2022年高中名校自主招生初升高衔接数学讲义4 不等式 含答案

第四讲  不等式

知识要点

不等式章节是一个相对综合的章节，会与方程、函数相结合进行考核.一般的题型为，解不等式，证明不等式，求最大值和最小值等.

在这个章节中我们要学习一些在初中能力范围内可以接受的重要不等式.

不等式（a、b为实数）是不等式中最基本最重要的一个，它有许多变形，如：

，，，

，.

不等式或可以被推广，例如由于有恒等式：

，

即知当a、b、c均为正实数时必有：.

或把a、b、c代以、、则可有：

.

例题精讲

1. 已知n、k均为正整数，且满足不等式．若对于某一给定的n，只有唯一的一个k使不等式成立，求所有符合要求的中的最大数和最小数．
2. 已知x、y、z为非负数，且满足，．求的最大值和最小值．
3. 甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学每人有31个核桃，三组的核桃总数是365个．问：三个小组共有多少名同学？
4. 若不等式有解，求的取值范围．
5. 关于x的不等式的解包含了不等式，求a的取值范围．
6. 解不等式．
7. 已知直线过点，且与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，当面积最小时，求k与b的值．
8. 如果并且，则的最大值为______．
9. 在的边、、上分别取点D、E、F，试证在、、中至少有一个面积不大于．
10. 设，，…，为不同的正整数，求证：．
11. 证明：．（柯西不等式二元形式）
12. 若（x、y、z为实数），求的最小值．（利用柯西不等式）

习题巩固

13. 已知关于x的不等式组．

（1）若不等式组无正整数解，求a的取值范围；

（2）是否存在实数a，使得不等式组的解集中恰含了3个正整数解．

14. 代数式的最小值为多少？
15. 设a、b是正整数，且满足，，求的值．
16. 在实数范围内解方程．
17. 在坐标系平面上，纵坐标与横坐标都是整数的点称为整点，试在二次函数的图象上找出满足的所有整点，并说明理由．
18. 证明：

（1）；

（2）．

19. 已知x、y、z为正实数且，试证明：．
20. 证明：．
21. 设，证明：．
22. 已知，，求证：．
23. 已知，且，证明：．
24. 设，，证明：．

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25. 如果关于x的不等式组的整数解仅为1、2、3，那么，适合这个不等式组的整数对共有多少对？
26. 下凸函数的定义：恒成立，则称为正凸函数．

已知为下凸函数，对于． ①

（1）当时，求证①式．

（2）当时，求证①式．

参考答案

1. 因为，所以，

即，可写成．

因为对于给定的n、k值是唯一的，所以，从而，．

当时，代入得，是唯一解，所以n的最大值是84．

又由，显然．

当时，代入，得，k没有整数解．

当时，代入，得，k也无正整数解．

当，11，12时，代入，均无k整数解．

当时，代入，得 有唯一整数解，符合要求．

所以是满足条件的最小值．

综上所述，n的最大值是84，n的最小值是13．

2. 把含三个未知数的方程组转化为关于y和z的二元方程组，根据x、y、z为非负数来确定x的取值范围，w全用x表示，从而求得w的最大值和最小值．

由，解得．

因为x、y、z均为非负数，所以，，，于是．

解得，所以．

由得，所以，w的最大值是（当，，时取到），w的最小值是（当，，时取到）．

3. 方法一：设甲组同学a人，乙组同学b人，丙组同学c人，由题意得，怎样解三元一次不定方程？运用放缩法，从求出的取值范围入手．

因为，得，

所以．

因为，得，

所以，因此或13．

当时，得，此方程无正整数解，故，

所以．故，三个小组共有12名同学．

方法二：三组的核桃总数是365个（联想一年是365天），甲组同学每人有28个（联想一年只有2月份有28天），乙组同学每人有30个（联想一年只有4、6、9、11月，一共4个月），丙组同学每人有31个（联想一年只有1、3、5、7、8、10、12月，一共7个月）．

所以，三个小组共有名同学．

4. 方法一：可以通过零点分段法，解得．

方法二：可以利用绝对值的几何意义．

因为、分别表示数轴上的点x到点和3的距离，所以表示数轴上的某个点到和3的距离和，无论怎么移动，某个点到和3的距离和为4，所以．

5. 由已知，得，．

当时，解集是任意解，包含．

当时，，要包含，则必有，解得．

当时，，不能包含．

所以或．

6. 原不等式

．

所以原不等式的解集是或．

在因式分解前，为增强直观性，可将分子、分母最高项的系数都化为正数，然后再进行因式分解，否则比较容易出错．另外，如图4-1最后求解可以用数轴标根穿线法，原则是“奇穿偶不过”，即因式的指数为奇数时，画线时让线穿过去；当因式的指数为偶数时，穿线让曲线与x轴相切．

7. 因为直线过点，所以，．

所以直线与x轴负半轴交于点，与y轴正半轴交于点．

因为，所以．

所以，

当且仅当，即时，等号成立．

所以当面积的最小值为4时，，．

8. 式子比较复杂，观察发现可以约分，先化简：

原式．

第二个分式直接就有最大值，就是不知道能否取到，先放着，我们来研究第一个分式：分子分母都存在变量，无法判断最值，用分式的性质．

第一个分式的分子分母同时除以：原式．

想到基本不等式，则原式．

其实我们还可以利用万能的判别式法：

设，化为一元二次方程：．

算出判别式：，即，则．

所以，原式，当时，等号成立，所以最大值为．

9. 回想起鸟头定理，可以得出这三个三角形的面积和原三角形面积之比，然后进行分析．

如图4-2所示，设，，，，，．

因为，同理有，，

于是

．

由此即知本题结论正确．

10. ，，…，．

又因，，…，为不同的正整数，于是不妨设，

故有，，…，，从而，，…，，

即有，

所以由，

可得．

11. 证法一：，

等号当且仅当，时成立．

证法二：若，则原式正确．

现设，考虑二次三项式：

成立，

故应有，此式与原式等价．

，

其中等号仅当或者时取到，故最小值为．

习题巩固

13. 解不等式组得，当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为．

（1）显然时，均不合题意．当时，应有，得，所以原不等式组无正整数解时，a的取值范围是．

（2）当时，不等式组的解集中均有无数个正整数解．

当时，依题意得，解之得．

所以当时，原不等式组的解集中恰有3个正整数解．

14. 原式

．

用换元的思想 原式

．

的基本模型．

原式．

当，时，原式取到最小值为6．

15. 因为，a、b是正整数，所以．

因为，所以，，

所以．

因为b是正整数，所以或．

当时，由，得，不存在这样的整数a．

当时，由，得，由于a是整数，因此．

经检验，当，时确实满足已知条件．

所以，，所以．

16. 根据平均值不等式，有，，．

故．

上式中，前一个等号，当且仅当，，时取到，第二个等号当且仅当x、y、z为三个正数或者两负一正时取得，故得解为：

，，，．

17. 由，得，即．

（1）当时，，解得．对于这个范围内的x的整数值，当，4，7，9时，相应的y均为整数值，此时满足条件的整点有、、、．

（2）当时，，解得．对于这个范围内的x的整数值，当，时，相应的y均为整数值，此时满足条件的整点有、．

故满足条件的整点共有以上6个．

18. （1）．

（2）．

19. 利用可有：

．

20. 反复运用，即

．

．

22. 利用柯西不等式得

．

23. ．
24. 由已知，即有，

或者，易证命题成立．

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25. 不等式组解得．因为x只能取三个整数，2，3．

故m只能取这7个数，n只能取这6个数．所以一共对．

26. （1）当时，即证：．

不妨设，则．

．

（2）当时，留给读者思考．