角．

在直角梯形中，过作，交于，交于，

设，则，，

，．

由得，即，．

．

．

故答案为．

5．已知长方体中，，，则直线和平面所成角的正弦值为　　．

【解答】解：由题意，连接，交于点

长方体中，

平面

在中，

直线和平面所成角的正弦值为．

故答案为：．

6．和所在的平面互相垂直，且，，则与平面所成角的余弦值为　　．

【解答】解：设，作于点，连，以点为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴方向，

建立坐标系，因为，，所以与都是正三角形，可得下列坐标：

，0，，，0，，，，，，，，，0，

，0，，显然，0，为平面的一个法向量，

直线与平面所成角的余弦值为：．

故答案为：．

7．已知和所在的平面互相垂直，且，，则与平面所成角的正弦值为　　．

【解答】解：设，作于点，连，以点为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴方向，建立坐标系，

得下列坐标：

，0，，，0，，，，，，，，

，0，

，，，，

设平面的法向量为，则

可取

与平面所成角的正弦值为

故答案为：

8．如图，的等腰直角三角形与正三角形所在平面互相垂直，是的中点，则与平面所成角的大小为　　．

【解答】解：取中点，连，，，设，

则，，，，

由平面平面，

平面，

则即为与平面所成角

在中，直角边

即与平面所成角的大小为

故答案为：．

9．是直角三角形所在平面外一点，已知三角形的边长，，，，则直线与平面所成角的余弦值为　　．

【解答】解：取的中点，连接，，

，是的中点，，

，，，，

，又，

，，

，

又，

平面，为直线与平面所成的角，

．

故答案为：．

三．解答题（共7小题）

10．已知平面外两点、到平面的距离分别为1和2，、两点在平面内的射影之间的距离为，求直线和平面所成的角．

【解答】解：设所在的直线和平面所成的角是，

平面外两点、到平面的距离分别为1和2，、两点在平面内的射影之间的距离为，

可得

结合，，可得

即所在的直线和平面所成的角为．

11．如图，在直角三角形中，，为三角形所在平面外的一点，平面，若，，．

求直线与平面所成的角

（Ⅱ）求直线与平面所成的角．

（Ⅲ）求直线和平面所成角的正弦值．

【解答】解：（Ⅰ）平面，

是直线与平面所成的角，

，，

，

，

直线与平面所成的角为．

（Ⅱ）在直角三角形中，，为三角形所在平面外的一点，平面，

，，

又，平面，

是直线与平面所成的角，

，，．

，

，

，

直线与平面所成的角为．

（Ⅲ）以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，

设平面的法向量，，，

，，

，，，，0，，，，，，0，，

，，，，0，，，，，

则，取，得，

设直线和平面所成角为，

则．

直线和平面所成角的正弦值为．

12．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正切值．

【解答】证明：（Ⅰ）取的中点，连结，．

是的中点，，

又，．

四边形为平行四边形．

，又平面，平面．

平面．

（Ⅱ）取的中点，连结，

，，，

四边形是正方形，，，

，又，，

，．

平面平面，平面平面，平面，

平面．

（Ⅲ）过点作交的延长线于点，连结，

因为平面平面，平面平面，平面，

平面，

为直线与平面所成角，

，，．

，，．

，

．

13．如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，，分别为，的中点，为上一点．过和的平面交于，交于．

（1）证明：，且平面平面；

（2）设为△的中心．若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值．

【解答】解：（1）证明：，分别为，的中点，底面为正三角形，

，四边形为矩形，，

，，，

，，，

平面，

平面，

平面平面，

综上，，且平面平面．

（2）解：三棱柱上下底面平行，平面与上下底面分别交于，，

，

面，面，面面，

，四边形为平行四边形，

是正三角形的中心，，

，，，

由（1）知直线在平面内的投影为，

直线与平面所成角即为等腰梯形中与所成角，

在等腰梯形中，令，过作于，

则，，，

，

直线与平面所成角的正弦值为．

14．如图，已知三棱柱的侧面为矩形，，，，分别为、的中点，过作平面分别交、、于点、、．

（1）求证：平面平面．

（2）若为线段上一点，，平面．则当为何值时直线与平面所成角的正弦值为．（请说明理由）

【解答】（1）证明：四边形是矩形，

，，，

又是的中点，是的中点，

，

四边形是矩形，

，

，是的中点，

，

又，平面，平面，

平面，又平面，

平面平面．

（2）解：连接，

平面平面，平面，平面，

，又，

，

平面，平面，平面平面，

，

，

，

四边形是平行四边形，，

四边形是平行四边形，，，

，，

在上取点，使得，则，，

四边形是平行四边形，，

又平面，为直线与平面所成的角，即，

即，又，，

，

．

15．如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，分别是，的中点，点在直线上，且．

（Ⅰ）证明：无论取何值，总有；

（Ⅱ）当取何值时，直线与平面所成的角最大？并求该角取最大值时的正切值．

【解答】证明：，，，

，即、、两两相互垂直．

以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则，0，，，0，，，2，，，1，．

，，0，，，1，，

．

无论取何值，．

（Ⅱ），0，是平面的一个法向量．

．

当时，取得最大值，

此时，，．

16．如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，、分别是，的中点，点在线段上，且

（1）证明：无论取何值，总有；

（2）当时，求直线与平面所成角的正切值．

【解答】（1）证明：以为坐标原点，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，

由题意知：，0，，，0，，，1，，，，，

，0，，，0，，，，，

，1，，，

无论取何值，总有．（6分）

（2）解：时，，，，

由题意知平面的法向量，0，（8分）

设为与面所成角，

则，，（12分）

，

直线与平面所成角的正切值为2．（13分）