第10讲 直线的交点坐标与距离公式-暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

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第10讲 直线的交点坐标与距离公式
【知识点梳理】
知识点一：直线的交点
求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可.若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标.
知识点诠释：
求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数.
知识点二：过两条直线交点的直线系方程
一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系．
过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线．
知识点三：两点间的距离公式
两点间的距离公式为.
知识点诠释：
此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握.
知识点四：点到直线的距离公式
点到直线的距离为.
知识点诠释：
（1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离；
（2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程；
（3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等.
知识点五：两平行线间的距离
本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为.
知识点诠释：
(1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；
(2)利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中，的系数分别是相同的以后，才能使用此公式.
【题型归纳目录】
题型一：判断两直线的位置关系
题型二：过两条直线交点的直线系方程
题型三：交点问题
题型四：对称问题
题型五：两点间的距离
题型六：点到直线的距离
题型七：两平行直线间的距离
题型八：三线能围成三角形问题

【典型例题】
题型一：判断两直线的位置关系
1．（2021·全国·高二专题练习）是直线(为常数)上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（       ）
A．无论如何，总是无解
B．无论如何，总有唯一解
C．存在，使是方程组的一组解
D．存在，使之有无穷多解
【答案】B
【解析】
【分析】
由点在直线上，点的坐标代入直线方程，确定是否为0，不为0，方程组有唯一解，为0时，再讨论是否有无数解．
【详解】
由题意，则，
∵直线的斜率存在，∴，，∴方程组总有唯一解．A，D错误，B正确；
若是方程组的一组解，则，则点在直线，即上，但已知这两个在直线上，这两条直线不是同一条直线，∴不可能是方程组的一组解，C错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查直线方程，考查方程组解的个数的判断．掌握直线方程是解题关键．
2．（2021·江苏·高二专题练习）两条直线与的交点坐标就是方程组的实数解，给出以下三种说法：
①若方程组无解，则两直线平行；
②若方程组只有一解，则两直线相交；
③若方程组有无数多解，则两直线重合．
其中说法正确的个数为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】C
【解析】
【分析】
根据两直线交点即方程组的解，则方程组的解的个数即两直线的交点个数，可以判断每个选项.
【详解】
①若方程组无解，则两条直线无交点，两直线平行；正确；②若方程组只有一解，说明两条直线只有一个交点，则两直线相交；正确；③若方程组有无数多解，说明两条直线有无数多个交点，则两直线重合．正确.
故答案为C.
【点睛】
在同一平面内，两条直线有三种位置关系，即相交、平行、重合．相应地由直线的方程组成的二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、有无数解．当的解只有一组时，这两条直线和有一个公共点，它们的位置关系为相交．当的解有无数组时，这两条直线和有无数个公共点，它们的位置关系为重合．当无解时，这两条直线和没有公共点，它们的位置关系为平行．
（多选题）3．（2022·江苏·高二课时练习）(多选题)与直线2x－y－3＝0相交的直线方程是（       ）
A．y＝2x＋3 B．y＝－2x＋3
C．4x－2y－6＝0 D．4x＋2y－3＝0
【答案】BD
【解析】
【分析】
将2x－y－3＝0与A, B, C, D中直线方程联立，解方程组，从而作出判断.
【详解】
对于A，联立，方程组无解，两直线平行；
对于B，联立方程组，解得：，有唯一解，与原直线相交；
对于C，联立方程组有无数解，与原直线重合；
对于D，联立方程组有唯一解，与原直线相交.
故选：BD.
（多选题）4．（2021·河北·张家口市第一中学高二阶段练习）已知集合，集合，且，则（       ）
A．2 B． C． D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据直线平行和两线交于点时，交集为空集，可得结果．
【详解】
解：因为集合，集合，且，
所以直线与直线平行或交于点，
当两线平行时，；
当两线交于点时，，解得．
综上得a等于或2．
故选：AD．
5．（2022·全国·高二课时练习）在下列直线中，与直线相交的直线为( )
A．          B．          C．          D．
【答案】C
【解析】
【详解】
由题可知：ABD选项直线的斜率与已知直线斜率相同，所以不会相交，C项直线与已知直线相交
故选：C
6．（2022·全国·高二课时练习）两直线的位置关系
方程组的解
一组
无数组
无解
直线与的公共点个数
一个
_______
零个
直线与的位置关系
_______
重合
_______

【答案】     无数个     相交     平行
7．（2022·上海市控江中学高三阶段练习）若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为______
【答案】4
【解析】
【分析】
当方程组有无穷多解时,可得到两直线重合,则可求出,,计算即可得解.
【详解】
若方程组有无穷多组解，
即两条直线重合,即
,
则
故答案为：4
8．（2022·上海·高三专题练习）若关于、的方程组无解，则实数________
【答案】
【解析】
先由方程无解判断平面内对应的两条直线平行，再利用平行关系列行列式计算参数即可.
【详解】
由题意关于、的方程组无解，即直线和直线平行，故，所以，
此时直线即，确实与平行，故满足题意，所以实数.
故答案为：-2.
9．（2021·全国·高二专题练习）若关于的二元一次方程组有无穷多组解，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据两直线重合的条件，求得的值即可.
【详解】
依题意二元一次方程组有无穷多组解，即两个方程对应的直线重合，由，解得或.
当时，二元一次方程组为，两直线不重合，不符合题意.
当时，二元一次方程组为，两直线重合，符合题意.
综上所述，的值为.
故答案为：
10．（2021·全国·高二专题练习）关于x､y的二元一次方程组有无穷多组解，则a与b的积是_____.
【答案】-35
【解析】
由x､y的二元一次方程组有无穷多组解，则直线与直线重合求解.
【详解】
因为x､y的二元一次方程组有无穷多组解，
所以直线与直线重合，
所以，解得，
所以 ，
故答案为：-35
11．（2021·全国·高二课时练习）若方程与所确定的曲线有两个交点，则a的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
考虑当时射线与直线有交点即可
【详解】
曲线由两条射线构成，它们分别是射线及射线.
因为方程的解，故射线与直线有一个交点；
若曲线及能围成三角形，则方程必有一个解，
故，因此，填.
【点睛】
本题考虑直线的位置关系，属于基础题，注意直线的位置关系可以转化方程组解来处理.
12．（2021·江苏·高二专题练习）判断下列各对直线的位置关系.若相交，求出交点坐标：
（1）l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；
（2）l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0.
【答案】（1）相交，(－1，－1)；（2）平行.
【解析】
【分析】
两个直线方程列方程组求解，方程组有解即得交点坐标，方程组无解则两直线平行（有无数解，则两直线重合）．
【详解】
（1）解方程组得所以直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1).
（2）解方程组①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解.所以直线l1与l2无公共点，即l1//l2.

题型二：过两条直线交点的直线系方程
1．（2022·江苏·高二）已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据两直线和的交点列方程，对比后求得直线的方程.
【详解】
依题意两直线和的交点为，
所以在直线上，
所以过两点所在直线方程为，
故选：B
2．（2022·全国·高二课时练习）已知与是直线为常数)上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（       ）
A．无论如何，总是无解 B．无论如何，总有唯一解
C．存在，使之恰有两解 D．存在，使之有无穷多解
【答案】B
【解析】
【分析】
将与代入直线方程，可得方程有唯一的解，即可得答案；
【详解】
解：与是直线为常数)上两个不同的点，
的斜率存在，
即，并且，

①②得：，
即.
方程组有唯—解.
故选︰B.
3．（2021·全国·高二课时练习）设直线经过和的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线的方程为___________.
【答案】或
【解析】
【分析】
由题可求交点，结合条件即可求出；或设直线系方程，结合已知即求.
【详解】
方法一：由，得，
所以两条直线的交点坐标为（14，10）,
由题意可得直线的斜率为1或-1，
所以直线的方程为或，
即或.
方法二：设直线的方程为，整理得，
由题意，得，解得或，
所以直线的方程为或.
故答案为：或.
4．（2022·江苏·高二）已知直线：（）．求证：直线恒过定点，并求点的坐标．
【答案】证明见解析，
【解析】
【分析】
整理原方程，利用直线系列出方程组，即可得到直线恒过定点的坐标.
【详解】
证明：原方程整理为，则由得
所以点坐标为．
5．（2022·江苏·高二）直线经过直线的交点，且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，求直线的方程.
【答案】或
【解析】
【分析】
设直线方程为，解方程或，即得解.
【详解】
解：设直线方程为，
化简得,
直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，
直线的斜率为,
或，解得或.
代入并化简得直线的方程为或.
所以所求的直线方程为或.
6．（2022·全国·高二课时练习）求证：不论为何实数，直线恒过定点．
【答案】详见解析.
【解析】
【分析】
由，可得，即得.
【详解】
由，
解得，
故当时，不论为何实数，恒成立，
即不论为何实数，直线恒过定点.
7．（2021·全国·高一课时练习）已知两直线和.
（1）判断两直线是否相交，若相交，求出其交点；
（2）求过与的交点且斜率为的直线方程.
【答案】（1）两直线相交，两直线交点为；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用两直线的斜率即可判定，联立方程即求；
（2）利用点斜式即求或设直线系方程即得.
【详解】
（1）∵，
∴两直线相交，
联立两直线方程得
解得即两直线交点为.
（2）解法一：由点斜式方程可得所求的直线方程为，即.
解法二：显然不是所求方程可设所求直线方程为，
整理得，
∴，∴，
整理得所求直线方程为.
8．（2021·全国·高一课时练习）求经过直线与的交点，且过点的直线方程.
【答案】
【解析】
【分析】
联立方程可求交点，结合条件即求；或设直线交点系方程，利用条件即求.
【详解】
解法一：联立直线方程，解方程组得，
由两点式得所求直线的方程为，
即.
解法二：易知直线不符合所求方程，设所求直线方程为，
将点的坐标代入，得，
解得，
故所求直线方程为，整理得.
9．（2021·全国·高二专题练习）直线l经过原点，且经过直线与直线的交点，求直线l的方程．
【答案】
【解析】
【分析】
经过直线与直线的交点的直线可设为： ，把代入求出，即可得到直线方程.
【详解】
经过直线与直线的交点的直线可设为：

把代入，得：，解得：，
所以，所求的直线方程为：.

题型三：交点问题
1．（2022·江苏·高二）直线x+ky=0和2x+3y+8=0的交点为A，且A在直线x-y-1=0上，则k的值是（       ）
A．- B． C．2 D．-2
【答案】A
【解析】
【分析】
先求得点A的坐标，再代入x+ky=0求解.
【详解】
由，解得 ，
即两直线2x+3y+8=0和x-y-1=0的交点坐标为A(-1，-2)．
∵直线x+ky=0，2x+3y+8=0 和x-y-1=0交于一点A，
∴-1-2k=0，
∴k=-，
故选；A．
2．（2022·江苏·高二）经过两条直线和的交点，并且平行于直线的直线的一般式方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出交点坐标，再由平行得斜率，写出点斜式方程，化为一般方程即可.
【详解】
由解得，故交点坐标为，由平行于直线可得斜率为1，
故方程为，化为一般方程为.
故答案为：.
3．（2022·江苏·高二）经过两条直线和的交点，且与直线垂直的直线方程为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
联立两直线方程，求出方程的解，即可求出焦点坐标，设所求方程为，代入交点坐标，即可求出参数的值，从而得解；
【详解】
解：由，解得，即直线和的交点坐标为，
设与直线垂直的直线方程为，则，解得，
所以直线方程为；
故答案为：
4．（2022·江苏·高二）如图所示，在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为______．

【答案】
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，进而通过直线的交点求出点P的坐标，然后得到的坐标，最后通过平面向量夹角的坐标运算求得答案.
【详解】
如图，以点A为坐标原点，AB，AC分别为x,y轴建立平面直角坐标系，根据题意可知.

于是，，联立，则.
所以.
故答案为：.
5．（2022·江苏·高二）若直线经过直线和的交点，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
求解出直线，的交点坐标，再代入直线即可求解.
【详解】
由题意，直线，，交于一点，
所以，得，
所以直线过点，
得，求解得.
故答案为：
6．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l被两条直线和截得的线段的中点为，则直线l的一般式方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】
通过解方程组求出直线l与两直线交点的坐标，再利用中点坐标公式进行求解即可.
【详解】
设直线l的斜率为，因为直线l过，
所以直线方程为，
由，
由，由题意可知：是截得的线段的中点，
所以，即，
故答案为：
7．（2022·江苏·高二）设三直线；；交于一点，则k的值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】
解方程组求出与的交点，代入即可得解.
【详解】
联立，解得，即与交于点，
依题意可知，，解得.
故答案为：.
8．（2022·全国·高二课时练习）若直线与直线的交点在第一象限，则实数b的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
求得直线与坐标轴的交点坐标，代入的坐标，求得的值，结合题意，即可求解.
【详解】
由题意，直线，
令，可得；令，可得，即，
如图所示，
当直线过点，可得；
当直线过点，可得，
要使得直线与直线的交点在第一象限，则，
即实数的取值范围是.
故答案为：.

9．（2022·全国·高二课时练习）求过与的交点且与直线平行的直线方程．
【答案】.
【解析】
【分析】
通过解方程组求出交点坐标，再根据平行直线的性质进行求解即可.
【详解】
由，即交点坐标为，
设所求直线为，把代入所设方程中，得
，故而所求直线方程为．
10．（2022·江苏·高二）三条直线､､有且只有两个交点，求实数的值.
【答案】或
【解析】
【分析】
首先确定有一个交点，则若三条直线有且仅有两个交点，需或，由此可构造方程求得结果.
【详解】
由得：，即有一个交点，或；
即或，解得：或.
11．（2022·全国·高三专题练习）过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：和l2：截得的线段恰好被点P平分，求直线l的方程.
【答案】
【解析】
【分析】
设其中一个交点坐标，结合对称性可得方程，即可得解.

【详解】
设l1与l的交点为A(a，8-2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(-a，2a-6)在l2上，
代入l2的方程得:-a-3(2a-6)＋10＝0，解得a＝4，
即点A(4，0)在直线l上，
∴直线l的方程为即x＋4y-4＝0.
12．（2022·江苏·高二）若直线与直线的交点在第四象限，求实数m的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】
先联立两直线的方程，求得交点坐标，再根据交点在第四象限求解.
【详解】
由得
所以两直线的交点坐标为.
又此交点在第四象限，
所以
解得，
所以实数m的取值范围是.
故答案为：

题型四：对称问题
1．（2022·江苏·高二）直线关于点对称的直线方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为,代入已知直线即可求得结果.
【详解】
设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，以代换原直线方程中的得，即.
故选：D.
2．（2022·天津市第九十五中学益中学校高二期末）与直线关于轴对称的直线的方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此即可求解.
【详解】
设(x，y)是与直线关于轴对称的直线上任意一点，
则(x，－y)在上，故，
∴与直线关于轴对称的直线的方程为.
故选：D.
3．（2022·北京市十一学校高一阶段练习）点关于直线的对称点的坐标为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据点关于线对称的特点，利用中点坐标公式及两直线垂直的斜率的关系即可求解.
【详解】
设点关于直线的对称点的坐标为，
则，解得.
所以点的坐标为
故选：A.
4．（2022·广东潮州·二模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（       ）．
A．5 B． C．45 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出点关于直线的对称点，则线段的长度即为最短总路程，再利用两点间的距离公式进行求解.
【详解】
因为点关于直线的对称点为，
所以即为“将军饮马”的最短总路程，
则“将军饮马”的最短总路程为．
故选：B．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为_______________．
【答案】.
【解析】
【分析】
由于两条直线平行，所以可设，利用对称的性质，可求得，进而求得直线方程为.
【详解】
由题意知，设直线，在直线上取点，
设点关于直线的对称点为，
则， 解得，即，
将代入的方程得，
所以直线的方程为.
故答案为：
6．（2022·全国·高二课时练习）直线关于点对称的直线方程是______．
【答案】
【解析】
【分析】
由直线关于点对称的直线与已知直线平行，设出所求直线方程，再根据点到两条直线的距离相等可解出答案.
【详解】
设对称直线为，
则有，
解这个方程得（舍）或.
所以对称直线的方程中

故答案为：
7．（2022·宁夏·银川唐徕回民中学高一期末）直线关于定点对称的直线方程是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出原直线上一个点关于定点的对称点，然后用对称后的直线与原直线平行
【详解】
在直线上取点，点关于的对称点为
过与原直线平行的直线方程为，即为对称后的直线．
故答案为：
8．（2022·江苏·高二）已知入射光线经过点，被直线反射，反射光线经过点，求反射光线所在直线的方程．
【答案】
【解析】
【分析】
设点关于直线的对称点为，解方程组求出的坐标，然后根据点斜式即可写出反射光线所在直线的方程.
【详解】
解：设点关于直线的对称点为，则反射光线所在直线过点，
所以，解得，，即，
又反射光线经过点，所以，
所以所求直线的方程为，即．
故答案为：.
9．（2022·江苏·高二）点关于直线对称的点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】
设点关于直线对称的点的坐标是，根据垂直和中点列方程组可求出结果.
【详解】
设点关于直线对称的点的坐标是，
则，解得，
所以点关于直线对称的点的坐标是.
故答案为：
10．（2022·江苏·高二）已知、，若P是直线上的点，则的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
由图可得两点在直线的异侧，求出点关于直线的对称点，当三点共线时，取得最大值，计算即可.
【详解】
解：如图，可得两点在直线的异侧，点关于直线的对称点为，


则，所以当三点共线时，取得最大值为.
故答案为：.
11．（2022·江苏·高二课时练习）已知直线，求：
(1)直线l关于点对称的直线的方程；
(2)直线关于直线l对称的直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）设直线关于的对称直线上任意一点为，求得点关于点的对称点，代入直线，即可求解；
（2）由，两直线的交点坐标为，再在直线上取一点，求得关于直线的对称点，结合直线的点斜式方程，即可求解.
(1)
解：设直线关于的对称直线上任意一点为，
则点关于点的对称为，
则，解得，即,
将点代入直线，可得，
整理得，即对称直线的方程为.
(2)
解：由，解得，
即直线与的交点坐标为，
再在直线上取一点，
设点关于直线的对称点为，
则，解得，即，
又由，所以直线的方程为，
整理得，
即直线关于直线l对称的直线的方程为.
12．（2022·江苏·高二课时练习）已知直线l: .
(1)求点P（3， 4)关于直线l对称的点Q；
(2)求直线l关于点（2， 3)对称的直线方程．
【答案】(1)Q
(2)x－2y＋10＝0
【解析】
【分析】
（1）利用PQ⊥l，且PQ的中点在直线l上列方程求出Q；
（2）在直线l上任取一点，如M（0，-1)，求出点M关于点（2， 3)对称的点N（4， 7)．利用平行，求出斜率，即可求出所求的直线方程.
(1)
设Q（x0， y0)．
由于PQ⊥l，且PQ的中点在直线l上，
则，解得，所以Q.
(2)
在直线l上任取一点，如M（0， －1).
设点M关于点（2， 3)对称的点为N（x， y)，
所以，解得：，所以N（4， 7)
因为所求直线与l平行，所以,
所以所求的直线方程为，即x－2y＋10＝0.
13．（2022·江苏·高二）已知点，直线，直线.
(1)求点A关于直线的对称点B的坐标；
(2)求直线关于直线的对称直线方程.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）设点，则由题意可得，解方程组求出，从而可得点B的坐标，
（2）先求出两直线的交点坐标，再在直线上任取一点，求出其关于直线的对称点，从而可求出直线关于直线的对称直线方程
(1)
设点，则由题意可得，
解得，
所以点B的坐标为，
(2)
由，得，所以两直线交于点，
在直线上取一点，设其关于直线的对称点为，则
，解得，即，
所以，
所以直线为，即，
所以直线关于直线的对称直线方程为
14．（2022·江苏·高二）已知的顶点，AB边上的高所在的直线方程为．
(1)求直线AB的方程；
(2)在两个条件中任选一个，补充在下面问题中．
①角A的平分线所在直线方程为
②BC边上的中线所在的直线方程为
______，求直线AC的方程．
【答案】(1)；
(2)若选①：直线AC的方程为；若选②：直线AC的方程为.
【解析】
【分析】
（1）由两直线垂直时，其斜率间的关系求得直线AB的斜率为，再由直线的点斜式方程可求得答案；
（2）若选①：由，求得点，再求得点B关于的对称点，由此可求得直线AC的方程；
若选②：由，求得点，设点，由BC的中点在直线上，和点C在直线上，求得点，由此可求得直线AC的方程.
(1)
解：因为AB边上的高所在的直线方程为，所以直线AB的斜率为，
又因为的顶点，所以直线AB的方程为：，
所以直线AB的方程为： ；
(2)
解：若选①：角A的平分线所在直线方程为，
由，解得，
所以点，
设点B关于的对称点，则，解得，所以，
又点在直线AC上，所以，
所以直线AC的方程为，
所以直线AC的方程为；
若选②：BC边上的中线所在的直线方程为，
由，解得，所以点，
设点，则BC的中点在直线上，所以，即，所以点C在直线上，
又点C在直线上，由解得，即，
所以，
所以直线AC的方程为，
所以直线AC的方程为.
15．（2022·全国·高二课时练习）（1）已知实数对满足，求的最小值；
（2）求的最小值．（提示：联想两点间的距离公式）
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由的几何意义求得点到已知直线的距离即得；
（2）表示到和的距离之和，由平面几何知识变形后，由两点距离公式可得．
【详解】
（1）表示点到点的距离，而点在直线上，
所以其最小值为；
（2）表示到和的距离之和，
与点关于轴对称，
，当且仅当是与轴交点时取等号，即时取等号．
所以的最小值是．

16．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l ：， P（3，-1），Q（-3，3），当时，求直线l上的动点M到P，Q两点的距离之和的最小值.
【答案】
【解析】
【分析】
求出点关于直线的对称点，根据可求出结果.
【详解】
当时，直线，设关于直线的对称点，

则，解得，即，
依题意可得，当且仅当点三点共线时，取等号.
所以直线l上的动点M到P，Q两点的距离之和的最小值为.

题型五：两点间的距离
（多选题）1．（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校高二阶段练习）（多选）等腰直角三角形的直角顶点为，若点A的坐标为，则点B的坐标可能是（       ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
设，根据和可求得点坐标．
【详解】
设，根据题意可得即
解得或所以或.
故选：AC．
【点睛】
本题考查两直线垂直的条件，考查两点间距离公式，属于基础题．
2．（2022·内蒙古赤峰·高二期末）数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如：与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点：对于函数，的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意得，表示点与点与距离之和的最小值，再找对称点求解即可.
【详解】
函数，
表示点与点与距离之和的最小值，则点在轴上，
点关于轴的对称点，
所以，
所以的最小值为：.
故答案为：.
3．（2022·全国·高二课时练习）已知，且，求a的值．
【答案】
【解析】
【分析】
直接根据平面直角坐标系上两点的距离公式计算可得；
【详解】
解：因为且，所以，解得
4．（2022·江苏苏州·高二期末）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知直线：mx－（2－m）y－4=0与直线h：x+y－2=0的交点M在第一三象限的角平分线上.
(1)求实数m的值；
(2)若点P在直线l上且，求点P的坐标.
【答案】(1)3
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出直线与直线的交点坐标，代入直线的方程可得值；
（2）设，代入已知等式可求得值，得坐标．
(1)
由得，即．
所以，．
(2)
由（1）直线方程是，在直线上，设，
则，解得，
所以点坐标为．
5．（2022·全国·高二课时练习）已知与两点间的距离是17，求a的值．
【答案】±8
【解析】
【分析】
直接利用两点间距离公式即可求解．
【详解】
因为与两点间的距离是17，
所以，
解得：a＝±8．
6．（2022·江苏·高二课时练习）求函数的最小值．
【答案】
【解析】
【分析】
化简，转化为到点距离之和，结合对称法，即可求解.
【详解】
由题意，函数
，
根据两点距离公式的几何意义得，函数表示到点距离之和，
如图所示，作出点关于的对称点，
连接，交轴于点，连接，
可得
又由，
当且仅当点与重合时，等号成立，
所以，即函数的最小值为.

7．（2022·江苏·高二课时练习）求函数的最小值．
【答案】
【解析】
【分析】
化简，转化为到点距离之和，结合对称法，即可求解．
【详解】
由题意，函数
，
根据两点距离公式的几何意义得，函数表示到点距离之和，
如图所示，作出点关于的对称点，
连接，交轴于点，连接，
可得
又由，
当且仅当点与重合时，等号成立，
所以，即函数的最小值为．

8．（2022·全国·高二课时练习）如图，已知的三个顶点分别为，，．

(1)试判断的形状；
(2)设点D为BC的中点，求BC边上中线的长．
【答案】(1)直角三角形；
(2).
【解析】
【分析】
(1)利用两点间距离公式直接计算三角形三边长即可判断作答.
(2)求出点D坐标，再用两点间距离公式计算作答.
(1)
根据两点间的距离公式，得，，
，，即，
所以是直角三角形.
(2)
依题意，线段BC的中点，，
所以BC边上中线的长为.
9．（2022·全国·高二课时练习）已知，证明是等边三角形．
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
利用两点间的距离公式求解三边长度，可得证.
【详解】
因为，所以，
，，
所以，所以是等边三角形．
10．（2022·全国·高二课时练习）求到，，三点距离相等的点的坐标．
【答案】
【解析】
【分析】
设所求点坐标为，由两点间距离公式列方程组求解．
【详解】
设所求点坐标为，则，解得，
因此所求点的坐标为．
11．（2022·全国·高二课时练习）已知，是直线上的两点，若，且，求直线l的方程．
【答案】 或 .
【解析】
【分析】
分析题目所给条件的几何意义，利用两点距离公式即可.
【详解】
，
利用两点距离公式得：
，
，
所以直线AB的方程为 或 ；
故答案为：或.

题型六：点到直线的距离
1．（2022·江苏·高二）美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（       ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，求出直线AB的方程，利用点到直线距离公式进行求解.
【详解】
如图，以鼻尖所在位置为原点O，中庭下边界为x轴，垂直中庭下边界为y轴，建立平面直角坐标系，则，

直线，整理为，
原点O到直线距离为，
故选：B
2．（2022·重庆·三模）已知直线上存在一点P，满足，其中O为坐标原点.则实数k的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知可得原点O到直线l的距离的最大值为1，利用点到直线的距离公式可得关于k的不等式，即可求解k的范围.
【详解】
因为直线上存在一点P，使得，
所以原点O到直线l的距离的最大值为1，即，解得：，
即k的取值范围是.
故选：C
3．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））已知两点到直线的距离相等，则（       ）
A．2 B． C．2或 D．2或
【答案】D
【解析】
【分析】
利用点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】
因为两点到直线的距离相等，
所以有，或，
故选：D
（多选题）4．（2022·江苏·高二）已知直线l过点，点，到l的距离相等，则l的方程可能是(       )
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
分直线l斜率存在和不存在进行讨论﹒当l斜率存在时，设其方程为，根据点到直线的距离公式列出关于k的方程，解方程即可求直线l的方程．
【详解】
当直线的斜率不存在时，直线l的方程为，此时点到直线的距离为5，点到直线的距离为1，此时不成立；
当直线l的斜率存在时，设直线的方程为，即，
∵点到直线的距离相等，
，解得，或，
当时，直线的方程为，整理得，
当时，直线的方程为，整理得
综上，直线的方程可能为或
故选：BC．
5．（2022·江苏·高二）点P为直线上任意一个动点，则P到点的距离的最小值为___________.
【答案】3
【解析】
【分析】
先判断出当点P和点的连线和直线垂直时距离最小，再由点到直线的距离求解即可.
【详解】
由题意得当点P和点的连线和直线垂直时距离最小，此时距离等于点到直线的
距离，故P到点的距离的最小值为3.
故答案为：3.
6．（2022·江苏·高二）直线，为直线l上动点，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据点到直线的距离即可求解.
【详解】
可看成是直线上一点到点的距离的平方，当时，距离最小.故点到直线的距离为，所以的最小值为
故答案为：
7．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高二阶段练习（理））点在函数的图象上．若满足到直线的距离为的点有且仅有3个，则实数的值为________．
【答案】3
【解析】
【分析】
要满足到直线的距离为的点有且仅有3个，则需要直线与函数的图象相交，而且点在函数的图象上满足在直线一侧一个点到直线距离为，另外一侧两个点到直线距离为．利用导数的的几何意义和切线的斜率，求出切点的坐标，再根据点到直线的距离公式即可求出结果．
【详解】
过函数的图象上点作切线，使得此切线与直线平行，又，于是，则；
所以，于是当点到直线的距离为时，则满足到直线的距离为的点有且仅有个，
所以，解得或，
又当时，函数的图象与直线没有交点，所以不满足；
故．
故答案为：.
8．（2022·全国·高二课时练习）已知､和直线，若坐标平面内存在一点P，使，且点P到直线l的距离为2，求点P的坐标.
【答案】或
【解析】
【分析】
根据,可知点在的垂直平分线上，求出的垂直平分线方程，根据到直线的距离为2，列出方程即可求解.
【详解】
设点P的坐标为.∵，，所以线段AB的中点M的坐标为.
而AB所在直线的斜率，
∴线段AB的垂直平分线方程为，即.
∵点在直线上，∴……①；
又点到直线的距离为2，∴，即……②.
联立①②，解得或故所求点P的坐标为或.
故答案为或
9．（2022·江苏·高二）已知的三个顶点的坐标为、、，试求：
(1)边上的高所在的直线方程；
(2)的面积．
【答案】(1)
(2)24
【解析】
【分析】
（1）先求出直线的斜率，进而得边上的高的斜率，由点斜式写出方程即可；
（2）先求出及直线方程，再由点到直线距离公式求得到的距离，即可求得面积.
(1)
因为，则边上的高的斜率为3，又经过A点，故方程为，化简得．
(2)
，直线方程为，整理得，
则到的距离为，则的面积为.
10．（2022·全国·高二课时练习）直线l过点且到点和点的距离相等，求直线l的方程．
【答案】或
【解析】
【分析】
解法1：直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，由直线l到点和点的距离相等求解；当直线l的斜率不存在时，直线l的方程成立； 解法2：分，则和l过AB中点求解；
【详解】
解法1：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即．
由题意知，即，∴，
∴直线l的方程为，即．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，也符合题意．
解法2：当时，，直线l的方程为，即．
当l过AB中点时，AB的中点为，∴直线l的方程为．
故所求直线l的方程为或．
11．（2022·江苏·高二课时练习）求过点M(－2, 1)且与A(－1, 2), B(3, 0)两点距离相等的直线的方程．
【答案】y＝1或x＋2y＝0
【解析】
【分析】
直线斜率存在时设出直线方程，由点到直线距离公式列方程求得参数值得直线方程，再确定斜率不存在的直线是否符合题意即可得．
【详解】
解：当斜率存在时，设直线方程为y－1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋1＝0.
由条件得＝，
解得k＝0或k＝－，
时，，，
时，．
故所求的直线方程为y＝1或x＋2y＝0.
当斜率不存在时，不符合题意．
综上，直线方程为y＝1或x＋2y＝0.
12．（2022·广东·佛山市南海区第一中学高二开学考试）已知的顶点坐标为、、．
(1)求AB边上的高线所在的直线方程；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由斜率公式求得，得到边高线斜率，结合点斜式，即可求得边上的高线方程；
（2）求得直线的方程，利用两点间距离公式和点到直线的距离公式，结合三角形的面积公式，即可求解.
(1)
解：由的顶点坐标为、、，
可得，所以边高线斜率，
所以边上的高线方程为，即.
(2)
解：直线的方程为，即，
顶点C到直线的距离为，且，
所以的面积

题型七：两平行直线间的距离
1．（2022·广东·普宁市华侨中学高二阶段练习）已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（       ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先由平行求出，再由平行线间距离公式求解即可.
【详解】
由直线平行可得，解得，则直线方程为，即，则距离是.
故选：D.
2．（2022·江苏·高二）若两条平行线与之间的距离是2，则m的值为（       ）
A．或11 B．或10
C．或12 D．或11
【答案】A
【解析】
【分析】
利用平行线间距离公式进行求解即可.
【详解】
因为两条平行线与之间的距离是2，
所以，或，
故选：A
3．（2022·贵州·遵义市第五中学高二期中（理））直线 与直线 之间的距离为_________.
【答案】##
【解析】
【分析】
确定两直线是平行直线，故可根据平行线间的距离公式求得答案.
【详解】
因为直线 与直线平行,
而直线可化为，
故直线 与直线 之间的距离为 ，
故答案为：
4．（2022·全国·高二课时练习）已知直线，．若，求与的距离．
【答案】
【解析】
【分析】
由得，可解得的值，再利用平行线的距离公式即可求得结果
【详解】
由，得，解得或．
当时，两直线方程均为，不合题意；
当时，方程为，即，方程为，即，所求距离为．
5．（2022·江苏·高二）已知直线和，若直线l到直线的距离与到直线的距离之比为，则直线l的方程为______．
【答案】或
【解析】
【分析】
设直线的方程为 (c≠-2且c≠-9)，利用两平行线间的距离公式列方程即可求得.
【详解】
直线可化为，所以，且直线l与直线l1与l2平行,所以设直线的方程为 (c≠-2且c≠-9).
由题意可得：，解得：或，
故直线的方程为或.
故答案为：或.
6．（2022·江苏·高二）若直线与直线平行，且它们之间的距离等于，则直线的方程为___________.
【答案】或
【解析】
【分析】
设出直线，利用两平行线间的距离解方程求出即可.
【详解】
设直线，将直线与直线化为一般式可得，，故它们之间的距离为，
解得或，故直线的方程为或.
故答案为：或.
7．（2022·上海市宝山中学高二期中）与直线平行且与它的距离为的直线方程是______；
【答案】或
【解析】
【分析】
设所求直线方程为，根据平行直线间的距离公式列方程，化简求得的值，从而求得正确答案.
【详解】
设直线平行的直线方程为，
依题意，解得或，
所以所求直线方程为：或.
故答案为：或
8．（2022·江苏·高二）两条平行线与之间的距离是___________.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】
根据平行直线距离公式求解即可.
【详解】
直线可化为，
又直线与直线的距离为，
所以平行线与之间的距离是，
故答案为：.
9．（2022·江苏·高二）两平行直线，分别过，.
(1)，之间的距离为5，求两直线方程；
(2)若，之间的距离为d，求d的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【解析】
【分析】
（1）斜率不存在时，不合题意，斜率存在时，设斜率为，表示出直线，，利用平行线间的距离公式解出即可；
（2）结合图像可知当，旋转到和垂直时，，之间的距离d最大，求出，即可求得d的取值范围.
(1)
当，斜率不存在时，易知，，之间的距离为1，不合题意；
当，斜率存在时，设斜率为，则，化为一般式得，，由，之间的距离为5，可得，
解得或，当时，；当时，.
故两直线方程为或.
(2)

如图：当，旋转到和垂直时，，之间的距离d最大为，当，旋转到和重合时，距离为0，
又两平行直线，不重合，故.
10．（2022·全国·高二期中）已知直线与平行，且直线与直线之间的距离为，求m、n的值．
【答案】；或.
【解析】
【分析】
根据两直线平行的条件及两直线平行件的距离公式即可求解.
【详解】
因为直线与平行，
所以，解得，，
又因为直线与直线之间的距离为，
所以，解得或.
综上，m的值为；n的值为或.
11．（2022·全国·高二课时练习）直线与直线的距离为，求实数的值．
【答案】或
【解析】
【分析】
利用平行直线间距离公式构造方程求得结果.
【详解】
直线方程可化为：，
则两条直线间距离，即，解得：或.
故答案为：或.
12．（2022·全国·高二期中）已知直线过点，且被平行直线：与：所截取的线段长为，求直线的方程．
【答案】或
【解析】
【分析】
根据两条平行线之间的距离及解得的线段的长度，可推测出直线与、的夹角，利用正切函数的两角和公式即可求解直线的斜率，进而得出直线方程.
【详解】
两条平行线之间的距离，截得的线段长为，推得直线与、的夹角为45°．
设直线的斜率为，故
解得：或
则直线的方程为：或.
整理得：或.

题型八：三线能围成三角形问题
1．（2022·河南·温县第一高级中学高二阶段练习（文））已知直线ax+y+1=0，x+ay+1=0和x+y+a=0能构成三角形，则a的取值范围是（       ）
A．a≠ B．a≠
C．a≠且a≠ D．a≠且a≠1
【答案】C
【解析】
【分析】
由三条直线两两不平行，且不交于同一点可得．
【详解】
已知三条直线能构成三角形，首先不平行，
若，则三条直线围成三角形，
若，则，，解得，
时，由，得，代入得，或，因此
综上：且．
故选：C．
2．（2022·全国·高二）若三条直线不能围成三角形，则实数的取值最多有（       ）
A．个 B．个
C．个 D．个
【答案】C
【解析】
【分析】
分析可知至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点，则三条直线不能构成三角形.
【详解】
三条直线不能构成三角形 至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点.
若∥，则；若∥，则；
若∥，则的值不存在；
若三条直线相交于同一点，
直线和联立：，直线和交点为;
直线和联立：，直线和交点为;
三条直线相交于同一点两点重合或.
故实数的取值最多有个.
故选:C
3．（2022·江苏·高三专题练习）已知直线l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能围成三角形，则实数a的取值不可能为（       ）
A．1 B． C．﹣2 D．﹣1
【答案】A
【解析】
【分析】
分析可得直线一定相交，联立两方程，求得交点坐标为，当时，直线为，分析可得不满足题意，当时，当直线l3分别与直线l1、l2平行时，以及过直线交点时，均满足题意，分别求解，即可得答案.
【详解】
因为直线l1的斜率为3，直线l2的斜率为，所以直线一定相交，交点坐标是方程组的解，解得交点坐标为：.
当时，直线与x轴垂直，方程为：不经过点，所以三条直线能构成三角形；
当时，直线的斜率为：.
当直线l1与直线l3的斜率相等时，即，此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角形；
当直线l2与直线l3的斜率相等时，即，此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角形；
当直线l3过直线交点时，三条直线不能构成三角形，即有，所以实数a的取值不可能为1.
故选：A
4．（2022·全国·高二课时练习）若三条直线能构成三角形，则a应满足的条件是（       ）
A．或 B．
C．且 D．且
【答案】D
【解析】
【分析】
先排除平行与重合情况，再排除交于一点的情况，最后给出答案.
【详解】
为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点.
①若，则由，得.
②若，则由，得.
③若，则由，得.
当时，与三线重合，当时，平行.
④若三条直线交于一点，由解得
将的交点的坐标代入的方程，
解得（舍去）或.
所以要使三条直线能构成三角形，需且.
故选：D.
【点睛】
本题考查直线的位置关系，是基础题.
（多选题）5．（2022·全国·高三专题练习）三条直线，，构成三角形，则a的取值可以是（       ）
A． B．1 C．2 D．5
【答案】CD
【解析】
【分析】
经分析可得三线不共点，所以只需直线与另两条直线不平行，即可求得的范围．
【详解】
由题意可得直线与都经过原点，
而无论为何值，直线总不经过原点，
因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线与另两条直线不平行，
所以.
故选：CD
6．（2022·全国·高二课时练习）下面三条直线，，不能构成三角形，则实数m的取值集合是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
分三条直线交于一点、至少两条直线平行或重合，两种情况讨论即可
【详解】
当三条直线交于一点时：由，
解得和的交点A的坐标，
由A在上可得2×－3m×＝4，
解得m＝或.
当至少两条直线平行或重合时：l1、l2、l3至少两条直线斜率相等，
当时，，即，当时，，解得：，
当时，，不成立，
综上， m＝－1，－，，4时，这三条直线不能组成三角形，
∴实数m的取值集合是.
故答案为：.
7．（2022·江苏·高二）若，直线和直线与两坐标轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的k值中______．

【答案】#
【解析】
【分析】
分别得出直线和过定点，以及与轴的交点，和与轴的交点，结合三角形和梯形的面积公式，求得四边形的面积的表达式，即可求解.
【详解】
如图所示，直线，过定点，与轴的交点，
直线过定点，与轴的交点，
由题意知，四边形的面积等于的面积和梯形的面积之和，
所以所求四边形的面积为：，
当时，所求四边形的面积最小.
故答案为：

8．（2022·全国·高二课时练习）三条直线 不构成一个三角形，则实数k的所有取值之和为__________.
【答案】-10
【解析】
【分析】
如果三条直线不构成三角形，则必存在平行线，或三条直线过同一点，由此可求得实数k的值，从而可得实数k的所有取值之和
【详解】
若 ，则k=5， 
若 ，则k=-5， 
由  得  ， 
若在上，则k=-10． 
∴符合条件的实数k的所有取值之和为 
故答案为-10
【点睛】
本题考查两条直线平行的性质，直线的一般式方程，考查两条直线相交，考查逻辑思维能力，计算能力，是基础题．
9．（2022·江苏·高二）过点作直线l分别交x轴、y轴正半轴于B、C两点，当面积最小时，求直线l的方程，并求此面积最小值．
【答案】直线l的方程为，最小面积为4
【解析】
【分析】
设直线l的方程为，求出坐标，由面积公式以及基本不等式求解即可.
【详解】
设直线l的方程为，则

当且仅当时，的面积最小.
此时直线l的方程为，最小面积为4
10．（2022·江苏·高二课时练习）已知直线，，.
(1)若这三条直线交于一点，求实数m的值；
(2)若三条直线能构成三角形，求m满足的条件.
【答案】(1)2；
(2)当m≠2且m≠－2且m≠.
【解析】
【分析】
(1)联立和的方程求得交点坐标，将此交点坐标代入的方程即可求出m的值；
(2)由题意得到三条直线不能构成三角形的情况，求出每一种情况下的值，则答案可求．
(1)
由解得，代入的方程，得m＝2.
(2)
当三条直线相交于一点或其中两直线平行时三条直线不能构成三角形．
①联立，解得，代入，得；
②当与平行时，，
当与平行时，．
综上所述，当且时，三条直线能构成三角形．
11．（2022·江苏·高二课时练习）设a为实数，若三条直线，和共有三个不同的交点，求a满足的条件.
【答案】且且
【解析】
【分析】
先求得与的交点，由不过该点，以及与、不平行来求得满足的条件.
【详解】
，
所以不过，即①，
直线的斜率为，直线的斜率为，
所以，所以且②，
由①②得满足的条件为且且.
12．（2022·湖北·武汉市第十五中学高二期末）已知直线，直线，直线．
(1)若与的倾斜角互补，求m的值；
(2)当m为何值时，三条直线能围成一个直角三角形．
【答案】(1)
(2)0，，.
【解析】
【分析】
（1）根据题意得，进而求解得答案；
（2）根据题意，分别讨论与垂直，与垂直，与垂直求解，并检验即可得答案.
(1)
解：因为与的倾斜角互补，
所以，
直线变形为，故
所以，解得
(2)
解：由题意，若和垂直可得：，解得，
因为当时，，，，构不成三角形，
当时，经验证符合题意； 故；
同理，若和垂直可得：，解得，舍去；
若和垂直可得：，解得或，经验证符合题意；
故m的值为：0，，.
13．（2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高一期末）已知两直线l1：x﹣2y+4＝0，l2：4x+3y+5＝0.
(1)求直线l1与l2的交点P的坐标；
(2)求过l1，l2交点P，且在两坐标轴截距相等的直线方程；
(3)若直线l3：ax+2y﹣6＝0与l1，l2不能构成三角形，求实数a的值.
【答案】(1)（﹣2，1）
(2)x+y+1＝0或x+2y＝0
(3)a＝﹣1或或﹣2
【解析】
【分析】
（1）联立方程组即可求解；（2）先对截距为0和不为0讨论，再由题意可设直线方程，即可求解；
（3）分三类：第一，l3与l1平行；第二，l3与l2平行；第三，l3过l1，l2的交点，进而可以求解.
(1)
由，解得：，
所以点P的坐标为（﹣2，1）；
(2)
设所求直线为l，
（i）当直线l在两坐标轴截距不为零时，
设直线方程为：，则，解得t＝﹣1，
所以直线的l方程为，即x+y+1＝0；
（ii）当直线l在两坐标轴截距为零时，
设直线方程为：y＝kx，则1＝k×（﹣2），解得，
所以直线的l方程为，即x+2y＝0；
综上，直线的l方程为x+y+1＝0或x+2y＝0；
(3)
（i）当l3与l1平行时不能构成三角形，此时：a×（﹣2）﹣2×1＝0，解得a＝﹣1；
（ii）当l3与l2平行时不能构成三角形，此时：a×3﹣2×4＝0，解得；
（iii）当l3过l1，l2的交点时不能构成三角形，此时：a×（﹣2）+2×1﹣6＝0，
解得a＝﹣2.
综上，当a＝﹣1或或﹣2时，不能构成三角形.