华师大版八年级数学上册同步教学教案--12．2　整式的乘法

3．多项式与多项式相乘

【教学目标】

知识与技能

经历探索多项式乘法法则的过程，理解多项式乘法法则；灵活运用多项式乘以多项式的运算法则．

过程与方法

经历探索乘法法则的过程，发展观察、归纳、猜测、验证的能力；体会乘法分配律的作用与转化思想，发展有条理的思考及语言表达能力．

情感、态度与价值观

充分调动学生学习的积极性、主动性及与他人沟通交往的能力．

【重点难点】

重点

多项式乘法的运算．

难点

探索多项式乘法的法则，注意多项式乘法的运算中“漏项”“负号”的问题．

【教学过程】

一、复习旧知，导入新课

指名学生说出单项式与多项式相乘的法则．(单项式乘以多项式就是用单项式乘以多项式中的每一项，再把所得的积相加．)

式子p(a＋b)＝pa＋pb中的p，可以是单项式，也可以是多项式．如果p＝m＋n，那么p(a＋b)就成了(m＋n)(a＋b)，这就是今天我们所要讲的多项式与多项式相乘的问题．(由此引出课题)

你会计算这个式子吗？你是怎样计算的？

二、师生互动，探究新知

【教师活动】

教师引导学生由繁化简，把(m＋n)看作一个整体，使之转化为单项式乘以多项式，即： [(m＋n)(a＋b)]＝(m＋n)a＋(m＋n)b＝ma＋mb＋na＋nb.

【学生活动】

由教材P28例图你会验证吗？

【教师活动】

问题：(1)如何表示扩大后的林区的面积？

(2)用不同的方法表示出来后的等式为什么是相等的呢？

【学生活动】

学生分组讨论，相互交流得出答案．

【教师活动】

观察这一结果的每一项与原来两个多项式各项之间的关系，能不能由原来的多项式各项之间相乘直接得到？如果能得到，又是怎样相乘得到的？(教师示范)

1．你能用语言叙述这个式子吗？

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

即：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb.

【教师活动】

2．两个多项式相乘，不先计算能知道结果中(合并同类项前)有几项吗？

3．在计算中怎样才能不重不漏？

这个法则，对于三个或三个以上的多项式相乘，是否适用？若适用，应怎样计算？

【学生活动】

学生小组讨论、交流、发言汇报．

三、随堂练习，巩固新知

【例1】

计算：(1)(x＋3)(2x2－4x＋1)；

(2)2(2x＋3y)(3x＋2y)－(6x－y)(2x－5y)．

【答案】

(1)(x＋3)(2x2－4x＋1)＝x·2x2＋x·(－4x)＋x·1＋3×2x2＋3×(－4x)＋3×1＝x3－2x2＋x＋6x2－12x＋3＝x3＋4x2－x＋3.

(2)2(2x＋3y)(3x＋2y)－(6x－y)(2x－5y)＝2(6x2＋4xy＋9xy＋6y2)－(12x2－30xy－2xy＋5y2)＝12x2＋8xy＋18xy＋12y2－12x2＋30xy＋2xy－5y2＝58xy＋7y2.

四、典例精析，拓展新知

甲、乙二人共同计算一道整式乘法：(2x＋a)·(3x＋b)，由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2＋11x－10；由于乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2－9x＋10.

(1)你能知道式子中a、b的值各是多少吗？

(2)请你计算出这道整式乘法的正确结果．

【分析】

甲抄错了a的符号，即甲的计算式为(2x－a)(3x＋b)＝6x2－(3a－2b)x－ab.对比得到的结果可得－(3a－2b)＝11；乙漏抄了第二个多项式中a的系数，即乙的计算式为(2x＋a)(x＋b)＝2x2＋(a＋2b)x＋ab.对比得到的结果可得出a，b的值．

解：　(1)(2x－a)(3x＋b)＝6x2－(3a－2b)x－ab＝6x2＋11x－10.　(2)(2x＋a)(x＋b)＝2x2＋(a＋2b)x＋ab＝2x2－9x＋10.

∴解得

(2)原式＝(2x－5)(3x－2)＝6x2－19x＋10.

五、运用新知，深化理解

若多项式(x2＋mx＋n)(x2－3x＋4)展开后不含x3项和x2项，试求m、n的值．

解：原式＝x4＋mx3＋nx2－3x3－3mx2－3nx＋4x2＋4mx＋4n＝x4＋(m－3)x3＋(n－3m＋4)x2＋(4m－3n)x＋4n，由题意得：

m－3＝0，且n－3m＋4＝0

∴m＝3，n＝5.

【教学说明】

教师提示各项系数对应，即待定系数法．

六、师生互动，课堂小结

这节课你学到了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上教师归纳总结．

指导学生总结本节课的知识点，学习过程的自我评价．主要针对以下方面：

1．多项式×多项式

2．整式的乘法

用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，不要漏项．在没有合并同类项之前，两个多项式相乘展开后的项数应是这两个多项式项数之积．

【教学反思】

本节课推导多项式乘多项式法则时，从单项式乘多项式法则入手，用换元思想直接推导，思维有根基，为防止本节课中最大错误——漏乘现象，教师设置了一个探究关于多项式相乘后(没合并同类项前)的项数问题，很好的避免了这个错误．典例精析中的待定系数法初次接触，注意对学困生进行及时指导．