物理2 波的描述学案及答案

波的描述

必备知识·自主学习

一、波的图像

1．波的图像的画法：

2．正弦波：

二、波长、频率和波速

1．波长λ：

(1)定义：在波动中，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离。

(2)特征：

①在横波中，两个相邻波峰或两个相邻波谷之间的距离等于波长。

②在纵波中，两个相邻密部或两个相邻疏部之间的距离等于波长。

2．周期T、频率f：

(1)周期(频率)：在波动中，各个质点的振动周期(频率)叫波的周期(或频率)。

(2)周期T和频率f的关系：互为倒数，即f＝。

(3)波长与周期的关系：经过一个周期，振动在介质中传播的距离等于一个波长。

3．波速v：

(1)定义：波速是指波在介质中传播的速度。

(2)特点：

①机械波在介质中的传播速度由介质本身的性质决定，不同频率的机械波在相同的介质中的传播速度相等(选填“相等”或“不相等”)。

②某种机械波从一种介质进入另一种介质，频率不变，波速改变。

(3)波长、频率和波速之间的关系：v＝＝fλ。

(1)波的图像也称为波形图，简称波形。(√)

(2)波的图像表示某一质点在各个不同时刻的位移。(×)

(3)只有横波才能画出波的图像。(×)

(4)波的图像表示波中各质点在某一时刻的位移。(√)

关键能力·合作学习

知识点一　波的图像的理解及应用

1．波的图像的分析：

(1)波的图像是某一时刻介质中各个质点运动情况的“定格”。可以将波的图像比喻为某一时刻对所有质点拍摄下的“集体照”。

(2)简谐波的图像是正(余)弦曲线，是最简单的一种波，各个质点振动的最大位移都相等，介质中有正弦波传播时，介质中的质点做简谐运动。

(3)横波的图像形状与波在传播过程中介质中各质点某时刻的分布相似，波形中的波峰即为图像中的位移正向的最大值，波谷即为图像中的位移负向的最大值，波形中通过平衡位置的质点在图像中也恰处于平衡位置。

2．由波的图像获得的三点信息：

(1)可以直接看出在该时刻沿传播方向上各个质点的位移。

(2)可以直接看出在波的传播过程中各质点的振幅A。

(3)若已知该波的传播方向，可以确定各质点的振动方向；或已知某质点的振动方向，可以确定该波的传播方向。

3．波的图像的周期性：在波的传播过程中，各质点都在各自的平衡位置附近振动，不同时刻质点的位移不同，则不同时刻波的图像不同。质点的振动位移做周期性变化，则波的图像也做周期性变化。经过一个周期，波的图像复原一次。

4．波的传播方向的双向性：如果只知道波沿x轴传播，则有可能沿x轴正向传播，也可能沿x轴负向传播，具有双向性。

如图是艺术体操比赛中的带操表演，运动员手持细棒抖动彩带的一端，彩带随之波动翻卷，翩翩起舞。请问：

(1)波是怎样形成的？

(2)波的传播有什么特点？

提示：(1)彩带后面的质点在前面质点的带动下形成了带波。

(2)彩带的每一点并没有随波向远处迁移，只是向远处传递了机械振动这种运动形式和能量。

【典例】一列横波在某一时刻的波形图如图所示，已知波向左传播，则下列叙述正确的是(　　)

A．经过一定时间，E点将运动到C点处

B．M点和P点的振动情况相同

C．P点比M点先到达最低位置

D．B、D两点的加速度相同

【解题探究】

(1)质点不会随着波传播迁移，振动情况相同的质点距离必须是波长的整数倍。

(2)通过波的传播方向可以判断图中质点的运动方向，回复力始终指向平衡位置并与偏离平衡位置的距离成正比。

【解析】选C。波传播质点不会随着迁移，故A错误；M点和P点只是目前偏离平衡位置的距离一致，它们的间距不是波长的整数倍，振动情况不一样，故B错误；波向左传播，因此P点运动方向为y轴负方向，M点运动方向为y轴正方向，故P点比M点先到最低位置，故C正确；回复力始终指向平衡位置，B、D两点的加速度大小相等方向相反，故D错误。

判断质点振动方向或波传播方向的方法

(1)带动法：先振动的质点带动邻近的后振动的质点，在质点P靠近波源一方附近的图像上另找一点P′，若P′在P点上方，则P向上振动，若P′在下方，则P向下振动(如图甲所示)。

(2)上下坡法：沿波的传播方向看去，“上坡”处的质点向下振动；“下坡”处的质点向上振动，简称“上坡下、下坡上”(如图乙所示)。

(3)同侧法：在波的图像上的某一点，沿竖直方向画出一个箭头表示质点振动方向，并设想在同一点沿水平方向画一个箭头表示波的传播方向，那么这两个箭头总是在曲线的同侧(如图丙所示)。

(4)微平移法：如图丁所示，实线为t时刻的波形，作出微小时间Δt(Δt<)后的波形如虚线所示。由图可见t时刻的质点由P1(或P2)位置经Δt后运动到P1′(或P2′)处，这样就可以判断质点的振动方向了。

1.一列简谐横波某时刻的波形如图所示，比较介质中的三个质点a、b、c，则(　　)

A．此刻a的加速度最小

B．此刻b的速度最小

C．若波沿x轴正方向传播，此刻b向y轴正方向运动

D．若波沿x轴负方向传播，a比c先回到平衡位置

【解析】选C。由机械振动特点确定质点的加速度和速度大小，由“上下坡法”确定振动方向。由波动图像可知，此时质点a位于波峰处，根据质点振动特点可知，质点a的加速度最大，故A错误；此时质点b位于平衡位置，所以速度最大，故B错误；若波沿x轴正方向传播，由“上下坡法”可知，质点b向y轴正方向运动，故C正确；若波沿x轴负方向传播，由“上下坡法”可知，a质点沿y轴负方向运动，c质点沿y轴正方向运动，所以质点c比质点a先回到平衡位置，故D错误。

2.(2021·扬州高二检测)如图所示为某一时刻某简谐波的图像，波的传播方向沿x轴正方向，下列说法正确的是(　　)

A．质点a的振幅大于质点b的振幅

B．该时刻质点b、e的速度相同

C．该时刻质点c、d的加速度为零

D．该时刻质点d正在向下运动

【解析】选D。因为是简谐波，所有质点振幅相同，所以质点a、b的振幅相等，故A错误；波的传播方向沿x轴正方向，利用“上下坡法”可知该时刻质点b向上振动，而e向下振动，质点b、e的速度方向相反，所以该时刻质点b、e的速度不相同，故B错误；该时刻质点c在波谷，加速度最大，d在平衡位置，加速度为零，故C错误；波的传播方向沿x轴正方向，利用“上下坡法”可知质点d正在向下运动，故D正确；故选D。

【加固训练】

1．如图所示为一列沿x轴负方向传播的简谐波在某一时刻的图像，下列说法中正确的是(　　)

A.该时刻质点a和质点d位移相同，加速度方向相反

B．该时刻质点b和质点c位移相同，速度方向也相同

C．质点b比质点c先回到平衡位置

D．质点a比质点d先回到平衡位置

【解析】选D。题图时刻a、d两质点位移相同，加速度相同，A错。据“上坡下，下坡上”可以判断a、b两质点向上运动，c、d两质点向下运动，所以c比b先回到平衡位置，a比d先回到平衡位置，B、C错，D对。

2.一质点以坐标原点O为中心在y轴方向上做简谐运动，其振动图像如图所示，振动在介质中产生的简谐波沿x轴正方向传播，波速v＝1 m/s，t＝0 s时该质点开始振动，经过2 s后该质点停止振动，规定竖直向上为正方向，再经过1 s后的波形图是(　　)

【解析】选C。再经过1 s后由于波源已停止振动1 s，故在x＝0至x＝1 m的位置波形会是一条直线，由此可判断A、B、D错误，C正确。

知识点二　振动图像与波的图像的比较

简谐波的图像和简谐运动图像的区别首先是横轴表示的物理量不同，波的图像横轴表示各介质质点的平衡位置，而振动图像横轴表示时间。另外，图像的意义、隐含信息等方面也不相同，具体比较如下：

提醒：简谐运动的图像和波的图像都是正弦函数，但横纵坐标的物理意义区别很大，注意区分。

一列波的图像如图甲，其中某一点的振动图像如图乙。

(1)如何区分波的图像与振动图像。

提示：看图像的横坐标是x还是t。

(2)两种图像纵坐标的最大值相同吗？

提示：相同。

【典例】如图所示，甲为某一波在t＝1 s时的图像，波速为4 m/s，乙为参与该波运动的P质点的振动图像，则：

(1)说出两图中AA′的意义。

(2)说出甲图中OA′B图线的意义。

(3)在甲图中画出再经3.5 s时的波形图。

(4)求再经过3.5 s时P质点的路程和位移。

【解析】(1)甲图中AA′表示x＝1 m处质点的振幅或1 s时x＝1 m的质点的位移大小为0.2 m，方向为负；乙图中AA′表示P质点的振幅或P质点在0.25 s时的位移大小为0.2 m，方向为负。

(2)甲图中OA′B图线表示O到B之间所有质点在1 s时的位移，方向均为负。由乙图看出P质点在1 s时向y轴负方向振动，所以甲图中波向左传播，则OA间各质点正向远离平衡位置方向振动，AB间各质点正向靠近平衡位置方向振动。

(3)传播距离：Δx＝vΔt＝4×3.5 m＝14 m＝3×4 m＋2 m

所以只需将波形向x轴负向平移2 m即可，如图所示。

(4)T＝1 s，Δt＝T

所以路程s＝×4×0.2 m＝2.8 m

由于波动的重复性，经历时间为周期的整数倍时，位移不变，所以只需得知从图示时刻P质点经时的位移即可，分析可知，经质点P再次回到平衡位置，所以经3.5 s质点P的位移为0。

答案：见解析

巧用波动与振动图像

(1)看清横坐标，分清是振动图像还是波动图像。

(2)根据振动图像可确定质点在各时刻的位移；根据波动图像可确定某时刻各质点的位移。

(3)根据振动图像确定振动的周期；根据波动图像确定机械波的波长；再结合波速公式v＝可分析波速。

1．一简谐横波沿x轴正方向传播，在t＝时刻，该波的波形图如图(a)所示，P、Q是介质中的两个质点。图(b)表示介质中某质点的振动图像。下列说法正确的是(　　)

A.质点Q的振动图像与图(b)相同

B．在t＝0时刻，质点P的速率比质点Q的大

C．在t＝0时刻，质点P的加速度的大小比质点Q的小

D．平衡位置在坐标原点的质点的振动图像如图(b)所示

【解析】选D。波沿x轴正方向传播，在t＝ 时刻，平衡位置在坐标原点的质点正在从平衡位置向y轴负方向振动，质点P正位于波峰，质点Q正位于平衡位置向y轴正方向振动。在t＝0时刻，平衡位置在坐标原点的质点正在从平衡位置向y轴正方向振动，质点P正位于波谷，质点Q正在平衡位置向y轴负方向振动，则质点Q的振动图像与图(b)不相同，平衡位置在坐标原点的质点的振动图像如图(b)所示，故选项A错误，D正确。在t＝0时刻，质点P正位于波谷，质点P的速度为0，加速度最大，与其平衡位置的距离最大；质点Q正在平衡位置，速率最大，加速度最小，与其平衡位置的距离最小，故在t＝0时刻，质点P的速率比质点Q的小，质点P的加速度的大小比质点Q的大，质点P与其平衡位置的距离比质点Q的大，故选项B、C错误。

2．(2018·全国卷Ⅰ)一列简谐横波在t＝ s时的波形图如图甲所示，P、Q是介质中的两个质点。图乙是质点Q的振动图像。求：

(1)波速及波的传播方向。

(2)质点Q的平衡位置的x坐标。

【解析】(1)由图甲可以看出，该波的波长为λ＝36 cm　①

由图乙可以看出，周期为T＝2 s　②

波速为v＝＝0.18 m/s　③

由图乙知，当t＝ s时，Q点向上运动，结合图甲可得，波沿x轴负方向传播。

(2)设质点P、Q平衡位置的x坐标分别为xP、xQ。由图甲知，x＝0处y＝－＝A sin (－30°)，因此

xP＝λ＝3 cm　④

由图乙知，在t＝0时Q点处于平衡位置，经Δt＝ s，其振动状态向x轴负方向传播至P点处，由此及③式有

xQ－xP＝vΔt＝6 cm　⑤

由④⑤式得，质点Q的平衡位置的x坐标为

xQ＝9 cm　⑥

答案：(1)0.18 m/s　波沿x轴负方向传播　(2)9 cm

【加固训练】

1．一列简谐横波沿x轴正方向传播，图甲是t＝1 s时的波形图，图乙是波中某质点振动位移随时间变化的振动图线(两图均用同一时刻计时)，图乙的振动图线对应图甲上的质点是(　　)

A.x＝1 m处的质点　　　　　 B．x＝2 m处的质点

C．x＝3 m处的质点      D．x＝4 m处的质点

【解析】选B。因波沿x轴正方向传播，由乙图可得在t＝1 s时刻，质点在平衡位置，以后质点向y轴负方向运动，由图甲波动图线向x轴正方向传播可判断x＝2 m处的质点在平衡位置，正沿y轴负方向运动，故B对，A、C、D错。

2．一列简谐横波沿x轴正方向传播，波速v＝4 m/s。已知坐标原点处质点的振动图像如图所示，在选项的四幅图中，能够正确表示t＝0.35 s时波形的是(　　)

【解析】选D。分析各个选项可知，A选项中，坐标原点处的质点处在y轴上方且向上振动；B选项中，质点处在y轴上方，正向下振动；C选项中，质点处在y轴下方，正向下振动；D选项中，质点处在y轴下方，正向上振动；根据坐标原点处质点的振动图像可知：t＝0.35 s时该点在y轴下方且向上振动。根据波动规律可知，D正确，A、B、C错误。

知识点三　波长、波速和频率的关系

波速和波长、频率的决定因素及关系

提醒：注意波长、波速和频率的决定因素。

地震时，震源的振动会以横波和纵波两种形式向外传播，两种波在地壳中的传播速度并不一样，首先到达地面的是纵波，接着横波传来，所以在震中的人们会先感到上下颠簸，然后又会感到左右摇摆。

讨论：

(1)地震时，在地壳中纵波的速度与横波的速度谁大？

(2)同一种波的传播速度取决于什么？

提示：(1)纵波的速度大。

(2)波的传播速度取决于介质。

【典例】如图甲为某一列波在t＝1.0 s时的图像，图乙为参与该波的质点P的振动图像。

(1)求该波波速。

(2)求再经过3.5 s时P质点的路程。

(3)波的传播方向。

【解析】(1)根据两图像得λ＝4 m，T＝1.0 s，

所以v＝＝4 m/s

(2)3.5 s内的路程为

s＝×4A＝×0.8 m＝2.8 m。

(3)由题中乙图知P质点1.0 s时沿y轴负方向振动，由“同侧法”可知，题图甲中波向左传播。

答案：(1)4 m/s　(2)2.8 m　(3)向左

1．如图为一列简谐横波在t＝0.1 s时刻的波形图，已知该波沿x轴正方向传播，波速v＝20 m/s，则质点P的振动图像为(　　)

【解析】选D。根据v＝可知振动周期T＝0.2 s，A、C错误；由于波沿x轴正方向传播，因此在t＝0.1 s时刻，P点通过平衡位置向y轴正方向运动，因此D正确，B错误。故选D。

2．一列简谐波沿x轴传播，t＝0时刻的波形如图甲所示，此时质点P振动图像如图乙所示，则该波的传播方向和波速分别是(　　)

A.沿x轴负方向，60 m/s　　 B．沿x轴正方向，60 m/s

C．沿x轴负方向，30 m/s     D．沿x轴正方向，30 m/s

【解析】选A。由乙图可知：P点下一个时刻位移沿负方向增大，所以P点此时的运动方向向下，得出此波沿x轴负方向传播，由乙图可知：T＝0.4 s，由甲图可知：λ＝24 m，所以v＝＝ m/s＝60 m/s，故选A。

【加固训练】

1．如图为一列简谐横波在t＝1.0 s时刻的波形图。已知图中质点b的起振时刻比质点a超前了0.2 s，则以下说法错误的是(　　)

A．这列波的波速为10 m/s

B．这列波的频率为2.5 Hz

C．这列波沿x轴正方向传播

D．该时刻质点P正沿y轴负方向运动

【解析】选C。从图中可知波长λ＝4 m，T＝0.4 s解得v＝＝10 m/s，A正确；根据f＝，可得f＝2.5 Hz，B正确；b点起振比a早，根据走坡法可知波沿x轴负方向传播；根据波动与振动“上下坡”关系，该时刻质点P沿y轴负方向运动，C错误，D正确。

2.如图所示，下列说法中错误的是(　　)

A．此列波的振幅是0.1 m

B．x＝15 m处质点的位移是0.1 m

C．若A的速度沿y轴正方向，则B的速度亦沿y轴正方向

D．A的加速度沿y轴的负方向，而B、C的加速度沿y轴的正方向

【解析】选B。由图知振幅 A＝0.1 m，故A正确；由数学知识知该波的方程为：y＝0.1sin x m。图中波长λ＝20 cm＝0.2 m，当x＝15 m时，代入波动方程得：y＝0.1sin (×15) m＝0，故B错误；A、B平衡位置间的距离小于半个波长，若A的速度沿y轴正方向，B的速度亦沿y轴正方向，故C正确；根据加速度方向与位移方向相反，可知此刻A的加速度沿y轴的负方向，而B、C的加速度沿y轴的正方向，故D正确。

知识点四　波动问题的多解性

1．波的周期性造成多解：

(1)时间的周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确。

(2)空间的周期性：波的传播距离Δx与波长λ的关系不明确。

2．传播方向的双向性造成多解：

(1)波的传播方向不确定。

(2)质点振动方向不确定。

3．解决波动问题应注意的问题：

(1)质点到达最大位移处，则有正向和负向最大位移两种可能。

(2)质点由平衡位置开始振动，则有起振方向相反的两种可能。

(3)只告诉波速，不指明波的传播方向，应考虑沿两个方向传播的可能。

(4)只给出两时刻的波形，则有多次重复出现的可能。

一列绳波某时刻的波形图如图所示。

讨论：(1)a质点需多长时间第一次运动到波峰？

(2)与a质点运动速度始终相等的质点有几个？

提示：(1)由于波的传播方向未知，所以a质点到达波峰所用的时间可能为T或T。

(2)有无数个。

【典例】一个弹簧振子做简谐振动，若从平衡位置开始计时，经过3 s时，振子第一次到达P点，又经过2 s第二次经过P点，则该弹簧振子的振动周期可能为(　　)

A．32 s     B．16 s

C．8 s     D．4 s

【解析】选B。若从O点开始向右振动，按下面路线振动，作出示意图如图，则弹簧振子的振动周期为：T1＝4×(3＋) s＝16 s；

若振子从O点开始向左振动，则按下面路线振动，作出示意图如图， 设从P到O的时间为t，则有：＋t＝，解得：t＝ s，则周期为：T2＝4×(＋1) s＝ s；故选项B正确，A、C、D错误。

简谐运动多解问题的分析方法

(1)画出物理过程的模型图。

(2)根据简谐运动的对称性求周期或位移。

(3)讨论由于运动方向的不确定性和运动的周期性造成多解的情形。

1．如图所示，一列简谐横波在介质中沿水平方向传播，实线是在t1＝0时波的图像，虚线是在t2＝0.5 s时波的图像，已知介质中质点P在0～0.5 s的时间内通过的路程为10 cm。下面关于波的几个论述中正确的是(　　)

A.简谐横波的波长为8 m　　　B．波的传播方向水平向左

C．波的传播速度为10 m/s    D．波的频率为0.4 Hz

【解析】选C。据波形图可知，波长为4 m，振幅2 cm，故A错误；据图可知两时刻质点P在平衡位置和最大位移处，由于介质中质点P在0～0.5 s的时间内通过的路程为10 cm，可以说明两时刻相距T，所以T＝0.4 s，f＝＝2.5 Hz；结合波形图可知，该波只能水平向右传播，故B、D错误；据v＝＝ m/s＝10 m/s，故C正确。

2．如图所示，实线是某时刻的波形图像，虚线表示0.2 s后的波形图像(　　)

A.若这列波向左传播，则可确定它传播的距离的大小

B．若这列波向右传播，则可求它的最小周期

C．若波速是45 m/s，则波的传播方向向右

D．不管波的传播方向如何，由图像都可以确定x＝0的质点在0.2 s时间内的位移和路程

【解析】选C。若波向左传播，它传播的距离的大小：Δx＝(n＋)λ(n＝0、1、2…)，不确定，故A错误；若波向右传播，波传播的最短时间为周期，根据波形的平移和波的周期性，得出时间与周期的关系式，再求出最大周期：t＝kT＋(k＝0、1、2…)，得到T＝，当k＝0时，T最大，Tmax＝4t＝0.8 s，故B错误；由波速与时间乘积求出波传播的距离，再由波形的平移确定波的传播方向，当v＝45 m/s时，波传播的位移：s＝vt＝45×0.2 m＝2λ，所以根据波形的平移得到，波向右传播，故C正确；由于不知波的传播方向如何，则周期不确定，所以无法确定x＝0的质点在0.2 s时间内的位移和路程，故D错误。

【加固训练】

一列简谐横波沿x轴正方向传播，在t＝0和t＝0.20 s 时的波形分别如图中实线和虚线所示。已知该波的周期T>0.20 s。下列说法正确的是(　　)

A.波速为0.40 m/s

B．波长为0.08 m

C．x＝0.08 m的质点在t＝0.70 s时位于波峰

D．x＝0.08 m的质点在t＝0.12 s时位于波谷

【解析】选A。由图像可知波长λ＝0.16 m，B错；由于该波的周期T>0.2 s，结合图像可知T＝0.4 s，则波速为0.40 m/s，A对；t＝0时x＝0.08 m的质点从平衡位置沿y轴正向振动，t＝0.70 s时位于波谷，t＝0.12 s时位于平衡位置与波峰之间的某一位置，C、D错，故选A。

【拓展例题】考查内容：波的多解性的综合应用

【典例】一列简谐横波向右传播，波速为v，沿波传播方向上有相距为L的P、Q两质点，某时刻P、Q两质点都处于平衡位置，且P、Q间仅有一个波峰，经过时间t，Q质点第一次运动到波谷。则t的可能值有(　　)

A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个

【解析】选D。由题中条件可知，P、Q间的波形有如图所示四种

已知波向右传播，对图甲Q质点第一次运动到波谷时间t1＝＝，对图乙Q质点第一次运动到波谷时间t2＝＝，对图丙Q质点第一次运动到波谷时间t3＝＝，对图丁Q质点第一次运动到波谷时间t4＝＝。

情境·模型·素养

如图甲所示，波源S从平衡位置处开始向y轴正方向振动，振动周期为T＝

0.01 s，振幅为2 cm，产生的简谐波向左、右两个方向传播，波速均为v＝40 m/s。经过一段时间后，P、Q两点开始振动。

探究：已知距离SP＝1.2 m、SQ＝1.7 m

(1)求此波的频率和波长。

(2)以Q点开始振动的时刻作为计时的零点，试在图乙中分别画出P、Q两点的振动图像(至少画一个周期)。

【解析】(1)频率f＝＝ Hz＝100 Hz

由波速公式v＝得，

波长λ＝vT＝40×0.01 m＝0.4 m

(2)SP＝1.2 m＝3λ、SQ＝1.7 m＝4λ。

波源S开始振动方向竖直向上，则介质中各点起振方向均沿竖直向上方向。结合波形可知，当Q点开始振动时，Q点向上振动，而P点此时处于波峰，则P、Q两点的振动图像为

答案：(1)100 Hz　0.4 m　(2)见解析图

竖直悬挂的弹簧振子下端装有记录笔，在竖直面内放置记录纸。当振子上下振动时，以水平向左的速度v＝10 m/s匀速拉动记录纸，记录笔在纸上留下记录的痕迹，建立坐标系，测得的数据如图所示。

探究：振子振动的振幅和频率。

【解析】设周期为T，振幅为A。

由题图得A＝5 cm；

由于振动的周期就是记录纸从x＝0至x＝1 m运动的时间，所以周期为：T＝＝＝0.1 s，

故频率f＝＝ Hz＝10 Hz。

答案：5 cm　10 Hz