2022年新高考数学二轮提升数列专题第21讲《数列中的公共项问题》（2份打包，解析版+原卷版）

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第21讲 数列中的公共项问题
一、单选题
1．（2021·全国·高二课时练习）已知两个等差数列5，8，11，…，302与3，7，11，…，399，则它们所有公共项的个数为（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
【答案】C
【分析】
求得新数列的首项以及公差，然后根据等差数列的通项公式进行求解.
【详解】
设两数列的所有相同的项构成的新数列为，，
又数列5，8，11，…，302的公差为3，
数列3，7，11，…，399的公差为4，
所以数列的公差为12，所以，解得，
所以两数列有25个公共项.
故选：C

二、多选题
2．（2022·全国·高三专题练习）已知，将数列与数列的公共项从小到大排列得到数列，则（ ）
A． B．
C．的前项和 D．的前项和为
【答案】BC
【分析】
先分析出数列为数列的子数列，从而判断出，求出的前项和.
【详解】
令，
所以，
当时，，所以数列为数列的子数列，
所以，所以的前项为.
故选：BC.
【点睛】
等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换和灵活运用性质．


三、双空题
3．（2021·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高二开学考试）已知两个等差数列：5，8，11，…与：3，7，11，…，它们的公共项组成数列，则数列的通项公式___________；若数列和的项数均为100，则的项数是___________.
【答案】 25
【分析】
根据等差数列，得到是等差数列及其公差，写出的通项公式，根据数列和的项数均为100，由的项是，的公共项，利用通项公式求解.
【详解】
因为等差数列：5，8，11，…的首项为5，公差为3，
所以通项公式为，
：3，7，11，…的首项为3，公差为4，
所以通项公式为，
所以它们的公共项组成数列是等差数列，且首项为11，公差为，
所以数列的通项公式；
因为数列和的项数均为100，
所以，解得 ，
所以的项数是25.
故答案为：，25.
4．（2021·北京昌平·高二期末）数列，，，，；，，，，，定义数列，，，，，，，.
①设，，，则数列的所有项的和等于___________；
②设，，，则数列与有___________个公共项.
【答案】19 2
【分析】
①由题意可以得到数列的通项公式，然后根据､的通项公式可以知道29个项里面有9个1，10个，10个2，从而得到问题解答；
②由题意可以得到数列和的通项公式，再令即可得到､的关系式，最后根据5的倍数与4的倍数的特征可以得到解答.
【详解】
①由题意可得：
，当时，数列的所有项的和为：
；
②由题意可得：
，，
很显然，要使，必须､同时为3的倍数或者同时不为3的倍数，
若､同时为3的倍数，则有，则或，此时或，不成立；
若､同时不为3的倍数，则有，则或14或19或29，此时对应的有或11或15或23，
把与题意相矛盾的舍去，剩下，或，，
即或，
即数列与有2个公共项；
故答案为19；2.

四、填空题
5．（2021·江苏·高二单元测试）将数列与的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前10项和为________
【答案】4046

【分析】
根据题意确定数列的前10项，利用等比数列的前n项和公式即可求出结果.
【详解】
因为数列是由和的公共项从小到大排列得到，
所以数列的前10项为，
即是以2为首项，以2为公比的等比数列.
所以数列的前10项和为
.
故答案为：4046
6．（2021·江西·南昌市八一中学高一月考）将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前n项和为_____________．
【答案】
【分析】
由已知数列观察得出公共项数列的首项和公差，然后由等差数列前项和公式计算．
【详解】
数列是首项为1，公差为4的等差数列，数列是首项为2公差为3的等差数列，它们的公共项是首项为5公差为12的等差数列，
所以．
故答案为：．
7．（2021·河南商丘·高三月考（理））将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则其通项___________.
【答案】
【分析】
经检验，数列中的偶数项都是数列中的项，观察归纳可得.
【详解】
数列中的项为：2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256，…
经检验，数列中的偶数项都是数列中的项.
即，，，256，… 可以写成的形式，观察，归纳可得.
故答案为：.

五、解答题
8．（2021·全国·高三专题练习）已知数列是公比为的等比数列，且满足，，成等比数列，为数列的前项和，且是和的等差中项，若数列是由数列中的项依次剔除与的公共项剩下的部分组成，求数列的前100项和.
【答案】11302
【分析】
根据数列是公比为的等比数列，满足，，成等比数列，得到，根据题意得到，计算，设，得到，数列的前105项中有5项需要剔除，计算得到答案.
【详解】
数列是公比为的等比数列，则，即，
即是公差为2的等差数列.
，，成等比数列，故，即，解得.
故.
是和的等差中项，则，
当时，，解得；
当时，，，两式相减得到，即，
故是首项为1公比为2的等比数列，，验证时满足.
故.
令，即，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，.
故数列的前105项中有5项需要剔除，分别为.
故数列的前100项和为.
9．（2020·江苏·高二期中）已知数列为首项为，公差为4的等差数列，数列满足:对任意的，都有.
（1）求数列，的通项公式；
（2）将数列，中的公共项按照从小到大重新排列构成新数列，求数列的通项公式以及数列的前项和.
【答案】（1），；（2）
【分析】
（1）依题意可得，再利用作差法得到；
（2）由（1）可得的首项为，公比为，即可得到、，再利用错位相减法求和即可；
【详解】
解：（1）依题意
因为，即①；
所以②；
①②得，，所以，
故，
（2）由（1）可知的首项为，公比为，故，所以
设的前项和为，则
①；
②；
①②得

所以
10．（2021·广东·横岗高中高三月考）已知数列的前项和满足，，且．
（1）求证：数列是常数列；
（2）求数列的通项公式．若数列通项公式，将数列与的公共项按从小到大的顺序排列得到数列，求的前项和．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）根据与的关系式得到，然后证明即可；
（2）根据（1）求出数列的通项公式，然后根据数列与的通项公式得到新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，从而根据等差数列的前项和公式求的前项和．
【详解】
（1）证明：由，得，
将上述两式相减，得，即．
，
则，
数列是常数列；
（2）由（1）可知，当时，，
，检验当时，也适用，
，
数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
又数列是以1为首项，以3为公差的等差数列，
这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，
的前项和为．
11．（2021·全国·高三专题练习）已知等差数列及关于x的方程（），且数列的公差，
（1）求证：这些方程有一个公共根；
（2）若方程的另一根为，求证：数列为等差数列；
（3）若数列的任意两不同项、（m、）之和都是数列的项，求与d满足的充要条件．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3），或（，）．
【分析】
（1）一元二次方程系有公共根，结合成等差数列，必有，与方程比较显然可以发现是方程系的公共根；
（2）使用韦达定理，求出，进一步表示出，通过等差数列的定义证明是等差数列；
（3）假设存在使成立，寻找与d满足的关系式（其中任意m、）．
【详解】
（1）证明：因为为等差数列，所以，
因此是方程的一个公共根．
（2）若方程的另一根为，则由韦达定理得，即，
故，即，
因此．
故数列是等差数列，得证．
（3）设存在t（），有，
即，所以，
存在，对任意m，恒成立，
若，则，即，故，．
若，则，
由m，k，，故为整数，设（），即，
因此，即，即，
又对任意m，k，恒成立，即对m，恒成立，
所以，即，．
综上所述，与d满足的充要条件是：，或（，）．
12．（2021·全国·高三专题练习）设数列与的通项公式分别是，，将它们的公共项从小到大排列成新数列，求的前n项和．
【答案】.
【分析】
先将所给数列与的前若干项一一列出，找出它们的公共项中的前几项，由这几项进行分析，猜想的项可能是中除去前两项的所有奇数项，构成以8为首项，以4为公比的等比数列．再证明猜想，可得出答案．
【详解】
解：由题意可知的前几项是：2，4，8，16，32，64，128，256，…，
的前几项是：5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，…（即被3除余2的数）．
由此可知，数列的前三项是8，32，128．
回到数列中，不难发现的项可能是中除去前两项的所有奇数项，构成以8为首项，以4为公比的等比数列．
对此猜想证明如下：
设数列中的第n项在中是第m项，在中是第k项，
由数列的定义可知，，故有，
则中的第项为．
显然，不是数列中的项，从而不是中的项．
而中的第项为：，
显然它是数列中的项，从而是中的第项，且，
故是以8为首项，4为公比的等比数列，且其前n项和为．
13．（2021·上海市复兴高级中学高一期末）已知各项均为正数的等差数列与等比数列满足，又、、成等比数列且.
（1）求数列、的通项公式；
（2）将数列、的所有公共项从小到大排序构成数列，试求数列前2021项之和；
（3）若，数列是严格递增数列，求的取值范围.
【答案】（1），；（2）；（3）.
【分析】
（1）设出公差和公比，用基本量表达出条件即可解出；
（2）根据两个数列的通项公式列举出的前几项，得出数列的类型再求和即可；
（3）根据数列的增减性，分类变量即可解出.
【详解】
（1）设公差为，公比为，由已知可得：，
又∵，解得：.
（2），∴是以4为首项，4为公比的等比数列，
则其前2021项和为
（3），，
∴，
∵是严格递增数列，∴恒成立，即恒成立，
设，则，即严格单调递增，
∴，∴.
14．（2015·江苏·高三月考）已知等比数列的首项，公比，数列前n项和记为，前n项积记为．
（1）证明：；
（2）求n为何值时，取得最大值；
（3）证明：若数列中的任意相邻三项按从小到大排列，则总可以使其成等差数列；若所有这些等差数列的公差按从大到小的顺序依次记为，则数列为等比数列．
【答案】（1）见解析；（2）12；（3）见解析．
【解析】
试题分析：（1）只要证明，即可，由等比数列前项和公式易得；（2）由于数列的项正负相间，因此中从第2项开始两项负两项正出现，因此可先求的最大值，为此求得，可见中的最大值是，只是，因此比较与它最接近的正值和，知最大；（3）由于数列是正负相间的，因此其相邻三项重新排序（按从小到大顺序）时要按的奇偶性分类，注意到是递减的，不论为奇数还是偶数，总有，且当为奇数时，，当为偶数时，，固有数列成等比数列．
试题解析：（1）证明：，
当时，等号成立，
，
∴．
（2）解：
∵，
∴当时，，当时，，
故．
又，，，，
∴的最大值是和中的较大者，
∵，∴，
因此当时，最大．
（3）证明：∵，∴随n增大而减小，奇数项均正，偶数项均负，
①当k是奇数时，设中的任意相邻三项按从小到大排列为，则
，，
∴，因此成等差数列，
公差，
②当k是偶数时，设中的任意相邻三项按从小到大排列为，则
，，
∴，因此成等差数列，
公差，
综上可知，中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，且
，∵，∴数列为等比数列．
考点：等比数列的前项和，数列的最大（小）项，等差数列与等比数列的判断．
【名师点晴】 1．等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式、前项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点．
2．有关数列的最大项、最小项，数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性常用①作差法，②作商法，③图象法．求最大项时也可用满足；若求最小项，则用满足．本题中数列中的正负依次出现，因此首先研究的单调性及最大项，再考虑的最大值．
15．（2020·江苏苏州·高三期末）已知数列满足，，其中是数列的前n项和.
（1）求和的值及数列的通项公式；
（2）设.
①若，求k的值；
②求证：数列（中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积.
【答案】（1），，；（2）①1，②见解析
【分析】
（1）利用递推关系式求出数列的前几项，同时求出数列的通项公式；（2）结合第一问的结论求出，①直接代入即可求解；②对于给定的，若存在，，，，使得，只要找到相应的整数，即可证明．
【详解】
（1）时，，所以，
时，，所以，所以.
由，①
所以，②
由②①得，
即，③
当时，，④
由③④得，
即，
所以数列是首项为0，公差为2的等差数列，
故数列的通项公式是.
（2）；
；
①；
．
②对于给定的，若存在，，，，使得；
，只需，
两边取倒数，即，即；
即，；取，则；
；
对数列中的任意一项，总可以表示成该数列其他两项之积．
【点睛】
本题考查了递推关系、等比数列的通项公式及其前项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
16．（2016·上海市晋元高级中学高三期中）已知递增的等差数列的首项，且、、成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列对任意，都有成立，求的值．
（3）若，求证：数列中的任意一项总可以表示成其他两项之积．
【答案】（1）；（2）；（3）见解析.
【分析】
（1）根据解出公差，即可得到通项公式；
（2）当时，由①，及②，两式作差求出，即可求解；
（3）通过数列通项公式关系对数列中的任意一项，都存在和使得，即可得证.
【详解】
（1）∵是递增的等差数列，设公差为
、、成等比数列，∴
由 及得
∴
（2）∵， 对都成立
当时，得
当时，由①，及②
①－②得，得
∴
∴
（3）对于给定的，若存在，使得
∵，只需，
即，即
即， 取，则
∴对数列中的任意一项，都存在和
使得
【点睛】
此题考查求数列通项公式以及数列求和，考查对数列通项公式的理解认识，证明相关结论.
17．（2021·上海交大附中高二期中）已知数列的前n项和为，我们把满足条件（n为任意正整数）的所有数列构成的集合记为M.
（1）若数列的通项为，判断是否属于M，并说明理由；
（2）若数列是等差数列，且，求的取值范围；
（3）若数列的各项均为正数，且，数列中是否存在无穷多项依次成等差数列?若存在，给出一个数列的通项；若不存在，说明理由.
【答案】
（1）属于M，理由见解析.
（2）
（3）数列中不可能存在无穷多项依次成等差数列，理由见解析.
【分析】
(1)利用等比数列前n项和公式计算，再比较与大小关系即可判断作答.
(2)设等差数列的公差d，求出数列的前n项和，列出不等式，借助恒成立探求出d与a1的取值即可计算作答.
(3)根据给定条件探求出数列具有的性质，再借助反证法思想并结合等差数列通项即可判断作答.
（1）
因数列的通项为，则数列是首项为1，公比为q的等比数列，其前n项和有：，
因，则有，
即，恒成立，
所以属于M.
（2）
设等差数列的公差d，则数列是等差数列，首项为a1+1，公差为d+1，令Tn为的前n项和，
因，则，，
当时，，于是得，
，，
当时，二次函数开口向下，则必存在某个正数A，当时，，
于是有对成立，必有，即，因此，，
则有对成立，解得，于是，
所以的取值范围是.
（3）
因数列的各项均为正数，且，则的前n项和有：对成立，
于是得，则，
显然，当时，，而，因此，，，恒有，
对，时，，当n=1时，，
假设数列中存在无穷多项依次成等差数列，不妨设该等差数列的第n项为(c，b为常数)，
则存在，使得，即，
当，时，令，则，
即，于是当，时，，
从而有当，时，，即，
依题意，不等式在上有无穷多个解，
又二次函数图象开口向上，则必存在某个大于3的正数，当时，，
从而得不等式在上的整数解不会超过A0，只有有限个，不可能有无穷多个解，
因此，假设数列中存在无穷多项依次成等差数列是错的，
所以数列中不可能存在无穷多项依次成等差数列.
【点睛】
关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.
18．（2021·江苏·高二专题练习）已知数列前n项和为Sn，数列的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，且满足，
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求正整数m的值；
（3）是否存在正整数m，使得恰好为数列中的一项？若存在，求出所有满足条件的m值，若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在；或．
【分析】
(1)设等差数列公差为d，等比数列公比q，由题设列出方程组求出d，q值即可作答；
(2)利用(1)的结论，按m为奇数和偶数两种情况讨论计算作答；
(3)假定存在m满足条件，算出的表达式，并探讨其范围，再分情况讨论作答.
【详解】
（1）设等差数列公差为d，等比数列公比q，则，，
由，
于是得，，
所以；
（2）因，若，则，即，
因为为正整数，所以为正整数，即，解得，此时，不成立，舍去，
若，则，解得，有，成立，
综上得；
（3）假定存在正整数m使为中的一项，则为正整数，
因，
于是得，
要为中的某一项，则只能为之一，
若，即，得，无解，
若，
若，
综上得或，
所以存在正整数m使得恰好为数列中的一项，或．