【暑假分层作业】第02练 平行线的性质与判定-2022年七年级数学（人教版）（答案及解析）

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第02练  平行线的性质与判定 知识点1 平行公理及推论1. 在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行.直线a与直线b不相交时，直线a与b互相平行，记作a∥b.2. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 知识点2 平行线的判定1. 平行线的判定方法：判定方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.    简单说成：同位角相等，两直线平行.如图1，∵∠4=∠2，∴a∥b.判定方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.    简单说成：内错角相等，两直线平行.如图2，∵∠4=∠5，∴a∥b.判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.    简单说成：同旁内角互补，两直线平行.如图3，∵∠4+∠1=180°，∴a∥b.2. 重要结论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.   注意：条件“同一平面”不能缺少，否则结论不成立. 知识点3 平行线的性质平行线的性质：性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.    简单说成：两直线平行，同位角相等.如图1，∵a∥b，∴∠4=∠2.性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.    简单说成：两直线平行，内错角相等.如图2，∵a∥b，∴∠4=∠5.性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.    简单说成：同旁内角互补，两直线平行.如图3，∵a∥b，∴∠4+∠1=180°. 知识点4 平行线的判定与性质的综合运用    两直线平行同位角相等.两直线平行内错角相等.同旁内角互补两直线平行.“” 叫做“等价于”，即由左边能推出右边，由右边也能推出左边. 知识点5 命题、定理、证明1. 命题：判断一件事情的语句叫做命题.   数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.2. 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题.假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.3. 定理：经过推理证实的真命题叫做定理.判断一个命题正确性的推理过程叫做证明.4. 判断一个命题是真命题，需要进行证明；判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.             1．如图所示．点在的延长线上，下列条件中能判断AB//CD的是（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】根据平行线的判定分别进行分析可得答案．【详解】、，无法得到，故此选项不符合题意；B、，根据内错角相等，两直线平行可得，故此选项符合题意；C、，根据内错角相等，两直线平行可得，故此选项不符合题意；D、，根据同旁内角互补，两直线平行可得，故此选项不符合题意．故选：B．【点睛】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．2．如图，AB//CD，DB⊥BC，垂足为点B，∠1＝40°，则∠2的度数是（       ）A．60° B．50° C．40° D．30°【答案】B【解析】【分析】利用直角三角形中两锐角互余求出，再利用两直线平行同位角相等求出的度数．【详解】解：在中，，，又，．故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．3．如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点G，H．GM平分∠BGH，且∠GHM=48°，那么∠GMD的度数为（       ）A．96° B．104° C．114° D．124°【答案】C【解析】【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BGH，再根据角平分线的定义可得∠BGM=∠BGH，然后根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．【详解】解：∵AB∥CD，∴∠BGH=180°-∠GHM=180°-48°=132°，∵GM平分∠BGH，∴∠BGM=∠BGH =×132°=66°，∵AB∥CD，∴∠GMD=180°-∠BGM =180°-66°=114°．故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．4．将一副直角三角尺按如图所示放置（其中∠GEF＝∠GFE＝45°，∠H＝60°，∠EFH＝30°），满足点E在AB上，点F在CD上，AB∥CD，∠AEG＝20°，则∠HFD的大小是（       ）A．70° B．40° C．35 D．65°【答案】C【解析】∵∠AEG＝20°，∠GEF＝45°，∴∠AEF＝20°+45°＝65°，∵AB∥CD，∴∠EFD＝∠AEF＝65°，∵∠EFH＝30°，∴∠HFD＝65°﹣30°＝35°．故选：C．【点睛】本题主要考查平行线的性质，求解∠EFD的度数是解题的关键．5．如图，点E在AC的延长线上，对于下列给出的四个条件：①∠3=∠4；②∠1=∠2；③∠A=∠DCE；④∠D＋∠ABD=180°．能判断AB∥CD的是__________．（填正确条件的序号）【答案】②③④【解析】【分析】根据平行线的判定定理进行逐一判断即可．【详解】解：①如果∠3=∠4，那么AC∥BD，故①错误；②∠1=∠2，那么AB∥CD；内错角相等，两直线平行，故②正确；③∠A=∠DCE，那么AB∥CD；同位角相等，两直线平行，故③正确；④∠D+∠ABD=180°，那么AB∥CD；同旁内角互补，两直线平行，故④正确．综上分析可知，正确的有②③④．故答案为：②③④．【点睛】本题主要考查的是平行线的判定，正确的掌握和应用平行线的判定方法是解题的关键．6．如图，将木条a，b与c钉在一起，，若要使木条a与b平行，则的度数应为______．【答案】50°##50度【解析】【分析】根据同位角相等，两直线平行，求出∠1的度数．【详解】解：∵∠1=∠2时，a∥b，∴若要使木条a与b平行，∠1=∠2=50°，故答案为：50°．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟记平行线的性质定理与判定定理是解题的关键．7．如图，AB∥CD，∠ABE=120°，∠DCE=110°，则∠BEC=______°．【答案】50【解析】【分析】两直线平行，同旁内角互补以及内错角相等，在作辅助线后，根据这两条性质即可解答．【详解】解：如图，过点E作EF∥CD， ∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠FEB=∠ABE，∵∠ABE=120°，∴∠FEB=∠ABE=120°，∵EF∥CD，∠DCE=110°，∴∠FEC+∠DCE=180°，∴∠FEC=180°-∠DCE=70°，∴∠BEC=∠FEB-∠FEC=50°．故答案为：50．【点睛】此题主要考查平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补及内错角相等．8．如图，，点B在直线b上，且，，那么______．【答案】【解析】【分析】如图，先求出，利用两直线平行，同位角相等推出，注意．【详解】解：如图，∵，∴，∴，∵，∴．故答案为：．【点睛】本题考查平角的定义、垂直的性质和平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．9．如图，∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC．试说明AD//BC．【答案】见解析【解析】【分析】由AB与AC垂直，根据垂直的定义得到∠BAC为90°，再由图形可得：同旁内角∠B与∠BAD的和为∠B，∠BAC与∠1三角的度数之和，求出度数为180°，根据同旁内角互补，两直线平行，可得出AD与BC平行．【详解】证明：∵AB⊥AC（已知），∴∠BAC＝90°（垂直定义），又∠1＝30°，∠B＝60°（已知），∴∠B+∠BAD＝∠B+∠BAC+∠1＝60°+90°+30°＝180°（等量代换），∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．【点睛】此题考查了平行线的判定，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．平行线的判定方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．10．如图，已知AC⊥BC于点C，∠B＝70º，∠ACD＝20º．(1)求证：AB//CD；(2)在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件________，使BC//AD．【答案】(1)证明见解析(2)AC⊥AD（答案不唯一）【解析】【分析】（1）由题意易求出，即可利用同旁内角互补，两直线平行证明；（2）由在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，即可补充条件为：AC⊥AD．（答案不唯一）(1)证明：∵AC⊥BC，∴，∴，∴，∴；(2)补充条件：AC⊥AD，∵AC⊥AD，AC⊥BC∴BC//AD．故答案为：AC⊥AD．【点睛】本题考查垂直的定义，平行线的判定．掌握平行线的判定条件是解题关键．11．如图，在△ABC中，点E在AC上，点F在AB上，点G在BC上，且EFCD，∠1+∠2＝180°．(1)求证：GDCA；(2)若CD平分∠ACB，DG平分∠CDB，且∠A＝40°，求∠ACB的度数．【答案】(1)见解析；(2)80°；【解析】【分析】（1）根据两直线平行同旁内角互补，再由内错角相等两直线平行即可证明；（2）由两直线平行同位角相等可得∠A=∠GDB=40°，再由角平分线的定义可得∠2，于是可得∠ACD，进而求得∠ACB；(1)证明：∵EF∥CD，∴∠1+∠ECD=180°，∵∠1+∠2=180°，∴∠ECD=∠2，∴GD∥CA；(2)解：∵GD∥CA， ∴∠A=∠GDB=40°，∠2=∠ACD，∵GD平分∠CDB，∴∠2=∠GDB=40°，∴∠ACD=40°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACB=2∠ACD=80°；【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识；掌握平行线的性质和判定是解题关键．12．如图，在△ABC中，，D，E分别是边BC，CA上的点，．(1)求∠BDE的大小；(2)交AB于点F，若DF平分∠BDE，求∠A的大小．【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）先证明，利用同旁内角互补即可求解；（2）先求出，再根据平行线的性质即可求解．(1)∵，∴， ∴， ∵，∴；(2)∵DF平分∠BDE∴， 又∵，∴，∴．【点睛】此题主要考查平行线的性质与判定，解题的关键是熟知同位角相等，两直线平行．          1．如图，直线a，b被直线c所截，现给出下列四个条件：①∠1=∠5；②∠4=∠6；③∠4+∠5=180°；④∠2+∠3=180°.其中能判定a∥b的条件的个数有（       ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】【分析】根据平行线的判定定理“同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行”逐项排查即可．【详解】解：①∠1=∠5可根据同位角相等，两直线平行得到a∥b；②∠4=∠6可根据内错角相等，两直线平行得到a∥b；③∠4+∠5=180°可根据同旁内角互补，两直线平行得到a∥b；④∠2、∠3是邻补角，则∠3+∠2=180°不能得到a∥b；故选：C．【点睛】此题主要考查了平行线的判定，平行线的判定定理有同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．2．已知AB∥CD，∠BAD＝40°，点M在直线AD上，N为线段CD上一点，若∠MNC＝α，则∠AMN＝_________．（用含α的式子表示）【答案】220°﹣α或α﹣140°或α﹣40°【解析】【分析】根据平行线的性质分三种情况求解即可．【详解】解：如图，当点M在线段AD上时，过点M作ME∥AB，∴∠AME＝∠BAD＝40°，∵ME∥AB，AB∥CD，∴ME∥CD，∴∠EMN+∠MNC＝180°，∵∠MNC＝α，∴∠EMN＝180°﹣α，∴∠AMN＝∠AME+∠EMN＝40°+（180°﹣α）＝220°﹣α；如图，当点M在AD的延长线上时，过点M作ME∥AB，∴∠AME＝∠BAD＝40°，∵ME∥AB，AB∥CD，∴ME∥CD，∴∠EMN+∠MNC＝180°，∵∠MNC＝α，∴∠EMN＝180°﹣α，∴∠AMN＝∠AME﹣∠EMN＝40°﹣（180°﹣α）＝α﹣140°；如图，当点M在DA的延长线上时，过点M作ME∥AB，∴∠AME＝∠BAD＝40°，∵ME∥AB，AB∥CD，∴ME∥CD，∴∠EMN＝∠MNC＝α，∴∠AMN＝∠EMN﹣∠AME＝α﹣40°＝α﹣40°；故答案为：220°﹣α或α﹣140°或α﹣40°．【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理并会分情况讨论是解题的关键．3．已知：直线MN、PQ被AB所截，且MN∥PQ，点C是线段AB上一定点，点D是射线AN上一动点，连接CD．(1)在图1中过点C作CE⊥CD，与射线BQ交于E点．①依题意补全图形；②求证：∠ADC+∠BEC＝90°；(2)如图2所示，点F是射线BQ上一动点，连接CF，∠DCF＝α，分别作∠NDC与∠CFQ的角平分线交于点G，请用含有α的代数式来表示∠DGF，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)∠DGF=180°-α，理由见解析【解析】【分析】（1）①根据要求作出图形即可．②过点C作CT∥MN．利用平行线的性质和判定以及垂线的性质解决问题．（2）∠DGF=180°-12α．利用（1）中基本结论可得∠ADC+∠BFC=∠DCF=α，∠GDN+∠GFQ=∠DGF，再利用角平分线的定义及邻补角的性质即可求解．(1)解：①图形如图所示．②证明：过点C作CT∥MN．∵CE⊥CD，∴∠ECD=90°，∵CT∥MN，MN∥PQ，∴CT∥MN∥PQ，∴∠ADC=∠DCT，∠BEC=∠ECT，∴∠ADC+∠BEC=∠DCT+∠ECT=∠ECD=90°．(2)解：∠DGF=180°-α，理由如下：如图，由（1）的结论可知：∠ADC+∠BFC=∠DCF=α，∠GDN+∠GFQ=∠DGF，∵DG平分∠NDC，GF平分∠CFQ，∴∠GDN=∠CDN，∠GFQ=∠CFQ，∴∠DGF=（∠CDN+∠CFQ）=（180°-∠ADC+180°-∠BFC）=（360°-∠DCF）=180°-α．【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．