新教材高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第2节二项式定理学案含解析

这是一份新教材高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第2节二项式定理学案含解析，共10页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动体验等内容，欢迎下载使用。
第二节　二项式定理一、教材概念·结论·性质重现1．二项式定理二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)二项展开式的通项公式Tk＋1＝Can－kbk，它表示展开式的第k＋1项二项式系数C(k＝0,1,2，…，n) (a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同，而且两个展开式的通项不同．2．二项式系数的性质二项展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)Can－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k项． (×)(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项． (×)(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关． (√)(4)通项公式Tk＋1＝Can－kbk中的a和b不能互换． (√)(5)(a＋b)n的展示式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．              (√)2．(2020·海南中学高三模拟)已知(2x－a)6(a是常数)的展开式中含x3的项的系数为－160，则a＝(　　)A．1  B．－1  C．  D．－A　解析： 因为Tk＋1＝C(2x)6－k(－a)k(k＝0，…，6)，所以6－k＝3，所以k＝3，所以C×23×(－a)3＝－160，解得a＝1.故选A．3．二项式的展开式中x3y2的系数是(　　)A．5  B．－20  C．20  D．－5A　解析：二项式的通项公式为Tk＋1＝C (－2y)k.根据题意，得解得k＝2.所以x3y2的系数是C×(－2)2＝5.故选A．4．(2020·天津联考)已知的展开式中常数项为112，则实数a的值为(　　)A．±1  B．1  C．2  D．±2A　解析：展开式中的通项公式为 Tk＋1＝C()8－k·＝C(－2a)kx.令－k＝0，求得k＝2，所以它的展开式的常数项是C(－2a)2.再根据展开式中的常数项是112，可得C(－2a)2＝112，求得a＝±1.故选A．5．(x＋1)5(x－2)的展开式中x2的系数为________．－15　解析：(x＋1)5(x－2)＝x(x＋1)5－2(x＋1)5展开式中含有x2的项为－20x2＋5x2＝－15x2.故x2的系数为－15.6．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为________．8　解析：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0.令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8.考点1　二项展开式的通项公式及其应用——基础性考向1　求二项展开式中的特定项(1)(2020·全国卷Ⅲ)的展开式中常数项是________(用数字作答)．240　解析：展开式的通项为Tk＋1＝C(x2)6－k·＝2kCx12－3k.令12－3k＝0，解得k＝4，故常数项为24C＝240.(2)(2019·浙江卷)在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________．16　5　解析：由题意，(＋x)9的通项公式为Tk＋1＝C()9－k·xk(k＝0,1,2，…，9)．当k＝0时，可得常数项为T1＝C()9＝16.若展开式的系数为有理数，则k＝1,3,5,7,9，有T2，T4，T6，T8，T10共5个．求二项展开式中特定项的步骤第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式Tk＋1＝Can－kbk，把字母和系数分离开(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出k；第三步，把k代入通项公式中，即可求出Tk＋1，有时还需要先求n，再求k，才能求出Tk＋1或者其他量．考向2　形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式(1)(2020·全国卷Ⅰ)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)A．5  B．10  C．15  D．20C　解析：要求(x＋y)5的展开式中x3y3的系数，只要分别求出(x＋y)5的展开式中x2y3和x4y的系数再相加即可．由二项式定理可得(x＋y)5的展开式中x2y3的系数为C＝10，x4y的系数为C＝5，故(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为10＋5＝15.故选C．(2)(x2＋1)的展开式的常数项是(　　)A．5  B．－10  C．－32  D．－42D　解析：的通项公式为C××(－2)k＝C×(－2)k×x.令＝0，解得k＝5；令＝－2，得k＝1.故(x2＋1)×的展开式的常数项是C×(－2)＋C×(－2)5＝－42.求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．(2)观察(a＋b)n(c＋d)m是否可以合并，如(1＋x)5·(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5·(1－x)2.(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．考向3　形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2项的系数为(　　)A．10  B．20  C．30  D．60C　解析：(方法一)(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C(x2＋x)3y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.所以x5y2的系数为C×C＝30.(方法二)(x2＋x＋y)5表示5个x2＋x＋y之积，所以x5y2可从其中5个因式中，2个取因式中的x2，剩余的3个因式中1个取x,2个因式取y，因此x5y2的系数为CCC＝30.求三项展开式中某些特定项的系数的方法(1)通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解．(2)两次利用二项式定理的通项公式求解．(3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量．1．(2020·海淀区高三一模)在的展开式中，常数项为(　　)A．－120  B．120  C．－160  D．160C　解析：展开式的通项公式为Tk＋1＝(－1)k2kCx2k－6 .令2k－6＝0，得k＝3.所以常数项为T3＋1＝(－1)323C＝－160.故选C．2．(2019·烟台模拟)已知的展开式的各项系数和为243，则展开式中x7的系数为(　　)A．5  B．40  C．20  D．10B　解析：由的展开式的各项系数和为243，令x＝1，得3n＝243，即n＝5，所以＝，则Tk＋1＝C·(x3)5－k·＝2k·C·x15－4k.令15－4k＝7，得k＝2，所以展开式中x7的系数为22×C＝40.3．(2020·莱西一中、高密一中、枣庄三中高三联考)(1－x2)展开式中的常数项为(　　)A．－35  B．－5  C．5  D．35A　解析：(1－x2)＝－x2，，x2的展开式的通项公式分别为C·x6－k·，x2C·x6－r·，即分别为C·(－1)k·x6－2k，C·(－1)r·x8－2r.令得因此，二项式(1－x2)·展开式中的常数项为－C－C＝－35.故选A．4．(2020·攀枝花市高三三模)(x2－x－2)3的展开式中，含x4的项的系数是(　　)A．9  B．－9  C．3  D．－3D　解析：因为(x2－x－2)3＝(x－2)3(x＋1)3，所以含x4的项为Cx3·Cx＋Cx2·(－2)·Cx2＋Cx×(－2)2·Cx3＝－3x4.故选D．考点2　二项式系数与各项的系数和问题——基础性(1)在二项式(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为(　　)A．－960  B．960  C．1 120  D．1 680C　解析：根据题意，奇数项的二项式系数之和也应为128，所以在(1－2x)n的展开式中，二项式系数之和为256，即2n＝256，解得n＝8，则(1－2x)8的展开式的中间项为第5项，且T5＝C(－2)4x4＝1 120x4，即展开式的中间项的系数为1 120.故选C．(2)(2020·哈尔滨市第一中学高三一模)若(1－2x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝(　　)A．28－1  B．28  C．38－1  D．38D　解析：由题可知，x的奇数次幂的系数均为负数，所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a8.因为(1－2x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，令x＝－1得a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝38，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝38.故选D．(1)赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x，y的一切值都成立．因此，可将x，y设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令x，y等于多少，应视具体情况而定，一般取1，－1或0，有时也取其他值．如：①形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可；②形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)的展开式中，①各项系数之和为f(1)；②奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝；③偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.1．(2020·广西高三5月联考)若(a＋x2)(1＋x)n的展开式中各项系数之和为192，且常数项为2，则该展开式中x4的系数为(　　)A．30  B．45  C．60  D．81B　解析：令x＝0，得a＝2，所以(a＋x2)(1＋x)n＝(2＋x2)(1＋x)n.令x＝1，得3×2n＝192，所以n＝6.故该展开式中x4的系数为2C＋C＝45.故选B．2．(2020·大同一中高三一模)若a0＋a1(2x－1)＋a2(2x－1)2＋a3(2x－1)3＋a4(2x－1)4＋a5(2x－1)5＝x5，则a2的值为(　　)A．  B．  C．  D．C　解析：因为x5＝[(2x－1)＋1]5，所以二项式[(2x－1)＋1]5的展开式的通项公式为Tk＋1＝C·(2x－1)5－k×1k＝C·(2x－1)5－k.令k＝3，所以T4＝C·(2x－1)2.因此有a2＝·C＝·C＝×＝.故选C．3．(多选题)(2020·南京市高三开学考试)已知(2＋x)(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则(　　)A．a0的值为2B．a5的值为16C．a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6的值为－5D．a1＋a3＋a5的值为120ABC　解析：令x＝0，得a0＝2，故A正确．2×(－2)5C＋(－2)4C＝16，故a5＝16，B正确．令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝－3①.又a0＝2，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝－5，故C正确．令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝243②.由①②得a1＋a3＋a5＝－123，D错误．故选ABC．考点3　二项式系数的性质——综合性考向1　二项式系数的最值问题(2020·大庆市高三三模)若的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是(　　)A．－462   B．462C．792   D．－792D　解析：因为的展开式中只有第7项的二项式系数最大，所以n为偶数，展开式共有13项，则n＝12.的展开式的通项公式为Tk＋1＝(－1)kCx12－2k.令12－2k＝2，得k＝5.所以展开式中含x2项的系数是(－1)5C＝－792.故选D．考向2　项的系数的最值问题(1)(2020·邵阳市高三第一次联考)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝ (　　)A．5  B．6  C．7  D．8B　解析：由题意可知C＝a，C＝b.因为13a＝7b，所以13C＝7C，即13＝7，所以13＝7·，解得m＝6.故选B．(2)(2020·延安市第一中学高三月考)已知(x＋3x2)n的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，求：①展开式中二项式系数最大的项；②展开式中系数最大的项．解：令x＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n.又展开式中二项式系数和为2n，所以22n－2n＝992，n＝5.①因为n＝5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第3,4两项，所以T3＝C(x)3(3x2)2＝90x6，T4＝C(x)2·(3x2)3＝270x.②设展开式中第r＋1项系数最大，则Tr＋1＝C(x)5－r(3x2)r＝3rCx.所以解得≤r≤.所以r＝4，即展开式中第5项的系数最大，T5＝405x.1．二项式系数最大项的确定方法当n为偶数时，展开式中第项的二项式系数最大，最大值为C；当n为奇数时，展开式中第项和第项的二项式系数最大，最大值为C或C.2．二项展开式系数最大项的求法如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法．设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用解出k即可．1．(2020·绵阳高三三模)在二项式的展开式中，仅第四项的二项式系数最大，则展开式中常数项为(　　)A．－360  B．－160  C．160  D．360B　解析：因为展开式中，仅第四项的二项式系数最大，所以展开式共有7项．所以n＝6.所以展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx6－k＝(－2)kCx6－2k.由6－2k＝0得k＝3，即常数项为T4＝(－2)3C＝－160.故选B．2．已知(1＋3x)n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为________．C(3x)7和C(3x)8　解析：由已知得C＋C＋C＝121，则n·(n－1)＋n＋1＝121，即n2＋n－240＝0，解得n＝15(舍去负值)，所以展开式中二项式系数最大的项为T8＝C(3x)7和T9＝C(3x)8.(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数是(　　)A．－4  B．－3  C．3  D．4[四字程序]读想算思展开式中x的系数1.二项展开式的项与系数；2.展开式的通项公式两个乘积式各自用展开式的通项公式计算系数转化(1－)6·(1＋)4第k＋1项Tk＋1＝Can－kbkTk＋1＝Can－kbk1.通项公式法．2.组合数生成法思路参考：直接利用两个二项展开式的通项公式乘积获得x的系数．B　解析：(1－)6的展开式的通项公式为C·(－)m＝C·(－1)mx，(1＋)4的展开式的通项公式为C·()n＝Cx，其中m＝0,1,2，…，6，n＝0,1,2,3,4.令＋＝1，得m＋n＝2，于是(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数等于C·(－1)0·C＋C·(－1)1·C＋C·(－1)2·C＝－3.思路参考：将两个二项式化成一个二项展开式与一个多项式乘积的形式，再利用二项展开式的通项公式．B　解析：(1－)6(1＋)4＝[(1－)(1＋)]4(1－)2＝(1－x)4(1－2＋x)．于是(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数为C·1＋C(－1)1×1＝－3.思路参考：利用组合的知识求解x的系数．B　解析：在(1－)6(1＋)4的展开式中要出现x，可以分为以下三种情况：①(1－)6中选2个(－)，(1＋)4中选0个作积，这样得到的x的系数为C·C＝15；②(1－)6中选1个(－)，(1＋)4中选1个作积，这样得到的x的系数为C(－1)1·C＝－24；③(1－)6中选0个(－)，(1＋)4中选2个作积，这样得到的x的系数为C·C＝6.所以x的系数为15－24＋6＝－3.故选B．二项式定理是必考内容，主要以通项公式为主，考查系数问题，解法灵活多变，借助二项展开式的通项公式，在每个二项展开式中求出各自的通项公式，最后利用展开式中系数的生成法求出结果．解答本题需要一定的运算能力和推理能力，体现了逻辑推理及数学运算的素养．在(x2＋2x＋1)2(x－1)5的展开式中，x4的系数为(　　)A．－6  B．6  C．10  D．4A　解析：(x2＋2x＋1)2(x－1)5＝(x＋1)4(x－1)5＝(1＋x)4(－1＋x)5.因为(1＋x)4的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·14－r·xr＝Cxr，(－1＋x)5的展开式的通项公式为Tk＋1＝C·(－1)5－k·xk，则展开式中含x4的项需满足r＋k＝4，所以展开式中x4的系数为CC·(－1)＋CC·(－1)2＋CC·(－1)3＋CC·(－1)4＋CC·(－1)5＝－5＋40－60＋20－1＝－6.故选A．