新高考数学二轮专题《导数》第19讲 导数解答题之凹凸反转问题（2份打包，解析版+原卷版）

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第19讲 导数解答题之凹凸反转问题1．设函数，．（1）判断函数零点的个数，并说明理由；（2）记，讨论的单调性；（3）若在恒成立，求实数的取值范围．【解析】解：（1）由题意得：，，故在递增；又（1），（e），故函数在内存在零点，的零点个数是1；（2），，当时，，在递减，当时，由，解得：（舍取负值），时，，递减，，时，，递增，综上，时，在递减，时，在递减，在，递增；（3）由题意得：，问题等价于在恒成立，设，若记，则，时，，在递增，（1），即，若，由于，故，故，即当在恒成立时，必有，当时，设，①若，即时，由（2）得，递减，，，递增，故（1），而，即存在，使得，故时，不恒成立；②若，即时，设，，由于，且，即，故，因此，故在递增，故（1），即时，在恒成立，综上，，时，在恒成立．2．设函数，证明．【解析】证明： ，从而等价于 ．设函数 ，则 ，所以当时，；当，时，．故在上单调递减，在，上单调递增，从而在上的最小值为．设函数，则．所以当时，；当时，．故在上单调递增，在上单调递减，从而在上的最大值为（1）；因为（1），所以当时，，即．3．设函数．（1）当时，求的极值；（2）当时，证明：在上恒成立．【解析】解：（1）当时，，当时，；当时，．在上单调递增，在上单调递减；在处取得极大值（2），无极小值；（2）当时，，下面证，即证，设，则，在上，，是减函数；在上，，是增函数．所以，设，则，在上，，是增函数；在上，，是减函数，所以，所以，即，所以，即，即在上恒成立．4．已知函数．（Ⅰ）当时，求的单调区间与极值；（Ⅱ）当时，证明：．【解析】解：（Ⅰ）时，，，注意到与都是增函数，于是在上递增，又，故时，；故时，，所以在上单调递减，在上单调递增，当时，取得极小值1，无极大值．（6分）（Ⅱ）方法一：当，时，，，，，故只需证明当时，．当时，在上单增，又，，故在上有唯一零点．当时，；当，时，．从而时，取得最小值．由得：，，故，综上，当时，．（12分）方法二：先证不等式与，设，则，可得在上单减，在上单增，，即；设，则，可得在上单增，在上单减，（1），即．于是，当时，，注意到以上三个不等号的取等条件分别为：、、，它们无法同时取等，所以，当时，，即．（12分）5．设函数，，其中，，是自然对数的底数．（1）设，当时，求的最小值；（2）证明：当，时，总存在两条直线与曲线与都相切；（3）当时，证明：．【解析】解：（1），，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故时，取得最小值；（2），在处的切线方程为，，在点处的切线方程为，由题意得，则，令，则，由（1）得时，单调递减，且，当时，单调递增，又（1），时，，当时，，单调递减；当时，，单调递减，由（1）得，又，（1），所以函数在和内各有一个零点，故当时，总存在两条直线与曲线与都相切；（3）证明：，令，以下证明当时，的最小值大于0，求导的，①当时，，（1），②当时，，令，，又（2），，又（2）取且使，即，则，（2），故存在唯一零点，即有唯一的极值点，又，且，即，故，，故是上的减函数，（2），所以，综上所求，当时，．6．设函数．（1）当时，求函数的极值点；（2）当时，证明：在上恒成立．【解析】解：（1）由题意得，当时，，在上为增函数；当时，，在上为减函数；所以是的极大值点，无极小值点（2）证明：令，则，令，则因为，所以函数在上单调递增，在上最多有一个零点，又因为，（1），所以存在唯一的使得（c），且当时，；当时，，即当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，从而（c），由（c）得即，两边取对数得：，所以（c），（c），从而证得．