人教版高考数学一轮复习第2章函数的概念及基本初等函数i第6节对数与对数函数学案理含解析

第六节　对数与对数函数

‖知识梳理‖

1．对数的概念

如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

2．对数的性质与运算法则

(1)对数的性质

①alogaN＝N；

②logaaN＝N(a>0且a≠1)；

③零和负数没有对数．

(2)对数的运算法则(a>0且a≠1，M>0，N>0)

①loga(MN)＝logaM＋logaN；

②loga＝logaM－logaN；

③logaMn＝nlogaM(n∈R)．

(3)对数的重要公式

①换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1，N>0)；

②logab＝(a，b均大于零且不等于1，N>0)．

►常用结论

(1)指数式与对数式互化：ax＝N⇔x＝logaN.

(2)对数运算的一些结论：

①logambn＝logab；②logab·logba＝1；③logab·logbc·logcd＝logad.

3．对数函数及其性质

(1)概念：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．

(2)对数函数的图象与性质

►常用结论

(1)底数的大小决定了图象相对位置的高低；不论是a>1还是0<a<1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．

(2)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限．

‖基础自测‖

一、疑误辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．

(1)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　)

(2)logax·logay＝loga(x＋y)．(　　)

(3)函数y＝log2x及y＝log(3x)都是对数函数．(　　)

(4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　　)

(5)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√

二、走进教材

2．(必修1P73T3改编)已知a＝2，b＝log2，c＝log，则(　　)

A．a>b>c B．a>c>b

C．c>b>a D．c>a>b

答案：D

3．(必修1P74A7改编)函数y＝的定义域是________．

答案：

三、易错自纠

4．如果logx<logy<0，那么(　　)

A．y<x<1 B．x<y<1

C．1<x<y D．1<y<x

解析：选D　由logx<logy<0，得logx<logy<log1，所以x>y>1.

5．函数y＝的定义域为________．

解析：要使函数有意义，须满足解得<x≤1.

答案：

6．若loga<1(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是____________．

解析：当0<a<1时，loga<logaa＝1，所以0<a<；当a>1时，loga<logaa＝1，所以a>1.

答案：∪(1，＋∞)

|题组突破|

1.＋log2＝(　　)

A．2 B．2－2log23

C．－2 D．2log23－2

解析：选B　＝＝2－log23，又log2＝－log23，两者相加即为B．

2．计算÷100＝________．

解析：原式＝(lg 2－2－lg 52)×100＝10lg ＝10lg 10－2＝－2×10＝－20.

答案：－20

3.lg－lg ＋lg＝________．

解析：lg －lg ＋lg

＝(5lg 2－2lg 7)－××3lg 2＋(lg 5＋2lg 7)

＝(lg 2＋lg 5)＝.

答案：

4．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________．

解析：因为2a＝5b＝m>0，所以a＝log2m，b＝log5m，所以＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，所以m2＝10，所以m＝(负值舍去)．

答案：

►名师点津

对数运算的一般思路

(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；

(2)将同底对数的和、差、倍合并；

(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．

【例1】　(1)(2019届合肥质检)函数y＝ln(2－|x|)的大致图象为(　　)

(2)当0<x≤时，4x<logax，则a的取值范围是(　　)

A． B．

C．(1，) D．(，2)

[解析]　(1)令f(x)＝ln(2－|x|)，易知函数f(x)的定义域为{x|－2<x<2}，且f(－x)＝ln(2－|x|)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，排除选项C、D；由对数函数的单调性及函数y＝2－|x|的单调性知A正确．

(2)易知0<a<1，函数y＝4x与y＝logax的大致图象如图，则由题意可知，只需满足loga>4，

解得a>，∴<a<1，故选B．

[答案]　(1)A　(2)B

►名师点津

(1)识别对数函数图象时，要注意底数a以1为分界；当a>1时，是增函数；当0<a<1时，是减函数．注意对数函数图象恒过定点(1，0)，且以y轴为渐近线．

(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．

|跟踪训练|

1．函数f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的图象大致为(　　)

解析：选A　由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称．设g(x)＝loga|x|，先画出当x>0时g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出当x<0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位长度，即得f(x)的图象，结合图象知选A．

2．已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是(　　)

A．(1，10) B．(5，6)

C．(10，12) D．(20，24)

解析：选C　作出f(x)的大致图象，不妨设a<b<c，因为a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，由函数的图象可知，10<c<12，且|lg a|＝|lg b|，因为a≠b，所以lg a＝－lg b，可得ab＝1，所以abc＝c∈(10，12)．

常见的考查对数函数的性质的命题角度有：

(1)对数值大小的比较；(2)对数函数单调性的应用；(3)与对数函数有关的不等式问题．

●命题角度一　对数值大小的比较

【例2】　(2019年天津卷)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a<c<b B．a<b<c

C．b<c<a D．c<a<b

[解析]　由题意，可知a＝log52<1，b＝log0.50.2＝log＝log2－15－1＝log25>log24＝2，c＝0.50.2<1，

∴b最大，a，c都小于1.

∵a＝log52＝，c＝0.50.2＝＝＝ ，

而log25>log24＝2>，∴<，∴a<c，

∴a<c<b，故选A．

[答案]　A

►名师点津

比较对数值的大小，常有以下题型及求法：

—

●命题角度二　对数函数单调性的应用

【例3】　若函数f(x)＝log(－x2＋4x＋5)在区间(3m－2，m＋2)内单调递增，则实数m的取值范围为(　　)

A． B．

C． D．

[解析]　由－x2＋4x＋5>0，解得－1<x<5.

二次函数y＝－x2＋4x＋5的对称轴为x＝2.由复合函数单调性可得，函数f(x)＝log(－x2＋4x＋5)的单调递增区间为(2，5)．要使函数f(x)＝log(－x2＋4x＋5)在区间(3m－2，m＋2)内单调递增，只需

解得≤m<2.

[答案]　C

►名师点津

与对数函数有关的复合函数的单调性，解决此类问题有以下三个步骤：

(1)求出函数的定义域；

(2)判断对数函数的底数与1的大小关系，当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时，若涉及其单调性，就必须对底数进行分类讨论；

(3)判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性．

●命题角度三　与对数函数有关的不等式问题

【例4】　设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－1，0)∪(0，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C．(－1，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，1)

[解析]　由题意，得

或

解得a>1或－1<a<0.故选C．

[答案]　C

►名师点津

处理这类问题的方法是：一般模式都是给出一个含有参数而且与对数有关的函数，通过求导和单调性得到参数的取值范围，然后在参数中选定一个参数，得到一个与对数函数有关的不等式，最后对变量x相应地赋值证得结论．

|跟踪训练|

3．(2019年全国卷Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则(　　)

A．a<b<c B．a<c<b

C．c<a<b D．b<c<a

解析：选B　a＝log20.2<log21＝0，b＝20.2>20＝1，

∵0<0.20.3<0.20＝1，

∴c＝0.20.3∈(0，1)，

∴a<c<b，故选B．

4．若函数f(x)＝loga(x2－ax＋5)(a>0且a≠1)满足对任意的x1，x2，当x1<x2≤时，f(x2)－f(x1)<0，则实数a的取值范围为________．

解析：当x1<x2≤时，f(x2)－f(x1)<0，即函数f(x)在区间上为减函数，设g(x)＝x2－ax＋5，则解得1<a<2.

答案：(1，2)

【例】　(2019届江西赣州模拟)已知函数f(x)＝|log3x|，实数m，n满足0<m<n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则＝________．

[解析]　∵f(x)＝|log3x|，正实数m，n满足m<n，且f(m)＝f(n)，∴0<m<1<n，且－log3m＝log3n，∴mn＝1.∵f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，函数f(x)在[m2，1)上是减函数，在(1，n]上是增函数，∴－log3m2＝2或log3n＝2.若－log3m2＝2，则m＝，此时n＝3，则log3n＝1，满足题意，那么＝3÷＝9；若log3n＝2，则n＝9，此时m＝，则－log3m2＝4，不满足题意．综合可得＝9.

[答案]　9

►名师点津

由f(x)＝|log3x|，正实数m，n满足m<n，且f(m)＝f(n)，得0<m<1<n，且－log3m＝log3n，可得mn＝1.对范围[m2，n]内f(x)取最大值的情况进行讨论，可求m，n的值．

|跟踪训练|

(2019届江西一模)若函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)的值域为R，则实数a的取值范围是________．

解析：∵函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)的值域为R，∴x＋－4能取遍所有的正数，

又当x>0时，x＋－4≥2－4，当x<0时，x＋－4≤－2－4<0(舍去)，

∴要满足题意，需2－4≤0，解得a≤4.

故实数a的取值范围是(0，1)∪(1，4]．

答案：(0，1)∪(1，4]