甘肃省武威2022年中考数学试卷解析版

这是一份甘肃省武威2022年中考数学试卷解析版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

甘肃省武威2022年中考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.
1．-2的相反数为（　　）
A．-2 B．2 C．±2 D．12
【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：∵−(−2)=2
∴-2的相反数为2.
故答案为：B
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答.
2．若 ∠A=40° ，则 ∠A 的余角的大小是（　　）
A．50° B．60° C．140° D．160°
【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠A=40° ，
∴∠A 的余角= 90°−40°=50° .
故答案为：A.
【分析】根据互余两角之和为90°进行计算.
3．不等式 3x−2>4 的解集是（　　）
A．x>−2 B．x<−2 C．x>2 D．x<2
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：3x-2＞4，
移项得：3x＞4+2，
合并同类项得：3x＞6，
系数化为1得：x＞2.
故答案为：C.
【分析】根据移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行求解.
4．用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（　　）
A．(x+1)2=3 B．(x+1)2=6 C．(x−1)2=3 D．(x−1)2=6
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2-2x=2，
x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3.
故答案为：C.
【分析】给方程两边同时加上1，然后对左边的式子利用完全平方公式分解即可.
5．若 △ABC∼△DEF ， BC=6 ， EF=4 ，则 ACDF= （　　）
A．49 B．94 C．23 D．32
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∼△DEF
∴BCEF=ACDF，
∵BC=6 ， EF=4 ，
∴ACDF=64=32
故答案为：D.
【分析】直接根据相似三角形对应边成比例进行计算即可.
6．2022年4月16日，神州十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，飞行任务取得圆满成功.“出差”太空半年的神州十三号航天员乘组顺利完成既定全部任务，并解锁了多个“首次”.其中，航天员们在轨驻留期间共完成37项空间科学实验，如图是完成各领域科学实验项数的扇形统计图，下列说法错误的是（　　）
A．完成航天医学领域实验项数最多
B．完成空间应用领域实验有5项
C．完成人因工程技术实验项数比空间应用领域实验项数多
D．完成人因工程技术实验项数占空间科学实验总项数的24.3%
【答案】B
【知识点】扇形统计图
【解析】【解答】解：A.由扇形统计图可得，完成航天医学领域实验项数最多，所以A选项说法正确，故A选项不符合题意；
B.由扇形统计图可得，完成空间应用领域实验占完成总实验数的5.4%，实验次项数为5.4%×37≈2项，所以B选项说法错误，故B选项符合题意；
C.完成人因工程技术实验占完成总实验数的24.3%，完成空间应用领域实验占完成总实验数的5.4%，所以完成人因工程技术实验项数比空间应用领域实验项数多，说法正确，故C选项不符合题意；
D.完成人因工程技术实验项数占空间科学实验总项数的24.3%，所以D选项说法正确，故D选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据扇形统计图找出所占百分比最高的，据此判断A；利用完成空间应用领域实验占完成总实验数的百分比乘以总项数可得对应的项数，据此判断B；根据扇形统计图可得完成人因工程技术实验占完成总实验数的百分比以及完成空间应用领域实验占完成总实验数的百分比，据此判断C、D.
7．大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形.如图2，一个巢房的横截面为正六边形 ABCDEF ，若对角线 AD 的长约为8mm，则正六边形 ABCDEF 的边长为（　　）
A．2mm B．22mm C．23mm D．4mm
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接CF与AD交于点O，
∵ABCDEF 正六边形，
∴∠COD= 360°6 =60°，CO=DO，AO=DO= 12 AD=4mm，
∴△COD为等边三角形，
∴CD=CO=DO=4mm，
即正六边形 ABCDEF 的边长为4mm.
故答案为：D.
【分析】连接CF与AD交于点O，根据正六边形的性质可得∠COD==60°，CO=DO，AO=DO=12AD=4mm，推出△COD为等边三角形，然后根据等边三角形的性质进行解答.
8．《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海.今凫雁俱起，问何日相逢？”大意是：今有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海.现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞，问经过多少天相遇？设经过x天相遇，根据题意可列方程为（　　）
A．(17+19)x=1 B．(17−19)x=1 C．(9−7)x=1 D．(9+7)x=1
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设经过x天相遇，
根据题意得： 17 x+ 19 x=1，
∴（ 17 + 19 ）x=1.
故答案为：A.
【分析】设经过x天相遇，则野鸭x天的行程为17x，大雁x天的行程19x，然后根据总行程为1就可列出方程.
9．如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧（ AB ），点 O 是这段弧所在圆的圆心，半径 OA=90m ，圆心角 ∠AOB=80° ，则这段弯路（ AB ）的长度为（　　）
A．20πm B．30πm C．40πm D．50πm
【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵半径OA=90m，圆心角∠AOB=80°，
∴ 这段弯路（ AB ）的长度为： 80π×90180=40π(m) ，
故答案为：C.
【分析】直接根据弧长公式nπr180（n为圆心角的度数，r为半径）进行计算即可.
10．如图1，在菱形 ABCD 中， ∠A=60° ，动点 P 从点 A 出发，沿折线 AD→DC→CB 方向匀速运动，运动到点 B 停止.设点 P 的运动路程为 x ， △APB 的面积为 y ， y 与 x 的函数图象如图2所示，则 AB 的长为（　　）
A．3 B．23 C．33 D．43
【答案】B
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：在菱形ABCD中，∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形，
设AB=a，由图2可知，△ABD的面积为 33 ，
∴△ABD的面积 =34a2=33
解得：a= 23
故答案为：B.
【分析】根据菱形的性质可得AB=AD，结合∠A=60°可得△ABD为等边三角形，设AB=a，由图2可知△ABD的面积为33，然后结合三角形的面积公式计算即可.
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.
11．计算： 3a3⋅a2=　 　.
【答案】3a5
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】解：原式＝ 3a3⋅a2=3a5 .
故答案为： 3a5 .
【分析】单项式乘以单项式，积的系数等于原来两个单项式的系数的积，它的各个变数字母的幂指数，等于在原来两个单项式中相应的变数字母的幂指数的和.，据此计算.
12．因式分解 m3−4m = 　 　．
【答案】m（m+2）（m-2）
【知识点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】原式=m（m2-4）=m（m+2）（m-2）
【分析】先用提公因式法分解，然后利用平方差公式分解到每一个因式都不能再分解为止。
13．若一次函数y=kx−2的函数值y随着自变量x值的增大而增大，则k=　 　（写出一个满足条件的值）.
【答案】2（答案不唯一）
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵函数值y随着自变量x值的增大而增大，
∴k＞0，
∴k=2（答案不唯一）.
故答案为：2（答案不唯一）.
【分析】根据一次函数的性质结合题意可得k＞0，据此解答.
14．如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，若 AB=25cm ， AC=4cm ，则 BD 的长为　 　cm.
【答案】8
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解： ∵ 菱形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O ，AC=4，
∴AC⊥BD ， BO=OD=12BD ，AO=OC= 12 AC=2
∵AB=25 ，
∴BO=AB2−AO2=4 ，
∴BD=2BO=8
故答案为：8.
【分析】根据菱形的性质可得AC⊥BD，BO=OD=12BD，AO=OC=12AC=2，根据勾股定理求出BO，进而可得BD.
15．如图，在⊙O内接四边形 ABCD 中，若 ∠ABC=100° ，则 ∠ADC=　 　° .
【答案】80
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝100°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ADC=180°−∠ABC=180°−100°=80° .
故答案为80.
【分析】根据圆内接四边形对角互补，可得∠ABC+∠ADC=180°，据此计算即可.
16．如图，在四边形 ABCD 中， AB∥DC ， AD∥BC ，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形 ABCD 成为一个矩形，只需添加的一个条件是　 　.
【答案】∠A=90°（答案不唯一）
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】】解：需添加的一个条件是∠A=90°，理由如下：
∵AB∥DC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠A=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：∠A=90°（答案不唯一）.
【分析】由已知条件可得四边形ABCD是平行四边形，然后结合矩形的判定定理进行解答.
17．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线.若不考虑空气阻力，小球的飞行高度 h （单位：m）与飞行时间 t （单位：s）之间具有函数关系： h=−5t2+20t ，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间 t=　 　s.
【答案】2
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：∵h=-5t2+20t=-5（t-2）2+20，且-5＜0，
∴当t=2时，h取最大值20.
故答案为：2.
【分析】将h与t的函数关系式化为顶点式，据此可得h的最大值.
18．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=9cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE=2cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为　 　cm.
【答案】13
【知识点】平行线的性质；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=6cm，∠ABC=∠C=90°，AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∵AE=2cm，
∴BE=AB-AE=6-2=4（cm），
∵G是EF的中点，
∴EG=BG= 12 EF，
∴∠BEG=∠ABD，
∴∠BEG=∠BDC，
∴△EBF∽△DCB，
∴EBDC=BFCB ，
∴46=BF9 ，
∴BF=6，
∴EF= BE2+BF2=42+62=213 （cm），
∴BG= 12 EF= 13 （cm）.
故答案为：13.
【分析】根据矩形的性质可得AB=CD=6cm，∠ABC=∠C=90°，AB∥CD，根据平行线的性质可得∠ABD=∠BDC，由线段的和差关系可得BE=AB-AE=4cm，根据中点的概念可得EG=BG=12EF，由等腰三角形的性质可得∠BEG=∠ABD，推出∠BEG=∠BDC，证明△EBF∽△DCB，利用相似三角形的性质求出BF，由勾股定理可得EF，进而可得BG.
三、解答题：本大题共5小题，共26分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
19．计算： 2×3−24 .
【答案】解：原式 =6−26
=−6 .
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据二次根式的乘法法则可得原式=6-26，然后根据二次根式的减法法则进行计算.
20．化简： (x+3)2x+2÷x2+3xx+2−3x .
【答案】解：原式 =(x+3)2x+2⋅x+2x(x+3)−3x
=x+3x−3x
=1.
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】首先将除法化为乘法，再进行约分，接下来根据同分母分式减法法则进行计算.
21．中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题：
原文
释义
甲乙丙为定直角.
以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧；
以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己；
再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚；
乙与己及庚相连作线.
如图2， ∠ABC 为直角.
以点 B 为圆心，以任意长为半径画弧，交射线 BA ， BC 分别于点 D ， E ；
以点 D 为圆心，以 BD 长为半径画弧与 DE 交于点 F ；
再以点 E 为圆心，仍以 BD 长为半径画弧与 DE 交于点 G ；
作射线 BF ， BG .
（1）根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）根据（1）完成的图，直接写出 ∠DBG ， ∠GBF ， ∠FBE 的大小关系.
【答案】（1）解：如图：
（2）解： ∠DBG=∠GBF=∠FBE .
【知识点】等边三角形的判定与性质；作图-角
【解析】【解答】解：（2） ∠DBG=∠GBF=∠FBE .
理由：连接DF，EG如图所示
则BD=BF=DF，BE=BG=EG
即 △BDF 和 △BEG 均为等边三角形
∴∠DBF=∠EBG=60°
∵∠ABC=90°
∴∠DBG=∠GBF=∠FBE=30°
【分析】（1）根据尺规作图的方法进行作图即可；
（2） 连接DF，EG，则BD=BF=DF，BE=BG=EG，推出△BDF、△BEG均为等边三角形，得到∠DBF=∠EBG=60°，然后结合∠ABC=90°进行解答.
22．灞陵桥位于甘肃省渭源县城南清源河（渭河上游）上，始建于明洪武初年，因“渭水绕长安，绕灞陵，为玉石栏杆灞陵桥”之语，得名灞陵桥（图1），该桥为全国独一无二的纯木质叠梁拱桥.某综合实践研究小组开展了测量汛期某天“灞陵桥拱梁顶部到水面的距离”的实践活动，过程如下：
方案设计：如图2，点C为桥拱梁顶部（最高点），在地面上选取A，B两处分别测得∠CAF和∠CBF的度数（A，B，D，F在同一条直线上），河边D处测得地面AD到水面EG的距离DE（C，F，G在同一条直线上，DF∥EG，CG⊥AF，FG=DE）.
数据收集：实地测量地面上A，B两点的距离为8.8m，地面到水面的距离DE=1.5m，∠CAF=26.6°，∠CBF=35°.
问题解决：求灞陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG（结果保留一位小数）.
参考数据：sin26 6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70.
根据上述方案及数据，请你完成求解过程.
【答案】解：设BF=x m，
由题意得：
DE=FG=1.5m，
在Rt△CBF中，∠CBF=35°，
∴CF=BF•tan35°≈0.7x（m），
∵AB=8.8m，
∴AF=AB+BF=（8.8+x）m，
在Rt△ACF中，∠CAF=26.6°，
∴tan26.6°= CFAF=0.7x8.8+x ≈0.5，
∴x=22，
经检验：x=22是原方程的根，
∴CG=CF+FG=0.7x+1.5=16.9（m），
∴灞陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG约为16.9m.
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】设BF=x m，由题意得：DE=FG=1.5m，根据三角函数的概念可得CF，由AF=AB+BF表示出AF，然后根据三角函数的概念求出x，再根据CG=CF+FG进行计算.
23．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4至20日在我国北京-张家口成功举办，其中张家口赛区设有四个冬奥会竞赛场馆，分别为：A.云顶滑雪公园、B.国家跳台滑雪中心、C.国家越野滑雪中心、D.国家冬季两项中心.小明和小颖都是志愿者，他们被随机分配到这四个竞赛场馆中的任意一个场馆的可能性相同.
（1）小明被分配到D.国家冬季两项中心场馆做志愿者的概率是多少？
（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率.
【答案】（1）解：小明被分配到D.国家冬季两项中心场馆做志愿者的概率是 14 ；
（2）解：画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的结果有4种，
∴小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率为 416=14 .
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【分析】（1）直接根据概率公式进行计算即可；
（2）画出树状图，找出总情况数以及小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的情况数，然后根据概率公式进行计算.
四、解答题：本大题共5小题，共40分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
24．受疫情影响，某初中学校进行在线教学的同时，要求学生积极参与“增强免疫力、丰富学习生活”为主题的居家体育锻炼活动，并实施锻炼时间目标管理.为确定一个合理的学生居家锻炼时间的完成目标，学校随机抽取了30名学生周累计居家锻炼时间（单位：h）的数据作为一个样本，并对这些数据进行了收集、整理和分析，过程如下：
【数据收集】
7 8 6 5 9 10 4 6 7 5 11 12 8 7 6
4 6 3 6 8 9 10 10 13 6 7 8 3 5 10
【数据整理】
将收集的30个数据按A，B，C，D，E五组进行整理统计，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图（说明：A. 3≤t<5 ，B. 5≤t<7 ，C. 7≤t<9 ，D. 9≤t<11 ，E. 11≤t≤13 ，其中 t 表示锻炼时间）；
【数据分析】
统计量
平均数
众数
中位数
锻炼时间（h）
7.3
m
7
根据以上信息解答下列问题：
（1）填空： m=　 　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）如果学校将管理目标确定为每周不少于7h，该校有600名学生，那么估计有多少名学生能完成目标？你认为这个目标合理吗？说明理由.
【答案】（1）6
（2）解：补全频数分布直方图如下：
（3）解： 600×8+6+330=600×1730=340 .
答：估计有340名学生能完成目标；
目标合理.
理由：过半的学生都能完成目标.
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布直方图；众数
【解析】【解答】（1）由数据可知，6出现的次数最多，
∴m=6.
故答案为：6.
【分析】（1）找出出现次数最多的数据即为众数m的值；
（2）根据收集的数据找出C组：7≤t<9的频数，据此可补全频数分布直方图；
（3）首先求出C、D、E组的频数之和，然后除以总人数，再乘以600求出能完成目标的人数，据此解答.
25．如图，B，C是反比例函数y= kx （k≠0）在第一象限图象上的点，过点B的直线y=x-1与x轴交于点A，CD⊥x轴，垂足为D，CD与AB交于点E，OA=AD，CD=3.
（1）求此反比例函数的表达式；
（2）求△BCE的面积.
【答案】（1）解：当y=0时，即x-1=0，
∴x=1，
即直线y=x-1与x轴交于点A的坐标为（1，0），
∴OA=1=AD，
又∵CD=3，
∴点C的坐标为（2，3），
而点C（2，3）在反比例函数y= kx 的图象上，
∴k=2×3=6，
∴反比例函数的图象为y= 6x ；
（2）解：方程组 y=x−1y=6x 的正数解为 x=3y=2 ，
∴点B 坐标为（3，2），
当x=2时，y=2-1=1，
∴点E的坐标为（2，1），即DE=1，
∴EC=3-1=2，
∴S△BCE= 12 ×2×（3-2）=1，
答：△BCE的面积为1.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）令y=x-1中的y=0，可得x=1，则A（1，0），OA=1=AD，结合CD=3可得C（2，3），然后代入y=kx中求出k的值，据此可得反比例函数的解析式；
（2）联立一次函数与反比例函数的解析式求出x、y，可得B（3，2），则E（2，1），DE=1，EC=2，然后根据三角形的面积公式进行计算.
26．如图， △ABC 内接于 ⊙O ， AB ， CD 是 ⊙O 的直径， E 是 DB 延长线上一点，且 ∠DEC=∠ABC .
（1）求证： CE 是 ⊙O 的切线；
（2）若 DE=45 ， AC=2BC ，求线段 CE 的长.
【答案】（1）证明：∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=90° ，
∴∠A+∠ABC=90° ，
∵BC=BC ，
∴∠A=∠D ，
又∵∠DEC=∠ABC ，
∴∠D+∠DEC=90° ，
∴∠DCE=90° ，
∴CD⊥CE ，
∵OC 为 ⊙O 的半径，
∴CE 是 ⊙O 的切线；
（2）解：由（1）知 CD⊥CE ，
在 Rt△ABC 和 Rt△DEC 中，∵∠A=∠D ， AC=2BC ，
∴tanA=tanD ，即 BCAC=CECD=12 ，
∴CD=2CE ，
在 Rt△CDE 中， CD2+CE2=DE2 ， DE=45 ，
∴(2CE)2+CE2=(45)2 ，解得 CE=4
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；切线的判定；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ACB=90°，则∠A+∠ABC=90°，根据等腰三角形的性质可得∠A=∠D，由已知条件知∠DEC=∠ABC，则∠DCE=90°，据此证明；
（2）根据∠A=∠D结合三角函数的概念可得CD=2CE，然后在Rt△CDE中，应用勾股定理计算即可.
27．已知正方形 ABCD ， E 为对角线 AC 上一点.
（1）【建立模型】如图1，连接 BE ， DE .求证： BE=DE ；
（2）【模型应用】如图2， F 是 DE 延长线上一点， FB⊥BE ， EF 交 AB 于点 G .
①判断 △FBG 的形状并说明理由；
②若 G 为 AB 的中点，且 AB=4 ，求 AF 的长.
（3）【模型迁移】如图3， F 是 DE 延长线上一点， FB⊥BE ， EF 交 AB 于点 G ， BE=BF .求证： GE=(2−1)DE .
【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD 为正方形， AC 为对角线，
∴AB=AD ， ∠BAE=∠DAE=45° .
∵AE=AE ，
∴△ABE≅ADE(SAS) ，
∴BE=DE
（2）解：①△FBG 为等腰三角形.理由如下：
∵四边形 ABCD 为正方形，
∴∠GAD=90° ，
∴∠AGD+∠ADG=90° .
∵FB⊥BE ，
∴∠FBG+∠EBG=90° ，
由（1）得 ∠ADG=∠EBG ，
∴∠AGD=∠FBG ，
又∵∠AGD=∠FGB ，
∴∠FBG=∠FGB ，
∴△FBG 为等腰三角形.
②如图1，过点 F 作 FH⊥AB ，垂足为 H .
∵四边形 ABCD 为正方形，点 G 为 AB 的中点， AB=4 ，
∴AG=BG=2 ， AD=4 .
由①知 FG=FB ，
∴GH=BH=1 ，
∴AH=AG+GH=3 .
在 Rt△FHG 与 Rt△DAG 中，
∵∠FGH=∠DGA ，
∴tan∠FGH=tan∠DGA ，
∴FHGH=ADAG=42 ，
∴FH=2 .
在 Rt△AHF 中， AF=AH2+FH2=9+4=13 .
（3）证明：如图2，
∵FB⊥BE ，
∴∠FBE=90° .
在 Rt△EBF 中， BE=BF ，
∴EF=2BE .
由（1）得 BE=DE ，
由（2）得 FG=BF ，
∴GE=EF−FG=2BE−BF=2DE−DE=(2−1)DE .
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；正方形的性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得AB=AD，∠BAE=∠DAE=45°，证明△ABE≌△ADE，据此可得结论；
（2）①根据正方形的性质可得∠GAD=90°，根据垂直的概念可得∠EBF=90°，由（1）得∠ADG=∠EBG，根据等角的余角相等可得∠AGD=∠FBG，根据对顶角的性质可得∠AGD=∠FGB，推出∠FBG=∠FGB，据此判断；
②过点F作FH⊥AB，垂足为H，根据正方形的性质以及中点的概念可得AG=BG=2，AD=4，由①知FG=FB，则GH=BH=1，AH=AG+GH=3，根据对顶角的性质可得∠FGH=∠DGA，结合三角函数的概念可得FH，然后利用勾股定理计算即可；
（3）根据垂直的概念可得∠FBE=90°，则EF=2BE，由（1）得BE=DE，由（2）得FG=BF，然后根据GE=EF-FG进行解答.
28．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 y=14(x+3)(x−a) 与 x 轴交于 A ， B(4，0) 两点，点 C 在 y 轴上，且 OC=OB ， D ， E 分别是线段 AC ， AB 上的动点（点 D ， E 不与点 A ， B ， C 重合）.
（1）求此抛物线的表达式；
（2）连接 DE 并延长交抛物线于点 P ，当 DE⊥x 轴，且 AE=1 时，求 DP 的长；
（3）连接 BD .
①如图2，将 △BCD 沿 x 轴翻折得到 △BFG ，当点 G 在抛物线上时，求点 G 的坐标；
②如图3，连接 CE ，当 CD=AE 时，求 BD+CE 的最小值.
【答案】（1）解：∵B(4，0) 在抛物线 y=14(x+3)(x−a) 上，
∴14(4+3)(4−a)=0 ，解得 a=4 ，
∴y=14(x+3)(x−4) ，即 y=14x2−14x−3
（2）解：在 y=14(x+3)(x−4) 中，令 y=0 ，得 x1=−3 ， x2=4 ，
∴A(−3，0) ， OA=3 ，
∵OC=OB=4 ，
∴C(0，4) ，
∵AE=1 ，
∴DE=AE⋅tan∠CAO=AE⋅OCOA=1×43=43 ，
OE=OA−AE=3−1=2 ，
∴E(−2，0) ，
∵DE⊥x 轴，
∴xP=xD=xE=−2 ，
∴yP=14(−2+3)(−2−4)=−32 ，
∴PE=32 ，
∴DP=DE+PE=43+32=176 .
（3）解：①连接 DG 交 AB 于点 M ，如图1所示：
∵△BCD 与 △BFG 关于 x 轴对称，
∴DG⊥AB ， DM=GM ，
设 OM=a(a>0) ，则 AM=OA−OM=3−a ，
MG=MD=AM⋅tan∠CAO=43(3−a) ，
∴G[−a，43(a−3)] ，
∵点 G[−a，43(a−3)] 在抛物线 y=14(x+3)(x−4) 上，
∴14(−a+3)(−a−4)=43(a−3) ，
解得 a1=3 （舍去）， a2=43 ，
∴G(−43，−209) ；
②在 AB 下方作 ∠EAQ=∠DCB 且 AQ=BC ，连接 EQ ， CQ ，如图2所示：
∵AE=CD ，
∴△AEQ≅△CDB(SAS) ，
∴EQ=BD ，
∴当 C ， E ， Q 三点共线时， BD+CE=EQ+CE 最小，最小为 CQ ，
过 C 作 CH⊥AQ ，垂足为 H ，
∵OC⊥OB ， OC=OB=4 ，
∴∠CBA=45° ， BC=42 ，
∵∠CAH=180°−∠CAB−∠EAQ=180°−∠CAB−∠DCB=∠CBA=45° ，
AC=OA2+OC2=32+42=5 ， AH=CH=22AC=522 ，
HQ=AH+AQ=AH+BC=522+42=1322 ，
∴CQ=CH2+HQ2
=(522)2+(1322)2
=97 ，
即 BD+CE 的最小值为 97 .
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称的性质；锐角三角函数的定义；二次函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）将B（4，0）代入求出a的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）易得A（-3，0）、C（0，4），则OA=3，根据三角函数的概念可得DE，由OE=OA-AE可得OE，进而得到点E的坐标，易得xP=xD=xE=-2，将x=-2代入抛物线解析式中求出y，据此可得PE，然后根据DP=DE+PE进行计算；
（3）①连接DG交AB于点M，根据轴对称的性质可得DG⊥AB，DM=GM，设OM=a，则AM=3-a，根据三角函数的概念可得MG，表示出点G的坐标，代入抛物线解析式中可得a的值，据此可得点G的坐标；
②在AB下方作 ∠EAQ=∠DCB且AQ=BC，连接EQ、CQ，易证△AEQ≌△CDB，得到EQ=BD，推出当C、E、Q三点共线时，BD+CE=EQ+CE最小，最小为CQ，过C作CH⊥AQ，垂足为H，易得∠CBA=45°，BC=42，∠CAH=45°，利用勾股定理求出AC，根据等腰直角三角形的性质可得AH，由HQ=AH+AQ=AH+BC可得HQ，然后利用勾股定理计算即可.