2023年新高考数学一轮复习考点过关检测37《抛物线》（2份打包，解析版+原卷版）

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考点过关检测37__抛物线一、单项选择题1．[2022·湖南常德一中月考]在平面直角坐标系中，已知点M(2,0)，点B为直线l：x＝－2上的动点，点A在线段MB的垂直平分线上，且AB⊥l，则动点A的轨迹方程是(　　)A．y2＝8x  B．y2＝4xC．x2＝8y  D．x2＝4y2．[2022·福建福州模拟]若抛物线y＝mx2上一点(t,2)到其焦点的距离等于3，则(　　)A．m＝  B．m＝C．m＝2  D．m＝43．[2022·辽宁沈阳模拟]已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，P为C在第一象限上一点，若PF的中点到y轴的距离为3，则直线PF的斜率为(　　)A.  B．2C．2  D．44．已知△ABC的三个顶点都在抛物线T：y2＝2px(p>0)，且C(2，－8)，抛物线T的焦点F为△ABC的重心，则|AF|＋|BF|＝(　　)A．40  B．38C．36  D．345．[2022·湖北襄阳模拟]过抛物线y＝x2的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若l的倾斜角为45°，则线段AB的中点到x轴的距离是(　　)A.    B．2C．4  D．36．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作斜率大于0的直线l交抛物线于A，B两点(A在B的上方)，且l与准线交于点C，若＝4，则＝(　　)A.      B.C．3     D．27．[2022·山东济南模拟]已知抛物线x2＝2py(p>0)，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点(点A在第一象限)．若直线AB的斜率为，点A的纵坐标为，则p的值为(　　)A.    B.C．1   D．28．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点T在C上，且|FT|＝，若点M的坐标为(0,1)，且MF⊥MT，则C的方程为(　　)A．y2＝2x或y2＝8x  B．y2＝x或y2＝8xC．y2＝2x或y2＝4x  D．y2＝x或y2＝4x二、多项选择题9．[2022·江苏海安高级中学月考]下列四个抛物线中，焦点到准线的距离为1的是(　　)A．y2＝2x  B．y2＝4xC．y＝x2＋x  D．x2＝－2y10.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率k＝－，则下列结论正确的是(　　)A．准线方程为x＝－3B．焦点坐标FC．点P的坐标为D．PF的长为311．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且A，B在其准线上的射影分别为A1，B1，则下列结论正确的是(　　)A．若直线l⊥x轴，则|AB|＝2B．x1·x2＝C．y1·y2＝－4D．∠A1FB1＝12．[2022·河北沧州模拟]已知斜率为k的直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，抛物线C的准线上一点M(－1，－1)，满足·＝0，则(　　)A．p＝2B．k＝－2C．|AB|＝D．△MAB的面积为三、填空题13.根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行．如图所示，沿直线y＝－2发出的光线经抛物线y2＝2px(p>0)反射后，与x轴相交于点A(2,0)，则p＝________.14．[2021·新高考Ⅰ卷]已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP，若|FQ|＝6，则C的准线方程为________．15．[2022·广东深圳模拟]设F为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，过F作倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，若|AF|－|BF|＝4，则|AB|＝________.16．[2022·湖北武汉模拟]已知M(a,4)是抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点，点M到抛物线C的焦点F的距离为6，则p＝________；若过点P(4,1)向抛物线C作两条切线，切点分别为A，B，则|AF|·|BF|＝________.四、解答题17．抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l：2x－y＋m＝0与C相交于A，B两点(点A在第一象限)，已知点A到y轴的距离为2，到点F的距离为.(1)求C的方程；(2)求△ABF的面积．           18．已知抛物线的顶点是坐标原点O，焦点F在x轴的正半轴上，Q是抛物线上的点，点Q到焦点F的距离为1，且到y轴的距离是.(1)求抛物线的标准方程；(2)假设直线l通过点M(3,1)，与抛物线相交于A，B两点，且OA⊥OB，求直线l的方程．       考点过关检测37　抛物线1．答案：A解析：由题意|AB|＝|AM|，AB⊥l，所以A点轨迹是以M为焦点，直线l为准线的抛物线，由＝2得p＝4，所以抛物线方程为y2＝8x.2．答案：A解析：因抛物线y＝mx2上一点(t,2)，所以m>0，因此抛物线的准线方程为：y＝－，由抛物线y＝mx2上一点(t,2)到其焦点的距离等于3，故根据抛物线定义得：2＋＝3，解得m＝.3．答案：B解析：∵PF的中点到y轴的距离为3，∴＝3，即＝3，解得xP＝4，代入抛物线方程可得P(4,4)，因为F点的坐标为(2,0)，所以直线PF的斜率为＝2.4．答案：B解析：由题意知(－8)2＝2p×2，解得p＝16，所以F(8,0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由三角形的重心坐标公式得＝8，化简得x1＋x2＝22，根据抛物线的定义，得|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝38.5．答案：D解析：由题意，抛物线为x2＝4y，则F(0,1)，即直线l为y＝x＋1，∴将直线方程代入抛物线整理得：x2－4x－4＝0，令A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝4，故线段AB的中点的横坐标为＝2代入直线l，得：y＝3.∴线段AB的中点到x轴的距离是3.6．答案：A解析：分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为M，N，设|BF|＝x，|AF|＝y，则＝＝，∴＝，∴＝＝，故选A.7．答案：C解析：由题意得，抛物线x2＝2py(p>0)焦点在y轴上，准线方程为y＝－，设A(xA，yA)，则|AF|＝yA＋＝＋，设直线AB的倾斜角为α，则tan α＝，因为α∈[0，π)，所以α＝所以|AF|＝＝＝＝＝3－p，所以3－p＝＋，解得p＝1.8．答案：A解析：设T为(x0，y0)，则＝(x0，y0－1)，又由F，所以＝(，－1)，因为MF⊥MT，所以·＝0，可得x0－y0＋1＝0，由y＝2px0，联立方程组，消去x0，可得y－4y0＋4＝0，所以y0＝2，故T，又由|FT|＝x0＋＝，所以－＝，即p2－5p＋4＝0，解得p＝1或p＝4，所以C的方程为y2＝2x或y2＝8x.9．答案：ACD解析：由题意知，p＝1，故A，D正确，B错误，又y＝x2＋x，化简得(x＋1)2＝2，其图象与x2＝2y形状相同，所以C正确．10．答案：BC解析：由抛物线方程为y2＝6x，∴焦点坐标F，准线方程为x＝－，A错B对；∵直线AF的斜率为－，∴直线AF的方程为y＝－，当x＝－时，y＝3，∴A，∵PA⊥l，A为垂足，∴点P的纵坐标为3，可得点P的坐标为，C对；根据抛物线的定义可知|PF|＝|PA|＝－＝6，D错．11．答案：CD解析：抛物线C的焦点F(1,0)，准线方程x＝－1，显然l不垂直于y轴，设l的方程为x＝my＋1，由得：y2－4my－4＝0，y1，y2是此方程的两根，选项A，直线l⊥x轴，m＝0，y1＝2，y2＝－2，则|AB|＝4，即选项A错误；选项B，y1·y2＝－4，则x1·x2＝·＝＝1，即选项B错误；选项C，y1·y2＝－4，即选项C正确；选项D，如图中，由抛物线的定义知，|AF|＝|A1A|，∴∠AA1F＝∠AFA1，又AA1∥x轴，∴∠AA1F＝∠A1FO，∴∠AFA1＝∠A1FO＝∠AFO，同理可得，∠BFB1＝∠B1FO＝∠BFO，∴∠A1FB1＝∠A1FO＋∠B1FO＝(∠AFO＋∠BFO)＝，即选项D正确．12．答案：ABD解析：由题意知，抛物线C的准线为x＝－1，即＝1，得p＝2，故选项A正确．因为p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x，其焦点为F(1,0)．因为直线l过抛物线的焦点F(1,0)，所以直线l的方程为y＝k(x－1)．因为·＝0，所以M在以AB为直径的圆上．设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组两式相减可得＝＝k.设AB的中点为Q(x0，y0)，则y0＝.因为点Q(x0，y0)在直线l上，所以x0＝＋1，所以点Q是以AB为直径的圆的圆心．由抛物线的定义知，圆Q的半径r＝＝＝＝＋2.因为|QM|2＝2＋2＝r2，所以2＋2＝2，解得k＝－2，故选项B正确．因为k＝－2，所以弦长|AB|＝2r＝2＝2＝5，故选项C不正确．因为k＝－2，所以直线l为y＋2(x－1)＝0，由点到直线的距离公式可得，点M到直线l的距离d＝＝，所以S△MAB＝·d·|AB|＝××5＝，故选项D正确．13．答案：4解析：依题意可知点A(2,0)为该抛物线的焦点，则有＝2，得p＝4.14．答案：x＝－解析：不妨设P，∴Q，＝(6，－p)，因为PQ⊥OP，所以×6－p2＝0，∵p>0，∴p＝3，∴C的准线方程为x＝－.15．答案：8解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1>0，x2>0)，则|AF|－|BF|＝－＝x1－x2＝4，直线AB的方程为y＝，由，得3x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝p，x1x2＝p2，所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝p2＝42，因为p>0，所以p＝3，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝p＝8.16．答案：4　17解析：由抛物线的定义得4＋＝6∴p＝4，易知点P(4,1)不在抛物线上，设切点A(x1，y1)、B(x2，y2)，∵抛物线C的方程为：x2＝8y，∴y＝，∴y′＝，∴抛物线C在A处的切线方程为y－y1＝(x－x1)，将P(4,1)代入可得1－y1＝(4－x1)，4－4y1＝4x1－x，∵x＝8y1，∴x1－y1－1＝0，同理：抛物线C在B处的切线方程为x2－y2－1＝0，∴直线AB的方程为x－y－1＝0，，∴y2－6y＋1＝0，∴y1＋y2＝6，y1·y2＝1，∵|AF|＝y1＋2，|BF|＝y2＋2，∴|AF|·|BF|＝(y1＋2)(y2＋2)＝y1·y2＋2(y1＋y2)＋4＝1＋2×6＋4＝17.17．解析：(1)由题意知，2＋＝，则p＝1，∴抛物线方程为y2＝2x.(2)∵点A在第一象限，∴A(2,2)，把点A的坐标代入l得4－2＋m＝0，∴m＝－2，得l的方程为2x－y－2＝0.设A，B两点的横坐标分别为x1，x2，直线l与抛物线C联立得2x2－5x＋2＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝1.∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝，∴|AB|＝＝.∵点F到直线l的距离为＝，∴△ABF的面积为××＝.18．解析：(1)由已知，可设抛物线的方程为y2＝2px，又Q到焦点F的距离是1，∴点Q到准线的距离是1，又Q到y轴的距离是，∴＝1－，解得p＝，则抛物线方程是y2＝x.(2)假设直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝3，与y2＝x联立可得交点A、B的坐标分别为，，易得·＝，可知直线OA与直线OB不垂直，不满足题意，故假设不成立，∴直线l的斜率存在．设直线l为y－1＝k(x－3)，整理得y＝kx－3k＋1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线l与抛物线的方程得，消去y，并整理得k2x2－x＋9k2－6k＋1＝0，于是x1·x2＝，x1＋x2＝，∴y1·y2＝(kx1－3k＋1)(kx2－3k＋1)＝k2x1x2－k(3k－1)(x1＋x2)＋(3k＋1)2＝，又OA⊥OB，因此·＝0，即x1·x2＋y1·y2＝0，∴＋＝0，解得k＝或k＝2.当k＝时，直线l的方程是y＝x，不满足OA⊥OB，舍去．当k＝2时，直线l的方程是y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0，∴直线l的方程是2x－y－5＝0.