人教b版高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第3节随机事件的概率学案含解析

第3节　随机事件的概率

一、教材概念·结论·性质重现

1．样本点与样本空间

把随机试验中每一种可能出现的结果，都称为样本点，把由所有样本点组成的集合称为样本空间(通常用大写希腊字母Ω表示)．

2．事件的相关概念

3．事件的关系与运算

(1)事件的关系

(2)事件的和与积

(3)事件的混合运算

因为事件运算的结果仍是事件，因此可以进行事件的混合运算，例如(A)＋(B)表示的是A与B的和，实际意义是：A发生且B不发生，或者A不发生且B发生，换句话说就是A与B中恰有一个发生．

同数的加、减、乘、除混合运算一样，事件的混合运算也有优先级，我们规定：求积运算的优先级高于求和运算，因此(A)＋(B)可简写为A＋B.

4．概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.

(2)必然事件的概率P(Ω)＝1.

(3)不可能事件的概率P(∅)＝0.

(4)①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．

②如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．

③如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)．

④设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．

1．随机事件A，B互斥与对立的区别与联系

当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥．

2．从集合的角度理解互斥事件和对立事件

(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集．

(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．

二、基本技能·思想·活动体验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)事件发生的频率与概率是相同的．( × )

(2)随机事件和随机试验是一回事．( × )

(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( √ )

(4)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生．( √ )

(5)若A，B为互斥事件，则P(A)＋P(B)＝1.( × )

(6)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．( √ )

2．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是

(　　)

A．至多有一次中靶 B．两次都中靶

C．只有一次中靶 D．两次都不中靶

D　解析：“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”．

3．将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是(　　)

A．必然事件 B．随机事件

C．不可能事件 D．无法确定

B　解析：抛掷10次硬币正面向上的次数可能为0～10，都有可能发生，所以正面向上5次是随机事件．

4．(多选题)若干个人站成一排，其中不是互斥事件的是　(　　)

A．“甲站排头”与“乙站排头”

B．“甲站排头”与“乙不站排尾”

C．“甲站排头”与“乙站排尾”

D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”

BCD　解析：对于A，“甲站排头”与“乙站排头”不可能同时发生，是互斥事件．对于B，“甲站排头”时，乙可以“不站排尾”，两者可以同时发生，不是互斥事件．对于C，“甲站排头”时，乙可以“站排尾”，两者可以同时发生，不是互斥事件．对于D，“甲不站排头”时，乙可以“不站排尾”，两者可以同时发生，不是互斥事件．故选BCD.

5．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：

则样本数据落在区间[10,40)的频率为________．

0.45　解析：由表知[10,40)的频数为2＋3＋4＝9，所以样本数据落在区间[10,40)的频率为＝0.45.

6．(2021·济南模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为________．

0.35　解析：因为事件A＝{抽到一等品}，且P(A)＝0.65，

所以事件“抽到的产品不是一等品”的概率为p＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.

考点1　随机事件的关系——基础性

(1)把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”(　　)

A．是对立事件 

B．是不可能事件

C．是互斥但不对立事件 

D．不是互斥事件

C　解析：显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给丙、丁两人，综上，这两个事件为互斥但不对立事件．

(2)设条件甲：事件A与事件B是对立事件，结论乙：概率满足P(A)＋P(B)＝1，则甲是乙的(　　)

A．充分不必要条件 

B．必要不充分条件

C．充要条件 

D．既不充分也不必要条件

A　解析：若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件．再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.投掷一枚硬币3次，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不一定是对立事件．如事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“出现3次正面”，则P(A)＝，P(B)＝，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对立事件．

判断互斥事件、对立事件的两种方法

(1)定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．

(2)集合法：①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥；

②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．

1．(2020·菏泽一中高三月考)同时投掷两枚硬币一次，互斥而不对立的两个事件是(　　)

A．“至少有1枚正面朝上”与“2枚都是反面朝上”

B．“至少有1枚正面朝上”与“至少有1枚反面朝上”

C．“恰有1枚正面朝上”与“2枚都是正面朝上”

D．“至少有1枚反面朝上”与“2枚都是反面朝上”

C　解析：在A中，“至少有1枚正面朝上”与“2枚都是反面朝上”不能同时发生，且“至少有1枚正面朝上”不发生时，“2枚都是反面朝上”一定发生，故A中的两个事件是对立事件；在B中，当两枚硬币恰好1枚正面朝上，1枚反面朝上时，“至少有1枚正面朝上”与“至少有1枚反面朝上”能同时发生，故B中的两个事件不是互斥事件；在C中，“恰有1枚正面朝上”与“2枚都是正面朝上”不能同时发生，且其中一个不发生时，另一个有可能发生也有可能不发生，故C中的两个事件是互斥而不对立事件；在D中，当2枚硬币同时反面朝上时，“至少有1枚反面朝上”与“2枚都是反面朝上”能同时发生，故D中的两个事件不是互斥事件．故选C.

2．口袋里装有6个形状相同的小球，其中红球1个，白球2个，黄球3个．从中取出两个球，事件A＝“取出的两个球同色”，B＝“取出的两个球中至少有一个黄球”，C＝“取出的两个球中至少有一个白球”，D＝“取出的两个球不同色”，E＝“取出的两个球中至多有一个白球”．下列判断中正确的序号为________．

①A与D为对立事件；

②B与C是互斥事件；

③C与E是对立事件；

④P(C∪E)＝1；

⑤P(B)＝P(C)．

①④　解析：显然A与D是对立事件，①正确；当取出的两个球为一黄一白时，B与C都发生，②不正确；当取出的两个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，③不正确；C∪E为必然事件，P(C∪E)＝1，④正确；P(B)＝，P(C)＝，⑤不正确．

考点2　随机事件的频率与概率——基础性

如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：

(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；

(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；

(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．

解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，

所以用频率估计相应的概率p＝＝0.44.

(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，

故由调查结果得频率为

(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．

由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，

P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5.

因为P(A1)＞P(A2)，所以甲应选择L1.

同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9.

因为P(B1)＜P(B2)，所以乙应选择L2.

1．概率与频率的关系

频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．

2．随机事件概率的求法

利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．

注意：概率的定义是求一个事件概率的基本方法．

1．在投掷一枚硬币的试验中，共投掷了100次，正面朝上的频数为51次，则正面朝上的频率为(　　)

A．49 B．0.5 

C．0.51 D．0.49

C　解析：由题意，根据事件发生的频率的定义可知，“正面朝上”的频率为＝0.51.

2．(2020·潍坊高三模拟)某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表：

现从该校教职工中任取1人，则下列结论正确的是(　　)

A．该校教职工具有本科学历的概率低于60%

B．该校教职工具有研究生学历的概率超过50%

C．该校教职工的年龄在50岁以上的概率超过10%

D．该校教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10%

D　解析：对于选项A，该校教职工具有本科学历的概率p＝＝＝62.5%>60%，故A错误；对于选项B，该校教职工具有研究生学历的概率p＝＝＝37.5%<50%，故B错误；对于选项C，该校教职工的年龄在50岁以上的概率p＝＝≈8.3%<10%，故C错误；对于选项D，该校教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率p＝＝＝12.5%>10%，故D正确．故选D.

考点3　互斥事件与对立事件的概率——综合性

经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下：

求：(1)至多2人排队等候的概率；

(2)至少3人排队等候的概率．

解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥．

(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.

(2)(方法一)记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.

(方法二)记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.

求复杂互斥事件概率的两种方法

(1)直接法：将所求事件分解为一些彼此互斥事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算．

(2)间接法：先求此事件的对立事件，再用公式P(A)＝1－P()求得，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法就会较简便．

提醒：应用互斥事件概率的加法公式，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件发生的概率，再求和(或差)．间接法体现了“正难则反”的思想方法．

1．抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋发生的概率为(　　)

A.   B. 

C.   D.

C　解析：抛掷一个骰子的试验有6种等可能结果．依题意P(A)＝＝，P(B)＝＝，

所以P()＝1－P(B)＝1－＝.

因为表示“出现5点或6点”的事件，所以事件A与互斥，从而P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝.

2．(2020·重庆八中高三模拟)某高校数学学院安排4名研究生在开学日当天随机到三个不同的车站迎接新生，要求每个车站至少有一人，则其中小李和小明不在同一车站的概率为(　　)

A.   B. 

C.   D.

C　解析：4人到3个车站的方法总数为CA＝36，其中小李和小明在同一车站的方法数为A＝6.因此小李和小明在同一车站的概率是p′＝＝，小李和小明不在同一车站的概率为p＝1－p′＝.故选C.