2021-2022学年江苏省常州市八校高一（下）调研数学试卷（5月份）（Word解析版）

2021-2022学年江苏省常州市八校高一（下）调研数学试卷（5月份）

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 已知复数，则它的共轭复数在复平面上对应的点落在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 棱台不具备的性质是(    )

A. 两底面相似 B. 侧面都是梯形
C. 侧棱都相等 D. 侧棱延长后都交于一点

3. 在空间中，下列条件中不能推出四边形为平行四边形的是(    )

A. 一组对边平行且相等 B. 两组对边分别相等
C. 两组对边分别平行 D. 对角线相互平分

4. 如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形中的长度为(    )

A.
B.
C.
D.

5. 已知，，若，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 中，，，，为中点，则长为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图平面四边形中，，，则可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图在三棱锥中，为中点，为中点，点在上，若直线平面，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 设为实数，已知直角三角形中，，则的可能取值为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 下列条件中，一定能推出三角形为等腰三角形的有(    )

A.
B.
C.
D. 且

11. 设、、、是空间中四个不同的点，下列命题中正确的是(    )

A. 若与共面，则与共面
B. 若与是异面直线，则与也是异面直线
C. 若，，则
D. 若，，则

12. 如图，正方体中，，分别为棱和的中点，则下列说法正确的是(    )

A. 平面
B. 平面
C. 异面直线与所成角为
D. 平面截正方体所得截面为等腰梯形
 

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 设为两个不共线的向量，，若，，三点共线，则的值为______．
14. 一正方体的展开图如图所示，则在原来的正方体中，直线与的位置关系为______填平行、相交、异面．

15. 三棱锥中，所有棱长都相等，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为______．
16. 已知，则的值为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知，，的夹角是，计算：
    计算，；
    求和的夹角的余弦值．
18. 已知复数，其中为虚数单位．
    若是纯虚数，求实数的值；
    若，是关于的实系数方程的一个复数根，求实数，的值．
19. 在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别边，上的点，且求证：
    点，，，四点共面；
    直线，，相交于一点．

20. 三棱柱中，侧棱底面．
    若，求证：平面平面；
    若平面平面，求证：．

21. 如图，，、、分别为线段、、中点，且、、三点不共线．求证：平面平面．

22. 现代传媒大厦是我市最高的标志性建筑．某学习小组要完成两个实习作业：验证百度地图测距的正确性及测算传媒大厦的高度．如图龙城大道沿线的水平路面上有两点其中指向正西方向，首先利用百度地图测距功能测出长度为，接着在飞龙路沿线选定水平路面上可直接测距的两点，测得，，，，学习小组根据上述条件计算出长度，并将其与的实际长度进行比较，若误差介于米米之间，则认为百度地图测距是正确的．
    通过计算说明百度地图测距是否正确？
    如图，小组在处测得现代传媒大厦楼顶在西偏北方向上，且仰角，在处测得楼顶在西偏北方向上，通过计算得，，若百度地图测出的是准确的，请根据以上数据测算出传媒大厦的高度．精确到米
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
它的共轭复数在复平面上对应的点落在第四象限．
故选：．
根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据棱台的定义，由平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面与底面之间的部分叫棱台．
棱台的两底面是相似多边形；侧面的上下底边平行；侧棱延长后交于一点，故A、、成立，
不一定成立，
故选：．
根据棱台的定义，由平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面与底面之间的部分叫棱台，依次判断可得答案．
本题考查棱台的性质．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为过两平行直线或相交直线有且只有一个平面，所以选项中四边形为平面图形，
再由平行四边形的判定定理可知中的四边形为平行四边形；由空间四边形的概念可知B错误．
故选：．
先根据过两平行直线或相交直线有且只有一个平面，再由平行四边形的判定定理可判断；由空间四边形概念可判断．
本题考查了平行四边形的判定定理和空间四边形概念，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意，作出原图：

，，
，
故选：．
画出原图，利用勾股定理求即可．
本题考查平面图形的直观图，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为，，
所以，且，
故，所以；
因为，所以；
故
．
故选：．
根据条件，由求解即可．
本题考查的知识要点：三角恒等变换，和角的正弦，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
所以，
在中，利用余弦定理：，
解得：．
故选：．
直接利用余弦定理，三角函数的值的应用求出结果．
本题考查的知识要点：余弦定理，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：
，
又，，
，
故选：．
根据平面向量基本定理，向量线性运算即可求解．
本题考查平面向量基本定理，向量线性运算，属基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接，交于，连接，如图，

平面，平面平面，
，
点，分别为棱，的中点．
是的重心，
．
故选：．
连接，交于，连接，由平面，得到，由点，分别为棱，的中点，得到是的重心，由此能求出结果．
本题考查线面平行，考查学生的推理能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意，，则，
若是直角，则，解可得，
若是直角，则，无解；
若是直角，则，解可得，
故或，
故选：．
根据题意，按、、为直角分种情况讨论，求出的值，综合可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直的判断，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于，因为，可得，由，解得，即，可得三角形为等腰三角形，故A正确；
对于，因为，
整理可得，可得，或，即三角形为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于，由于，可得，
可得，即，
可得，或，
所以或，三角形不一定是等腰三角形，故C错误；
对于，由，得，
又，
所以，则，即，
所以，三角形为等边三角形，也属于等腰三角形，故D正确．
故选：．
利用余弦定理化角为边变形后判断，利用正弦定理化边为角变形判断，利用正弦定理化角为边变形判断．
本题考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于选项A，若与共面，则，，，是四点共面，则与共面，正确；
对于选项B，若与是异面直线，则，，，四点不共面，则与是异面直线，正确；
如图，空间四边形中，，，则与不一定相等，故C错误；
对于，当，，，四点共面时显然成立，
当，，，四点不共面时，取的中点，连接、，则，，，

平面，，故D正确．
故选：．
利用平面的性质可判断，利用空间四边形及线面垂直的判定定理可判断．
本题考查了平面的性质和线面垂直的判定定理，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查空间中直线与平面位置关系的判定，考查空间角的求法，属于中档题．
利用反证法思想判断；由直线与平面平行的判定判断；求解异面直线所成角判断；找出平面截正方体所得截面，由判断．

【解答】

解：对于，假设平面，则，又，且与相交，可得平面，而平面，与过一点有且只有一条直线与一个平面垂直矛盾，则与平面不垂直，故A错误；
，分别为棱和的中点，，
平面，平面，平面，故B正确；
，可得，又易知面，，，，，平面，，，即异面直线与所成角为，故C正确；
连接，，可得，即四边形为平面截正方体所得截面，
由正方体的结构特征求得，则平面截正方体所得截面为等腰梯形，故D正确．
故选：．

13.【答案】 

【解析】解：为两个不共线的向量，，
，
若，，三点共线，，，求得，
故答案为：．
由题意，先求出，根据，可得，由此求得的值．
本题主要考查两个向量共线的性质，三点共线的性质，属于基础题．
 

14.【答案】异面 

【解析】解：如图，是展开图还原后的正方体，

由于平面，平面，，平面，
所以直线与是异面直线．
故答案为：异面．
把展开图折叠为正方体，再由直线间的位置关系判断．
本题考查了空间中直线与直线位置关系的判断，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，取中点，连接，因为、分别为、的中点，则为三角形的中位线，所以，
所以直线与所成的角即为直线与直线所成角，
因为三棱锥的棱长全相等，设棱长为，则，
在等边三角形中，因为为的中点，所以为边上的高，
所以，
则，
在三角形中，．
所以，直线与直线所成角的余弦值为．

故答案为：．
题目要求解的是两条异面直线所成角的余弦值，且给出了棱的中点，可以想到再找的中点，连接两中点，得到，则直线与直线所成角转化为直线与直线所成角，在三角形中运用余弦定理可求的余弦值，则直线与直线所成角的余弦值可求．
本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力．在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，这个技巧就是通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧，属中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
，
，
，
，
由得，
．
由已知利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式，两角和的余弦公式可得，，由两式可得，进而利用两角差的余弦公式即可求解的值．
本题考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式，两角和的余弦公式，两角差的余弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和方程思想，属于中档题．
 

17.【答案】解：由题可得，
，所以；
，
设和的夹角为，
所以． 

【解析】利用数量积的定义可求出，先求出，即可得出；
先求出，根据向量夹角关系即可求出．
本题考查了平面向量数量积和两个向量的夹角运算，属于基础题．
 

18.【答案】解：是纯虚数，
，且，
解得．
若，则，
是关于的实系数方程的一个复数根，
，
，
，解得，
即，． 

【解析】根据纯虚数的定义求解．
由的值求出，代入方程即可求出实数，的值．
本题主要考查了复数的运算，属于基础题．
 

19.【答案】证明：如图所示，
空间四边形中，，分别是，的中点，
；
又．
，
，
E、、、四点共面；
设与交于点，
平面
在平面内，
同理在平面内，且平面平面，
点在直线上，
直线，，相交于一点． 

【解析】利用三角形的中位线平行于第三边和平行线分线段成比例定理，
得到、都平行于，由平行线的传递性得到，
根据两平行线确定一平面得出证明；
利用分别在两个平面内的点在这两个平面的交线上，即可证明．
本题考查了三角形的中位线性质、平行线分线段成比例定理、直线的平行性的传递性、确定平面的条件以及三线共点的应用问题．
 

20.【答案】证明：平面，平面，
，
，，
平面，平面，
平面，
又平面，平面平面；
过作于，
平面平面，平面平面，
平面，平面，
，
，平面，，
平面，平面，
． 

【解析】利用绩面垂直、面面垂直的判定定理能证明平面平面；
利用面面垂直的性质及线面垂直的判定定理可得平面，由此能证明．
本题考查线面垂直、面面垂直的判定与性质等基础知识，考查空间思维能力、运算求解能力，是中档题．
 

21.【答案】证明：，分别为，中点，
，又，，
，
设平面，平面，
，
，分别为，中点，
，，
，，
，
，平面，，，，
平面平面． 

【解析】利用线面平行的判定定理及面面平行的判定定理即得．
本题考查面面平行，考查学生的推理能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：设，等腰中，，
在中，，，，可得，
由正弦定理得，解得，
在中，由余弦定理得，
，，
，
百度地图测距是准确的；
中，由正弦定理可得，
设，，
中由余弦定理可得，
，
，
由解得，
所以，，
中，，
答：测算出传媒大厦高度约为米． 

【解析】设，利用正弦定理可得，然后在中，利用余弦定理求出，进而可求出；
利用正弦定理，余弦定理结合条件列方程可求出，，然后在中可求得结果．
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．