2023年新教材高考数学一轮复习课时规范练50二项式定理与杨辉三角含解析新人教B版

课时规范练50　二项式定理与杨辉三角

基础巩固组

1.的展开式中的第3项为(　　)

A.3x4 B.

C.x2 D.x2

2.的展开式中x-2的系数是(　　)

A.15 B.-15

C.10 D.-10

3.(2021湖南怀化一模)(x2+1)展开式的常数项为(　　)

A.112 B.48

C.-112 D.-48

4.(2021湖北荆门月考)若的展开式中x4的系数为7,则展开式的常数项为(　　)

A. B.

C.- D.-

5.(2021广东湛江三模)(1+3x)2+(1+2x)3+(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a0+a1+a2+a3+a4= (　　)

A.49 B.56

C.59 D.64

6.的展开式中含x5项的系数为(　　)

A.12 B.-12

C.24 D.-24

7.(多选)对于二项式(n∈N*),以下判断正确的有(　　)

A.存在n∈N*,展开式中有常数项

B.对任意n∈N*,展开式中没有常数项

C.对任意n∈N*,展开式中没有含x的项

D.存在n∈N*,展开式中有含x的项

8.(2021福建漳州模拟)已知(x+1)6=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a6(x-1)6,则a4=　　　　　. 

9.(2021湖南长郡中学模拟三)若的展开式中只有第5项的二项式系数最大,则展开式中常数项为　　　　　.(用数字作答) 

综合提升组

10.(2021河南郑州一模)式子(x+y)5的展开式中,x3y3的系数为(　　)

A.3 B.5

C.15 D.20

11.(多选)已知(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,且展开式的各项系数之和为1 024,则下列说法正确的是(　　)

A.展开式中奇数项的二项式系数和为256

B.展开式中第6项的系数最大

C.展开式中存在常数项

D.展开式中含x15的项的系数为45

12.(多选)(2021河北石家庄一模)关于(1-2x)2 021=a0+a1x+a2x2+…+a2 021x2 021(x∈R),则(　　)

A.a0=1

B.a1+a2+a3+…+a2 021=32 021

C.a3=8

D.a1-a2+a3-a4+…+a2 021=1-32 021

13.(2021安徽蚌埠高三开学考试(理))若二项式展开式中第4项的系数最大,则n的所有可能取值的个数为　　　　　. 

14.(2021福建宁德三模)已知(1+x)5展开式中的所有项的系数和为64,则实数a=　　　　　;展开式中常数项为　　　　　. 

创新应用组

15.设a,b,m为整数(m>0),若a和b被m除得的余数相同,则称a和b对模m同余,记为a≡b(mod m).若a=·2+·22+…+·220,a≡b(mod 10),则b的值可以是(　　)

A.2 018 B.2 019

C.2 020 D.2 021

16.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律,最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.如下图,在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中,第10行中从左至右第5与第6个数的比值为　　　　　. 

课时规范练50　二项式定理与杨辉三角

1.C　解析:∵(a+b)n的展开式的通项为Tk+1=·an-k·bk,

∴的展开式中的第3项是T3=T2+1=·x6-2·x2.

2.D　解析:的展开式的通项Tk+1=·(-1)k=(-1)k·xk-5,当k=3时,T4=-x-2=-10x-2,即x-2的系数为-10.

3.C　解析:由题得,展开式的通项为Tr+1=(-2)rxr-5,令r=3,r=5,得展开式的常数项为×(-2)3+(-2)5=-112.故选C.

4.A　解析:的二项展开式的通项为

Tr+1=x8-r(-a)r.

令8-r=4,解得r=3,所以展开式中x4的系数为(-a)3=7,解得a=-,所以的二项展开式的通项为Tr+1=.

令8-r=0,解得r=6,所以展开式的常数项为.

故选A.

5.C　解析:令x=1,a0+a1+a2+a3+a4=(1+3)2+(1+2)3+(1+1)4=59.故选C.

6.B　解析:由,

则二项式(x-1)12的展开式的通项为Tr+1=x12-r(-1)r=(-1)rx12-r.

当r=1,此时T2=-1×x11=-12x11,

可得展开式中x5项的系数为-12.

故选B.

7.AD　解析:设(n∈N*)的展开式的通项为Tk+1,则Tk+1=x4k-n,不妨令n=4,则当k=1时,展开式中有常数项,故A正确,B错误;令n=3,则当k=1时,展开式中有含x的项,故C错误,D正确.

8.60　解析:∵(x+1)6=[(x-1)+2]6,

∴展开式通项Tr+1=(x-1)6-r2r.

由题知,a4对应6-r=4,则可得r=2.

∴T3=(x-1)4·22=4(x-1)4,即a4=4=60.

9.　解析:的展开式中只有第5项的二项式系数最大,则由二项式系数性质知,展开式共有9项,则n=8.

展开式的通项为Tr+1=x8-r·x8-2r,令8-2r=0,解得r=4.

所以展开式中常数项为T5=×70=.

10.B　解析:∵(x+y)5=x(x+y)5-(x+y)5,

则x(x+y)5的展开式通项为Tk+1=xx5-kyk=x6-kyk,

(x+y)5的展开式通项为Tr+1=x5-ryr=x4-ryr+2,

由解得

故式子(x+y)5的展开式中,x3y3的系数为=5.

故选B.

11.BCD　解析:由二项展开式中第5项与第7项的二项式系数相等可知n=10.又因为展开式的各项系数之和为1024,即当x=1时,(a+1)10=1024,所以a=1.所以二项式为.二项式系数和为210=1024,则奇数项的二项式系数和为×1024=512,故A错误;由n=10可知展开式共有11项,中间项的二项式系数最大,即第6项的二项式系数最大,因为x2与的系数均为1,则该二项式展开式的二项式系数与系数相同,所以第6项的系数最大,故B正确;若展开式中存在常数项,由通项Tk+1=x2(10-k)·可得2(10-k)-k=0,解得k=8,故C正确;由通项Tk+1=x2(10-k)可得2(10-k)-k=15,解得k=2,所以展开式中含x15的项的系数为=45,故D正确.故选BCD.

12.AD　解析:令x=0,则12021=a0,即a0=1,故A正确;

令x=1,则(1-2)2021=a0+a1+a2+…+a2021,

即a0+a1+a2+a3+…+a2021=-1,

所以a1+a2+a3+…+a2021=-2,故B错误;

根据二项式展开式的通项得,a3=×12018×(-2)3=-8,故C错误;

令x=1,则a0+a1+a2+a3+…+a2021=-1,

令x=-1,则a0-a1+a2-a3+…-a2021=(1+2)2021=32021,

两式相加可得a0+a2+…+a2020=, ①

两式相减可得a1+a3+…+a2021=, ②

②-①可得-a0+a1-a2+a3-a4+…+a2021==-32021,

所以a1-a2+a3-a4+…+a2021=1-32021,故D正确.

故选AD.

13.4　解析:因为二项式展开式的通项为xn-rxn-r.

由题意可得故8≤n≤11.又因为n为正整数,所以n=8或9或10或11,故n的所有可能取值的个数为4.

14.1　6　解析:令x=1,可得(1+x)5展开式中的所有项的系数和为32(a+1)=64,解得a=1.

则展开式中常数项为a×=1+5=6.

15.D　解析:a=·2+·22+…+·220=(1+2)20=320=(80+1)5,它被10除所得余数为1.又因为a≡b(mod10),所以b的值可以是2021.

16.　解析:由题意第10行的数就是(a+b)10的展开式中各项的二项式系数,因此从左至右第5与第6个数的比值为.