人教b版高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形新高考新题型微课堂3多选题命题热点之三角函数的图像与性质学案含解析66

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第4章 三角函数与解三角形三　多选题命题热点之三角函数的图像与性质三角函数的图像与性质是高考考查的热点内容之一，且在多选题中出现频率较高，主要考查内容有：三角函数的奇偶性、周期性、单调性、图像的对称性、平移变换等．在考查时经常与三角恒等变换相结合，解题时要充分利用三角函数的图像及性质，利用数形结合、函数与方程思想等进行求解．　三角函数的图像(多选题)(2020·全国卷Ⅰ)如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图像，则sin(ωx＋φ)＝(　　)A．sin　　　　　 B．sinC．cos D．cosBC　解析：由函数图像知＝－＝，则ω＝＝＝2，所以A项不符合．当x＝＝时，y＝－1，所以2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，解得φ＝2kπ＋(k∈Z)，即函数的解析式为y＝sin＝sin＝cos＝sin，故BC正确．而cos＝－cos，故D错误．故选BC. 确定函数y＝Asin(ωx＋φ)解析式的策略已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图像求其解析式时，可以通过观察图得出A，求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图像上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)的坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ.若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求．(多选题)(2020·菏泽模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋4φ)的部分图像如图所示．若函数f(x)的图像纵坐标不变，将横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图像，则(　　)A．函数f(x)的解析式为f(x)＝2sinB．函数g(x)的解析式为g(x)＝2sinC．函数f(x)图像的一条对称轴是直线x＝－D．函数g(x)在区间上单调递增ABD　解析：由图可知，A＝2，＝π，所以T＝4π＝，得ω＝，所以f(x)＝2sin.将(0,1)代入得sin 4φ＝.因为0<φ<，所以4φ＝.所以f(x)＝2sin，故A正确．函数f(x)的图像纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，可得g(x)＝2sin＝2sin，故B正确．f ＝2sin＝0，不是最值，故x＝－不是函数f(x)图像的对称轴，C错误．由x∈，得2x－∈.函数y＝sin x在区间上单调递增．根据复合函数的单调性可知，函数g(x)在区间上单调递增，D正确．故选ABD.　三角函数的性质(多选题)已知函数f(x)＝Asin ωx－cos ωx(A>0，ω>0)，g(x)＝2sin x．若对于∀x1∈R，∃x2∈，使得f(x1)≤g(x2)成立，且f(x)在区间上的值域为[－1，]，则实数ω的取值可能是(　　)A.   B.  C.1   D.CD　解析：因为对于∀x1∈R，∃x2∈，使得f(x1)≤g(x2)成立，所以f(x)max≤g(x)max，即≤.因为f(x)在区间上的值域为[－1，]，所以f(x)max＝≥.综上，＝，得A＝1，此时f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin.因为f(x)在区间上的值域为[－1，]，即－1≤·sin≤，得－≤sin≤1.当x∈时，ωx－∈，所以≤ω－≤π＋，即1≤ω≤2.故选CD.探求三角函数的性质策略(1)正弦、余弦函数的最小正周期T＝2π，函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b或y＝Acos(ωx＋φ)＋b的最小正周期是T＝；正切函数的最小正周期为T＝π， 函数y＝Atan(ωx＋φ)＋b的最小正周期是T＝.(2)讨论三角函数的性质，应先把函数化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)或y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的形式，然后通过换元法令t＝ωx＋φ，转化为研究y＝Asin t或y＝Acos t的性质．1．(多选题)(2020·山东模拟)若函数f(x)＝4sin ωx·sin2＋cos 2ωx－1(ω>0)在上单调递增，则(　　)A．f(x)是偶函数  B．f(x)的最小正周期T＝C．ω的最大值为  D．ω没有最小值BCD　解析：f(x)＝4sin ωx·sin2＋cos 2ωx－1＝4sin ωx＋cos 2ωx－1＝2sin ωx＋2sin2ωx＋1－2sin2ωx－1＝2sin ωx，为奇函数，包含原点的单调递增区间为.又f(x)在上单调递增，所以解得0<ω≤.综上所述，f(x)是奇函数，最小正周期T＝，ω的最大值是，ω没有最小值．故选BCD.2．(多选题)(2020·威海一模)设函数f(x)＝2cos 2x－2－cos 2x，则(　　)A．f(x)在上单调递增B．f(x)的值域为C．f(x)的一个周期为πD．f 的图像关于点对称BC　解析：对于A，函数f(x)＝2cos 2x－2－cos 2x是由y＝2t－2－t和t＝cos 2x复合而成．当x∈时，2x∈(0，π)，t＝cos 2x单调递减．又y＝2t－2－t在(－∞，＋∞)上单调递增，所以f(x)在上单调递减，故A错误．对于B，因为t＝cos 2x，所以t∈[－1,1]．又因为y＝2t－2－t单调递增，所以ymin＝2－1－2＝－，ymax＝2－2－1＝，所以f(x)的值域为，故B正确．对于C，因为f(x＋π)＝2cos 2(x＋π)－2－cos 2(x＋π)＝2cos 2x－2－cos 2x＝f(x)，所以π是f(x)的一个周期，故C正确．对于D，设g(x)＝f＝2cos 2－2－cos 2＝2－sin 2x－2sin 2x.在f的图像上任取一点(x，g(x))，则(x，g(x))关于的对称点的坐标为，将代入g(x)，得g＝2－sin 2－2sin 2＝2－sin 2x－2sin 2x＝g(x)≠－g(x)，所以点不在函数f的图像上，所以f的图像不关于点对称，故D错误．故选BC.