高考数学一轮复习第9章概率与统计第9讲离散型随机变量及其分布列课件

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(1)随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字
母 X，Y，ξ，η，…表示.
(2)所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变
(3)随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫
2.条件概率及其性质(1)条件概率的定义：
(3)条件概率的性质：
①条件概率具有一般概率的性质，即____≤P(B|A)≤____；②若 B 和 C 是两个互斥事件，则 P(B ∪C|A) ＝P(B|A) ＋P(C|A).3.事件的相互独立性(1)设 A，B 为两个事件，若 P(AB)＝__________，则称事件A 与事件 B 相互独立.
4.离散型随机变量的分布列
一般地，若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，x2，…，xi，…，xn，X 取每一个值 xi(i＝1,2，…，n)的概率 P(X＝xi)＝pi，则表
称为离散型随机变量 X 的概率分布列，简称为 X 的分布列.有时为了表达简单，也用等式 P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n 表示 X 的分布列.
5.离散型随机变量分布列的性质
(1)pi≥0(i＝1,2，…，n).(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.6.常见的离散型随机变量的分布列(1)两点分布：
如果随机变量 X 的分布列为：
其中 01.设随机变量 X 的分布列如下：
2.某射手射击所得环数 X 的分布列为：
则此射手“射击一次命中环数大于 7”的概率为(
解析：P(X＞7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.
4.装有形状大小相同的 3 个黑球和 2 个白球的盒子中依次不放回地任意抽取 3 次，若第二次抽得黑球，则第三次抽得白
离散型随机变量的分布列
例 1：2018 年 2 月 22 日，在韩国平昌冬奥会短道速滑男子500 米比赛中，中国选手武大靖以连续打破世界纪录的优异表现，为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌，也创造中国男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破.根据短道速滑男子500 米的比赛规则，运动员自出发点出发进入滑行阶段后，每滑行一圈都要经过 4 个直道与弯道的交接口 Ak(k＝1,2,3,4)，如图 9-9-1.已知某男子速滑运动员顺利通过每个交接口的概率均
停止滑行，现在用 X 表示该运动员在滑行最后一圈时在这一圈后已经顺利通过的交接口数.
(1)求该运动员停止滑行时恰好已顺利通过 3 个交接口的概
(2)求 X 的分布列.
例 2：各种共享单车的普及给我们的生活带来了便利.已知某共享单车的收费标准是：每车使用不超过 1 小时(包含 1 小时)是免费的，超过 1 小时的部分每小时收费 1 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算，例如：骑行 2.5 小时收费为 2 元).现有甲、乙两人各自使用该种共享单车一次.设甲、乙不超过 1 小时还车的(1)求甲乙两人所付的车费相同的概率；(2)设甲乙两人所付的车费之和为随机变量ξ，求ξ的分布列.
例 3：《中国好声音》是由浙江卫视联合星空传媒旗下灿星制作强力打造的大型励志专业音乐评论节目，于 2012 年 7 月13 日正式在浙江卫视播出.每期节目有四位导师参加.导师背对歌手，当每位参赛选手演唱完之前有导师为其转身，则该选手可以选择加入为其转身的导师的团队中接受指导训练.已知某期《中国好声音》中，6 位选手演唱完后，四位导师为其转身的情况如下表所示：
现从这 6 位选手中随机抽取两人考查他们演唱完后导师的
(1)求选出的两人导师为其转身的人数和为 4 的概率；(2)记选出的 2 人导师为其转身的人数之和为 X，求 X 的分
解：(1)设 6 位选手中，A 有 4 位导师为其转身，B，C 有 3位导师为其转身，D，E 有 2 位导师为其转身，F 只有 1 位导师为其转身.
相互独立事件与独立重复试验的概率
例 4：(1)(2018 年河北衡水中学调研)多家央企为了配合国家战略支持雄安新区建设，纷纷申请在新区建立分公司.若规定每家央企只能在雄县、容城、安新 3 个片区中的一个片区设立分公司，且申请其中任一个片区设立分公司都是等可能的，每家央企选择哪个片区相互之间互不影响且必须在其中一个片区建立分公司.向雄安新区申请建立分公司的任意 4 家央企中，①求恰有 2 家央企申请在“雄县”片区建立分公司的概率；
②用 X 表示这 4 家央企中在“雄县”片区建立分公司的个数，用 Y 表示在“容城”或“安新”片区建立分公司的个数，记ξ＝|X－Y|，求ξ的分布列.
(2)(2018 年河南洛阳模拟)某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有 1,2,3 三个问题，每位参赛者按问题 1,2,3 的顺序作答，竞赛规则如下：
ⅰ)每位参赛者计分器的初始分均为 10 分，答对问题 1,2,3
分别加 1 分，2 分，3 分，答错任一题减 2 分；
ⅱ)每回答一题，积分器显示累计分数，当累计分数小于 8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于 12 分时，答题结束，进入下一轮；当答完三题，累计分数仍不足 12 分时，答题结束，淘汰出局.
且各题回答正确与否相互之间没有影响.
①求甲同学能进入下一轮的概率；
②用 X 表示甲同学本轮答题结束时的累计分数，求 X 的分
【规律方法】1.求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件是能转化为几个彼此互斥的事件的和事件，还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解.
2.(1)注意辨别独立重复试验的基本特征：①在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；②在每次试验中，事件发生的概率相同.
⊙分类讨论思想与离散型随机变量的结合
例题：为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.
(1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元，其
余 3 个均为 10 元，求：
①顾客所获的奖励额为 60 元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望.
(2)商场对奖励总额的预算是 60 000 元，并规定袋中的 4 个球只能由标有面值为 10 元和 50 元的两种球组成，或标有面值为 20 元和 40 元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的 4 个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.
∴顾客所获的奖励额的期望为E(X)＝20×0.5＋60×0.5＝40.
(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为 60 元.∴先寻找期望为 60 元的可能方案.
对于面值由 10 元和 50 元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，∵60 元是面值之和的最大值，∴期望不可能为 60 元；如果选择(50,50,50,10)的方案，∵60 元是面值之和的最小值，∴期望也不可能为 60 元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案一；
对 于 面 值 由 20 元 和 40 元 组 成 的 情 况 ， 同 理 可 排 除(20,20,20,40) 和 (40,40,40,20) 的 方 案 ， ∴ 可 能 的 方 案 是(20,20,40,40)，记为方案二.以下是对两个方案的分析：
对于方案一，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为
X1，则 X1 的分布列为：
∵两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案二奖励额
的方差比方案一的小，∴应该选择方案二.
【规律方法】本题主要考查相互独立事件及互斥事件概率的计算，考查分类讨论思想以及运用数学知识解决问题的能力.尤其是运用分类讨论思想解决离散型随机变量分布列问题的时候，可通过检查最后求出的分布列是否符合分布列的两个性质来检查分类讨论是否有所遗漏或重复.
2.计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站，过去 50 年的水文资料显示，水的年入流量 X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在 40 以上，其中，不足 80 的年份有 10 年，不低于 80 且不超过 120 的年份有35 年，超过 120 的年份有 5 年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.(1)求在未来 4 年中，至多有 1 年的年入流量超过 120 的概
(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最
多可运行台数受年入流量 X 限制，并有如下关系：
若某台发电机运行，则该台年利润为 5000 万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损 800 万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
(2)记水电站年总利润为 Y 万元.①安装 1 台发电机的情形.
由于水库年入流量总大于 40，
故 1 台发电机运行的概率为 1，对应的年利润Y＝5000，E(Y)＝5000×1＝5000；②安装 2 台发电机的情形.
依题意，当 40由此得 Y 的分布列如下
∴E(Y)＝4200×0.2＋10 000×0.8＝8840；③安装 3 台发电机的情形.
依题意，当 40120 时，3 台发电机运行，此时 Y＝5000×3＝15 000，因此 P(Y＝15 000)＝P(X>120)＝p3＝0.1.
∴E(Y)＝3400×0.2＋9200×0.7＋15 000×0.1＝8620.
综上所述，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装