2022届河南省豫北名校联盟高三下学期第三次模拟考试数学（文）试题含解析

这是一份2022届河南省豫北名校联盟高三下学期第三次模拟考试数学（文）试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届河南省豫北名校联盟高三下学期第三次模拟考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由集合的并集运算即可得出结果.【详解】故选：D2．已知为实数，为虚数单位，若，则（       ）A． B． C．1 D．3【答案】B【分析】根据，转化为，再利用复数相等求解.【详解】因为，所以，所以，所以.故选：B【点睛】本题主要考查复数的运算及复数相等，属于基础题.3．针对时下的“抖音热”某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数，若有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生可能有（       ）人附表：0.0500.0103.8416.635 附：A．20 B．40 C．60 D．80【答案】C【分析】设男女生人数共有n人，根据男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数，算出a，b，c，d的值，代入公式解得，然后根据有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则有求解.【详解】设男女生人数共有n人，则男生喜欢欢抖音的人数有，男生不喜欢欢抖音的人数有，女生喜欢欢抖音的人数有，男生不喜欢欢抖音的人数有，所以，因为有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，所以，解得，所以，所以调查人数中男生可能有60人.故选：C【点睛】本题主要考查独立性检验，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4．平面向量与的夹角为，，，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量模的计算公式计算即可得答案.【详解】解：因为向量与的夹角为，，，所以，，所以根据向量模的计算公式得故选：C5．已知函数，则下列结论中错误的是（       ）A．为偶函数 B．的最大值为C．在区间上单调递增 D．的最小正周期为【答案】C【分析】利用二倍角公式和三角函数性质对每个选项进行判断即可.【详解】已知函数，当， 时，，当， 时，，A选项，，所以 为偶函数正确，B选项，的最大值为，正确，C选项，在区间上不单调，错误，D选项，的最小正周期是，D选项正确，故选：C.6．已知三棱锥的底面是边长为2的等边三角形，平面，且，则该三棱锥外接球的表面积为A． B． C． D．【答案】D【分析】由于球中球心与球的小圆圆心的连线垂直于这个小圆，利用也垂直于这个小圆，即可利用球心与小圆圆心建立起直角三角形，，根据题意可求出是底面三角形的外接圆的半径，利用计算即可，最后即可求出球的表面积．【详解】由已知得，作下图，连结，延长至圆上交于H，过作交于，则为，所以，为斜边的中点， 所以，为的中位线，为小圆圆心，则为的中点，则，则，，则球的半径 球的表面积为答案选D.【点睛】本题考查计算球的表面积，关键在于利用进行计算，难点在于构造三要素相关的直角三角形进行求解，难度属于中等．7．等比数列的各项均为正数，已知向量，，且，则（       ）A．5 B． C． D．【答案】B【分析】根据是等比数列，由 ，得到，再由对数运算求解.【详解】已知向量，，所以，因为是等比数列，所以，所以.故选：B【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，等比数列的性质，以及对数运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8．已知圆截直线所得弦的长度小于6，则实数的取值范围为A． B．C． D．【答案】D【解析】根据圆的半径大于零可求得；利用点到直线距离公式求出圆心到直线距离，利用弦长可求得；综合可得的取值范围.【详解】由题意知，圆的方程为：，则圆心为，半径为则：，解得：圆心到直线的距离为：，解得：综上所述：本题正确选项：【点睛】本题考查直线被圆截得弦长相关问题的求解，关键是明确弦长等于，易错点是忽略半径必须大于零的条件.9．已知在中，，，角的平分线，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先在中，利用正弦定理得到，进而得到，从而得到，然后在中，利用正弦定理求解.【详解】在中，由正弦定理得，所以，因为，所以，，，在中，由正弦定理得：，所以. 故选：C【点睛】本题主要考查正弦定理在平面几何中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10．实数满足条件，则的最小值为（        ）A．16 B．4 C．1 D．【答案】D【详解】有题得如下可行域：则过时，的最小值为，故选D．11．已知双曲线的右焦点为，过作双曲线渐近线的垂线，垂足为，直线交双曲线右支于点，且为线段的中点，则该双曲线的离心率是A．2 B． C． D．【答案】D【分析】先求得点的坐标，根据中点坐标公式求得点坐标，将点坐标代入双曲线方程，化简后求得双曲线的离心率.【详解】由于双曲线焦点到渐近线的距离为，所以，所以，由于是的中点，故，代入双曲线方程并化简得，即，.【点睛】本小题主要考查双曲线的几何性质，考查双曲线焦点到渐近线的距离，考查中点坐标公式，考查双曲线离心率的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.双曲线焦点到渐近线的距离是一个定值，这个要作为结论来记忆.要求双曲线的离心率，可从一个等式中得到，本题通过双曲线上一个点的坐标来得到一个等式，由此解出双曲线的离心率.12．已知函数，函数在定义域内恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】函数在定义域内恰有三个不同的零点，则函数的图象与的图象恰有三个不同的交点,数形结合找到临界位置,平移函数即可得解【详解】函数在定义域内恰有三个不同的零点，则函数的图象与的图象恰有三个不同的交点.由得: ,相切时有: 得;由得,相切时有: 得.在处切线斜率为.如图所示，函数的图象与函数的图象相切，函数的图象过点，函数的图象过点，函数的图象与函数的图象相切，从而结合图象可知实数的取值范围为，故选:A.【点睛】本题主要考查了利用数形结合研究函数的零点,将其转化为两个函数的交点,准确作图是解题的关键,属于中档题.二、填空题13．若曲线在点处的切线经过坐标原点，则__________．【答案】【详解】y′＝αxα－1，∴y′|x＝1＝α.曲线在点(1,2)处的切线方程为y－2＝α(x－1)，将点(0,0)代入方程，得α＝2.14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，M为椭圆上异于长轴端点的动点，的内心为I，则________.【答案】【解析】运用椭圆的定义和圆切线的性质，以及内心的定义，结合解直角三角形的知识，即可求得．【详解】解：设的内切圆与相切于D，E，F，设，则，由椭圆的定义，可得，，即有，即有：，即，再由，故答案为：.【点睛】本题考查椭圆的方程的定义，考查切线的性质，内心的定义，属于中档题．15．春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊杆——桔槔，后发展成辘轳.19世纪末，由于电动机的发明，离心泵得到了广泛应用，为发展机械提水灌溉提供了条件.图形所示为灌溉抽水管道在等高图上的垂直投影，在处测得处的仰角为37度，在处测得处的仰角为45度，在处测得C处的仰角为53度，点所在等高线值为20米，若管道长为50米，则点所在等高线值为______.（参考数据）【答案】50【分析】根据垂直投影图画出水平投影图，利用三个直角三角形可求出B的高度.【详解】根据垂直投影图，画出水平投影图如下：由，，得，设，则，得由，得，解得，所以点所在等高线值为20+30=50.故答案为：50.【点睛】新文化类题目，先仔细读懂题意，再转化为数学模型，利用相关数学知识可解；此题的关键是由俯视图（垂直投影）画出正视图（水平投影），利用三角函数可解.16．已知函数，，若存在，，使得成立，则的最小值为______.【答案】【分析】利用导数研究函数可得函数的单调性情况，且时，，时，，同时注意，则，所以，构造函数，，利用导数求其最小值即可．【详解】函数的定义域为，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，又，所以时，；时，；时，，同时注意到，所以若存在，，使得成立，则且，所以，所以，所以构造函数，而，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，即.故答案为：.【点睛】关键点睛：利用同构的方式将联系起来，这样就构造了新函数，然后利用导数研究函数的单调性及最值.三、解答题17．随着互联网行业、传统行业和实体经济的融合不断加深，互联网对社会经济发展的推动效果日益显著，某大型超市计划在不同的线上销售平台开设网店，为确定开设网店的数量，该超市在对网络上相关店铺做了充分的调查后，得到下列信息，如图所示（其中表示开设网店数量，表示这个分店的年销售额总和），现已知，求解下列问题；（1）经判断，可利用线性回归模型拟合与的关系，求解关于的回归方程；（2）按照经验，超市每年在网上销售获得的总利润（单位：万元）满足，请根据（1）中的线性回归方程，估算该超市在网上开设多少分店时，才能使得总利润最大．参考公式；线性回归方程，其中【答案】（1）；（2）开设8或9个分店时，才能使得总利润最大．【分析】（1）先求得，再根据提供的数据求得，，写出回归直线方程；（2）由（1）结合，得到，再利用二次函数的性质求解.【详解】（1）由题意得，所以．（2）由（1）知，，所以当或时能获得总利润最大．18．已知三棱柱，，平面，，为棱上一点，若.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）要证线面垂直，只要证垂直于平面内的两条相交直线，根据题目所给垂直关系可得，在根据比例关系，即可得解；（2）通过转体积法可得，即可得解,【详解】（1）平面，平面，所以，又，所以平面， 平面，所以，所以，在和有：，可得，所以 ，，所以平面，得证；（2）.19．已知等比数列满足：，．（1）求的通项公式；（2）令，其前项和为，若的最大值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用等比数列的通项公式将已知条件转化为关于和的方程，即可求解；（2）由（1）可得的通项，利用等差数列的求和公式可求得，再利用基本不等式即可求最值.【详解】由题意两式相除可得：，所以，解得：．即的通项公式为．（2），，因为，，当且仅当即时等号成立，所以得，所以的最大值为.【点睛】易错点睛：对于函数与数列的综合问题，解决该问题应该注意的事项：（1）数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；（2）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；（3）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.20．已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，的周长为为坐标原点，（1）求椭圆的方程；（2）求面积的最大值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用题意定义可求出，再根据离心率可得答案；（2）设出直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理可表示出的面积，再利用函数的性质可得答案.【详解】（1）设椭圆半焦距为由题意可知，由离心率有，所以椭圆方程为，（2）设直线，联立方程组，消去得，设，有，由，所以的面积，函数，令，则，因为，所以，。所以在上单调递增，因为，所以，当且仅当时取等号，所以，所以面积的最大值为．【点睛】本题考查了椭圆的方程、椭圆与直线的位置关系，解题的关键点是利用韦达定理表示出三角形的面积，考查了学生分析问题、解决问题的能力及计算能力.21．已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若恒成立，求正实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）.【分析】（1）利用导数，并讨论、研究的符号，进而判断的单调性；（2）将问题转化为恒成立，构造中间函数，只需求时的范围即可.【详解】（1）且，∴时，即单调递增；时，有，即在上单调递增；有，即在上单调递减；综上，时在上单调递增；时在上单调递减，在上单调递增；（2）由题设，，即恒成立，令，则，∴由（1）知：时有极小值也是最小值，故只需即可.若，则，即在上递减，又，∴时，，即恒成立.∴正实数的范围为.【点睛】关键点点睛：第二问，将问题转化为恒成立，并构造函数并应用导数研究最值，进而求参数a的范围.22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数)，以坐标原点O为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为－2cos=3．（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）曲线与相交于两点，求的值．【答案】（1）；；（2）3．【分析】（1）曲线参数方程消去参数t，可得到的普通方程，进而将其转化为极坐标方程即可，利用极坐标方程与直角坐标方程间的关系，可将的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）结合曲线、的极坐标方程，可得，设两点所对应的极径分别为，可求得的值，进而可得到的值．【详解】曲线的普通方程为，即极坐标方程为曲线的直角坐标方程为，即．曲线的极坐标方程为，代入，可得，则．【点睛】求解与极坐标有关的问题的主要方法：（1）直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用；（2）转化为直角坐标系，用直角坐标求解.23．已知函数（1）解不等式；（2）若，且，求证：.【答案】（1），（2）证明见解析【解析】（1）将已知条件代入函数可得分段函数，然后分类讨论求解不等式即可；（2）将不等式化简展开得，再平方作差即，再进行因式分解得，即得证该不等式成立【详解】解：（1）由题意得，当时，由，解得，当时，不成立，当时，由，解得，所以不等式的解析为，（2）由题意可得，要证即证，即证因为所以所以，所以，所以【点睛】方法点睛：此题考查了解绝对值不等式、证明不等式，常见的方法有：（1）利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合的思想；（2）利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；（3）通过构造函数，利用函数图像求解；（4）证明不等式的方法有：比较法、分析法、综合法等