黑龙江省绥化市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题

这是一份黑龙江省绥化市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题，共50页。试卷主要包含了之间的函数图象，如图所示，，连接AD，BC，BD等内容，欢迎下载使用。
黑龙江省绥化市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题
一．一次函数的应用（共1小题）
1．（2021•绥化）小刚和小亮两人沿着直线跑道都从甲地出发，沿着同一方向到达乙地，甲乙两地之间的距离是720米，先到乙地的人原地休息．已知小刚先从甲地出发4秒后，小亮从甲地出发，两人均保持匀速前行第一次相遇后，保持原速跑一段时间，小刚突然加速，速度比原来增加了2米/秒，并保持这一速度跑到乙地（小刚加速过程忽略不计）．小刚与小亮两人的距离S（米）与小亮出发时间t（秒）之间的函数图象，如图所示．根据所给信息解决以下问题．
（1）m＝　 　，n＝　 　；
（2）求CD和EF所在直线的解析式；
（3）直接写出t为何值时，两人相距30米．

二．反比例函数综合题（共2小题）
2．（2022•绥化）在平面直角坐标系中，已知一次函数y1＝k1x+b与坐标轴分别交于A（5，0），B（0，）两点，且与反比例函数y2＝的图象在第一象限内交于P，K两点，连接OP，△OAP的面积为．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式．
（2）当y2＞y1时，求x的取值范围．
（3）若C为线段OA上的一个动点，当PC+KC最小时，求△PKC的面积．

3．（2020•绥化）如图，在矩形OABC中，AB＝2，BC＝4，点D是边AB的中点，反比例函数y1＝（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为y2＝mx+n（m≠0）．
（1）求反比例函数y1＝（x＞0）的解析式和直线DE的解析式；
（2）在y轴上找一点P，使△PDE的周长最小，求出此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，△PDE的周长最小值是 　 　．

三．二次函数综合题（共3小题）
4．（2022•绥化）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交y轴于点A（0，﹣4），并经过点C（6，0），过点A作AB⊥y轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴为直线x＝2，D点的坐标为（4，0），连接AD，BC，BD．点E从A点出发，以每秒个单位长度的速度沿着射线AD运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作EF⊥AB于F，以EF为对角线作正方形EGFH．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点G随着E点运动到达BC上时，求此时m的值和点G的坐标；
（3）在运动的过程中，是否存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由．

5．（2021•绥化）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0），点B（1，0）（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD．直线y＝经过点A，且与y轴交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点N是抛物线上的一点，当△BDN是以DN为腰的等腰三角形时，求点N的坐标；
（3）点F为线段AE上的一点，点G为线段OA上的一点，连接FG，并延长FG与线段BD交于点H（点H在第一象限），当∠EFG＝3∠BAE且HG＝2FG时，求出点F的坐标．

6．（2020•绥化）如图1，抛物线y＝﹣（x+2）2+6与抛物线y1＝﹣x2+tx+t﹣2相交y轴于点C，抛物线y1与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），直线y2＝kx+3交x轴负半轴于点N，交y轴于点M，且OC＝ON．
（1）求抛物线y1的解析式与k的值；
（2）抛物线y1的对称轴交x轴于点D，连接AC，在x轴上方的对称轴上找一点E，使以点A，D，E为顶点的三角形与△AOC相似，求出DE的长；
（3）如图2，过抛物线y1上的动点G作GH⊥x轴于点H，交直线y2＝kx+3于点Q，若点Q'是点Q关于直线MG的对称点，是否存在点G（不与点C重合），使点Q'落在y轴上？若存在，请直接写出点G的横坐标，若不存在，请说明理由．

四．四边形综合题（共2小题）
7．（2021•绥化）如图所示，四边形ABCD为正方形，在△ECH中，∠ECH＝90°，CE＝CH，HE的延长线与CD的延长线交于点F，点D、B、H在同一条直线上．
（1）求证：△CDE≌△CBH；
（2）当时，求的值；
（3）当HB＝3，HG＝4时，求sin∠CFE的值．

8．（2020•绥化）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点G在边BC上，连接AG，作DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，连接BE、DF，设∠EDF＝α，∠EBF＝β，＝k．
（1）求证：AE＝BF；
（2）求证：tanα＝k•tanβ；
（3）若点G从点B沿BC边运动至点C停止，求点E，F所经过的路径与边AB围成的图形的面积．

五．圆的综合题（共2小题）
9．（2022•绥化）如图所示，在⊙O的内接△AMN中，∠MAN＝90°，AM＝2AN，作AB⊥MN于点P，交⊙O于另一点B，C是上的一个动点（不与A，M重合），射线MC交线段BA的延长线于点D，分别连接AC和BC，BC交MN于点E．
（1）求证：△CMA∽△CBD．
（2）若MN＝10，＝，求BC的长．
（3）在点C运动过程中，当tan∠MDB＝时，求的值．

10．（2021•绥化）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若弦MN垂直于AB，垂足为G，，MN＝，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，当∠BAC＝36°时，求线段CE的长．

六．作图—复杂作图（共3小题）
11．（2022•绥化）已知：△ABC．
（1）尺规作图：用直尺和圆规作出△ABC内切圆的圆心O．（只保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）如果△ABC的周长为14cm，内切圆的半径为1.3cm，求△ABC的面积．

12．（2021•绥化）（1）如图，已知△ABC，P为边AB上一点，请用尺规作图的方法在边AC上求作一点E，使AE+EP＝AC．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在图中，如果AC＝6cm，AP＝3cm，则△APE的周长是 　 　cm．

13．（2020•绥化）（1）如图，已知线段AB和点O，利用直尺和圆规作△ABC，使点O是△ABC的内心（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在所画的△ABC中，若∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆半径是　 　．

七．作图-旋转变换（共1小题）
14．（2020•绥化）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，点B，点O均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）．
（1）作点A关于点O的对称点A1；
（2）连接A1B，将线段A1B绕点A1顺时针旋转90°得点B对应点B1，画出旋转后的线段A1B1；
（3）连接AB1，求出四边形ABA1B1的面积．

八．相似三角形的判定与性质（共1小题）
15．（2020•绥化）如图，△ABC内接于⊙O，CD是直径，∠CBG＝∠BAC，CD与AB相交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，过点O作OH⊥AC，垂足为H，连接BD、OA．
（1）求证：直线BG与⊙O相切；
（2）若＝，求的值．

九．作图-位似变换（共1小题）
16．（2021•绥化）如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，O为平面直角坐标系的原点，矩形OABC的4个顶点均在格点上，连接对角线OB．
（1）在平面直角坐标系内，以原点O为位似中心，把△OAB缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与△OAB的相似比等于；
（2）将△OAB以O为旋转中心，逆时针旋转90°，得到△OA1B1，作出△OA1B1，并求出线段OB旋转过程中所形成扇形的周长．

一十．相似形综合题（共1小题）
17．（2022•绥化）我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题．
（1）如图一，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC边上有一点D，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，过点C作CG⊥AB于G．利用面积证明：DE+DF＝CG．
（2）如图二，将矩形ABCD沿着EF折叠，使点A与点C重合，点B落在B'处，点G为折痕EF上一点，过点G作GM⊥FC于M，GN⊥BC于N．若BC＝8，BE＝3，求GM+GN的长．
（3）如图三，在四边形ABCD中，E为线段BC上的一点，EA⊥AB，ED⊥CD，连接BD，且＝，BC＝，CD＝3，BD＝6，求ED+EA的长．


一十一．解直角三角形的应用（共2小题）
18．（2022•绥化）如图所示，为了测量百货大楼CD顶部广告牌ED的高度，在距离百货大楼30m的A处用仪器测得∠DAC＝30°；向百货大楼的方向走10m，到达B处时，测得∠EBC＝48°，仪器高度忽略不计，求广告牌ED的高度．（结果保留小数点后一位）
（参考数据：≈1.732，sin48°≈0.743，cos48°≈0.669，tan48°≈1.111）

19．（2021•绥化）一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为△ABC，点B、C、D在同一条直线上，测得∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝32cm，∠BDE＝75°，其中一段支撑杆CD＝84cm，另一段支撑杆DE＝70cm．求支撑杆上的点E到水平地面的距离EF是多少？（用四舍五入法对结果取整数，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.732）

一十二．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
20．（2020•绥化）如图，热气球位于观测塔P的北偏西50°方向，距离观测塔100km的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于观测塔P的南偏西37°方向的B处，这时，B处距离观测塔P有多远？（结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19．）

一十三．折线统计图（共1小题）
21．（2020•绥化）为了解本校九年级学生体育测试项目“400米跑”的训练情况，体育教师在2019年1﹣5月份期间，每月随机抽取部分学生进行测试，将测试成绩分为：A，B，C，D四个等级，并绘制如图两幅统计图，根据统计图提供的信息解答下列问题：

（1）　 　月份测试的学生人数最少，　 　月份测试的学生中男生、女生人数相等；
（2）求扇形统计图中D等级人数占5月份测试人数的百分比；
（3）若该校2019年5月份九年级在校学生有600名，请你估计出测试成绩是A等级的学生人数．

参考答案与试题解析
一．一次函数的应用（共1小题）
1．（2021•绥化）小刚和小亮两人沿着直线跑道都从甲地出发，沿着同一方向到达乙地，甲乙两地之间的距离是720米，先到乙地的人原地休息．已知小刚先从甲地出发4秒后，小亮从甲地出发，两人均保持匀速前行第一次相遇后，保持原速跑一段时间，小刚突然加速，速度比原来增加了2米/秒，并保持这一速度跑到乙地（小刚加速过程忽略不计）．小刚与小亮两人的距离S（米）与小亮出发时间t（秒）之间的函数图象，如图所示．根据所给信息解决以下问题．
（1）m＝　16　，n＝　　；
（2）求CD和EF所在直线的解析式；
（3）直接写出t为何值时，两人相距30米．

【解答】解：（1）∵小刚原来的速度＝16÷4＝4米/秒，
小亮的速度＝720÷144＝5米/秒，
B点小亮追上小刚，相遇，
∴4m+16＝5m，
解得：m＝16，
∵E点是小刚到达乙地，
∴n＝[]×（6﹣5）＝，
故答案为：16；，
（2）设C点横坐标为t，由题意可得：（t﹣16）×（5﹣4）＝（80﹣t）×（6﹣5），
解得：t＝48，
∵小刚原来的速度＝16÷4＝4米/秒，
小亮的速度＝720÷144＝5米/秒，
∴纵坐标为（5﹣4）×（48﹣16）＝32，
∴C（48，32），
设SCD＝k1t+b1，将C（48，32），D（80，0）代入，
，
解得：，
∴SCD＝﹣t+80（48≤t≤80），
∴E点横坐标为，
E点纵坐标为，
∴E（，），
设SEF＝k2t+b2，将E，F两点坐标代入可得，
，
解得：，
∴SEF＝﹣5t+720（），
（3）∵B（16，0），C（48，32），D（80，0），E（，），F（144，0），
设SBC＝k3t+b3，将B，C两点坐标代入可得，
，
解得：，
∴SBC＝t﹣16（16＜t≤48），
设SDE＝k4t+b4，将D，E两点坐标代入可得，
，
解得：，
∴SDE＝t﹣80（80＜t≤），
当S＝30时，
SBC＝t﹣16＝30，解得t＝46；
SCD＝﹣t+80＝30，解得t＝50；
SDE＝t﹣80＝30，解得t＝110；
SEF＝﹣5t+720＝30，解得t＝138；
综上，t为46，50，110，138时，两人相距30米．
二．反比例函数综合题（共2小题）
2．（2022•绥化）在平面直角坐标系中，已知一次函数y1＝k1x+b与坐标轴分别交于A（5，0），B（0，）两点，且与反比例函数y2＝的图象在第一象限内交于P，K两点，连接OP，△OAP的面积为．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式．
（2）当y2＞y1时，求x的取值范围．
（3）若C为线段OA上的一个动点，当PC+KC最小时，求△PKC的面积．

【解答】解：（1）∵一次函数y1＝k1x+b与坐标轴分别交于A（5，0），B（0，）两点，
∴，解得．
∴一次函数的解析式为：y1＝﹣x+．
∵△OAP的面积为，
∴•OA•yP＝，
∴yP＝，
∵点P在一次函数图象上，
∴令﹣x+＝．解得x＝4，
∴P（4，）．
∵点P在反比例函数y2＝的图象上，
∴k2＝4×＝2．
∴一次函数的解析式为：y1＝﹣x+．反比例函数的解析式为：y2＝．
（2）令﹣x+＝，解得x＝1或x＝4，
∴K（1，2），
由图象可知，当y2＞y1时，x的取值范围为：0＜x＜1或x＞4．
（3）如图，作点P关于x轴的对称点P′，连接KP′，线段KP′与x轴的交点即为点C，

∵P（4，）．
∴P′（4，﹣）．
∴PP′＝1，
∴直线KP′的解析式为：y＝﹣x+．
令y＝0，解得x＝．
∴C（，0）．
∴S△PKC＝•（xC﹣xK）•PP′
＝×（﹣1）×1
＝．
∴当PC+KC最小时，△PKC的面积为．
3．（2020•绥化）如图，在矩形OABC中，AB＝2，BC＝4，点D是边AB的中点，反比例函数y1＝（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为y2＝mx+n（m≠0）．
（1）求反比例函数y1＝（x＞0）的解析式和直线DE的解析式；
（2）在y轴上找一点P，使△PDE的周长最小，求出此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，△PDE的周长最小值是 　+　．

【解答】解：（1）∵点D是边AB的中点，AB＝2，
∴AD＝1，
∵四边形OABC是矩形，BC＝4，
∴D（1，4），
∵反比例函数y1＝（x＞0）的图象经过点D，
∴k＝4，
∴反比例函数的解析式为y1＝（x＞0），
当x＝2时，y＝2，
∴E（2，2），
把D（1，4）和E（2，2）代入y2＝mx+n（m≠0）得，，
∴，
∴直线DE的解析式为y2＝﹣2x+6；
（2）作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于P，连接PD，
此时，△PDE的周长最小，
∵点D的坐标为（1，4），
∴点D′的坐标为（﹣1，4），
设直线D′E的解析式为y＝ax+b，
∴，
解得：，
∴直线D′E的解析式为y＝﹣x+，
令x＝0，得y＝，
∴点P的坐标为（0，）；
（3）∵D（1，4），E（2，2），
∴BE＝2，BD＝1，
∴DE＝＝＝，
由（2）知，D′的坐标为（﹣1，4），
∴BD′＝3，
∴D′E＝＝，
∴△PDE的周长最小值＝DE+D′E＝+，
故答案为：+．

三．二次函数综合题（共3小题）
4．（2022•绥化）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交y轴于点A（0，﹣4），并经过点C（6，0），过点A作AB⊥y轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴为直线x＝2，D点的坐标为（4，0），连接AD，BC，BD．点E从A点出发，以每秒个单位长度的速度沿着射线AD运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作EF⊥AB于F，以EF为对角线作正方形EGFH．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点G随着E点运动到达BC上时，求此时m的值和点G的坐标；
（3）在运动的过程中，是否存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝2，D点的坐标为（4，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），
∴抛物线的解析式为：y＝a（x+2）（x﹣6），
将点A（0，﹣4）解析式可得，﹣12a＝﹣4，
∴a＝．
∴抛物线的解析式为：y＝（x+2）（x﹣6）＝x2﹣x﹣4．
（2）∵AB⊥y轴，A（0，﹣4），
∴点B的坐标为（4，﹣4）．
∵D（4，0），
∴AB＝BD＝4，且∠ABD＝90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，∠BAD＝45°．
∵EF⊥AB，
∴∠AFE＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形．
∵AE＝m，
∴AF＝EF＝m，
∴E（m，﹣4+m），F（m，﹣4）．
∵四边形EGFH是正方形，
∴△EHF是等腰直角三角形，
∴∠HEF＝∠HFE＝45°，
∴FH是∠AFE的角平分线，点H是AE的中点．
∴H（m，﹣4+m），G（m，﹣4+m）．
∵B（4，﹣4），C（6，0），
∴直线BC的解析式为：y＝2x﹣12．
当点G随着E点运动到达BC上时，有2×m﹣12＝﹣4+m．
解得m＝．
∴G（，﹣）．
（3）存在，理由如下：
∵B（4，﹣4），C（6，0），G（m，﹣4+m）．
∴BG2＝（4﹣m）2+（m）2，
BC2＝（4﹣6）2+（﹣4）2＝20，
CG2＝（6﹣m）2+（﹣4+m）2．
若以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，则△BGC是直角三角形，
∴分以下三种情况：
①当点B为直角顶点时，BG2+BC2＝CG2，
∴（4﹣m）2+（m）2+20＝（6﹣m）2+（﹣4+m）2，
解得m＝，
∴G（，﹣）；
②当点C为直角顶点时，BC2+CG2＝BG2，
∴20+（6﹣m）2+（﹣4+m）2＝（4﹣m）2+（m）2，
解得m＝，
∴G（，）；
③当点G为直角顶点时，BG2+CG2＝BC2，
∴（4﹣m）2+（m）2+（6﹣m）2+（﹣4+m）2＝20，
解得m＝或2，
∴G（3，﹣3）或（，）；
综上，存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，点G的坐标为（，﹣）或（，）或（3，﹣3）或（，）．
5．（2021•绥化）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0），点B（1，0）（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD．直线y＝经过点A，且与y轴交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点N是抛物线上的一点，当△BDN是以DN为腰的等腰三角形时，求点N的坐标；
（3）点F为线段AE上的一点，点G为线段OA上的一点，连接FG，并延长FG与线段BD交于点H（点H在第一象限），当∠EFG＝3∠BAE且HG＝2FG时，求出点F的坐标．

【解答】解：（1）将A（﹣5，0），B（1，0）代入抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣4x+5；
（2）∵D（﹣2，9），B（1，0），点N是抛物线上的一点且△BDN是以DN为腰的等腰三角形，
∴此题有两种情形：
①当DN＝DB时，根据抛物线的对称性得：A与N重合，
∴N1（﹣5，0），
②方法一：当DN＝BN时（如图1），N在BD的垂直平分线上，
BD的垂直平分线交BD于I，交x轴于点Q，BD与y轴交点为K，
∵∠KBO+∠OKB＝90°，∠KBO+∠IQB＝90°，
∴∠OKB＝∠IQB，
在Rt△OKB中，sin∠OKB＝，
∴sin∠IQB＝＝，
∵I是BD的中点，BD＝3，
∴BI＝，
∴BQ＝15，
∴Q（﹣14，0），I（，）
设yQI＝kx+b，代入得：
，
解得：，
∴yQI＝，
联立得：，
解得：x＝，
∴yQI＝，
N2（，），N3（，），
方法二：如图2，
过点N作DS⊥NT交NT于点S，
设N（a，﹣a2﹣4a+5），D（﹣2，9），
∵DN＝BN，
∴DS2+SN2＝NT2+TB2，
∴（﹣2﹣a）2+（9+a2+4a﹣5）2＝（﹣a2﹣4a+5）2+（1﹣a）2，
（2+a）2﹣（1﹣a）2＝（a2+4a﹣5）2﹣（9+a2+4a﹣5）2，
（2+a+1﹣a）（2+a﹣1+a）＝（a2+4a﹣5+a2+4a+4）（a2+4a﹣5﹣a2﹣4a﹣4），
解得：a＝，
把a＝代入﹣a2﹣4a+5＝﹣（）2﹣4（）+5＝，
∴N2（，），N3（，），
综上所述，N1（﹣5，0），N2（，），N3（，）；
（3）如图1，在AE上取一点F，作AF的垂直平分线交x轴于点M，连接MF，则AM＝MF，在AO上M点的右侧作FG＝MF，
∴∠FGM＝∠FMG，
∴∠EFG＝∠BAE+∠FGM＝∠BAE+∠FMG＝∠BAE+2∠BAE＝3∠BAE，
移动F点，当HG＝2FG时，点F为所求．
过点F作FP垂直于x轴于点P，过点H作HR垂直于x轴于点R，
∴△FPG∽△HRG，
∴＝＝＝，GR＝2PG，HR＝2PF，
设F（m，﹣﹣），
则OP＝﹣m，PF＝m+，
HR＝2PF＝m+5，
∵AP＝m+5，
∴AP＝2PF，
∵AM＝AP﹣MP＝2PF﹣MP，MF＝AM，
∴在Rt△PMF中，PM2+PF2＝MF2，PM2+PF2＝（2PF﹣MP）2，
∴PM＝PF＝×＝m+，
∴GP＝m+，
∴GR＝2PG＝m+，
∴PR＝3PG＝3PM，
∴AR＝AP+PR＝AP+3PM＝2PF+3×PF＝＝，
∴OR＝，
∴H（，m+5），
∵B（1，0），D（﹣2，9），
∴BD解析式为：yBD＝﹣3x+3，
把H代入上式并解得：m＝﹣，
再把m＝﹣代入y＝﹣x﹣得：y＝﹣，
∴F（﹣，﹣）．


6．（2020•绥化）如图1，抛物线y＝﹣（x+2）2+6与抛物线y1＝﹣x2+tx+t﹣2相交y轴于点C，抛物线y1与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），直线y2＝kx+3交x轴负半轴于点N，交y轴于点M，且OC＝ON．
（1）求抛物线y1的解析式与k的值；
（2）抛物线y1的对称轴交x轴于点D，连接AC，在x轴上方的对称轴上找一点E，使以点A，D，E为顶点的三角形与△AOC相似，求出DE的长；
（3）如图2，过抛物线y1上的动点G作GH⊥x轴于点H，交直线y2＝kx+3于点Q，若点Q'是点Q关于直线MG的对称点，是否存在点G（不与点C重合），使点Q'落在y轴上？若存在，请直接写出点G的横坐标，若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）当x＝0时，得y＝﹣（x+2）2+6＝﹣2+6＝4，
∴C（0，4），
把C（0，4）代入y1＝﹣x2+tx+t﹣2得，t﹣2＝4，
∴t＝6，
∴y1＝﹣x2+3x+4，
∵ON＝OC，
∴N（﹣4，0），
把N（﹣4，0）代入y2＝kx+3中，得﹣4k+3＝0，
解得，k＝；
∴抛物线y1的解析式为y1＝﹣x2+3x+4，k的值为．

（2）连接AE，如图1，

令y1＝0，得y1＝﹣x2+3x+4＝0，
解得，x＝﹣1或4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
∴对称轴为：x＝，
∴D（，0），
∴OA＝1，OC＝4，OD＝，AD＝，
①当△AOC∽△EDA时，
，即，
∴DE＝，
②当△AOC∽△ADE时，
，即，
∴DE＝10，
综上，DE＝或10；

（3）点G的横坐标为或或或．
如图，点Q'是点Q关于直线MG的对称点，且点Q'在y轴上时，由轴对称性质可知，QM＝Q'M，QG＝Q'G，∠Q'MG＝∠QMG，

∵QG⊥x轴，
∴QG∥y轴，
∴∠Q'MG＝∠QGM，
∴∠QMG＝∠QGM，
∴QM＝QG，
∴QM＝Q'M＝QG＝Q'G，
∴四边形QMQ'G为菱形，
∴GQ'∥QM，
作GP⊥y轴于点P，设G（a，﹣a2+3a+4），则Q（a，a+3），
∴PG＝|a|，Q'G＝GQ＝|（a+3）﹣（﹣a2+3a+4）|＝|a2﹣a﹣1|，
∵GQ'∥QN，
∴∠GQ'P＝∠NMO，
在Rt△NMO中，MN＝＝5，
∴sin∠GQ'P＝sin∠NMO＝，
∴．
解得a1＝，a2＝，a3＝，a4＝．
经检验，a1＝，a2＝，a3＝，a4＝都是所列方程的解．
综合以上可得，点G的横坐标为或或或．
四．四边形综合题（共2小题）
7．（2021•绥化）如图所示，四边形ABCD为正方形，在△ECH中，∠ECH＝90°，CE＝CH，HE的延长线与CD的延长线交于点F，点D、B、H在同一条直线上．
（1）求证：△CDE≌△CBH；
（2）当时，求的值；
（3）当HB＝3，HG＝4时，求sin∠CFE的值．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠DCB＝90°，
∵∠ECH＝90°，
∴∠DCB﹣∠BCE＝∠ECH﹣∠BCE，
即∠DCE＝∠BCH，
在△CDE和△CBH中，
，
∴△CDE≌△CBH（SAS）；
（2）解：由（1）得：△CDE≌△CBH，
∴∠CDE＝∠CBH，DE＝BH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CDB＝∠DBC＝45°，
∴∠CDE＝∠CBH＝180°﹣45°＝135°，
∴∠EDH＝135°﹣45°＝90°，
∵BH：DH＝1：5，
∴设BH＝a，则DH＝5a，
∴DE＝BH＝a，
在Rt△HDE中，EH＝＝＝a，
过C作CM⊥EH于M，过D作DN⊥FH于N，如图1所示：
则DN∥CM，
∵△DEH的面积＝DN×EH＝DE×DH，
∴DN×a＝×a×5a，
解得：DN＝a，
∵CE＝CH，∠ECH＝90°，
∴CM＝EH＝a，
∵DN∥CM，
∴△FDN∽△FCM，
∴＝＝＝；
（3）解：过点E作PE∥DH交CF于P，过点E作EQ⊥CF于Q，如图2所示：
∵PE∥DH，
∴∠BHG＝∠PEF，∠FPE＝∠FDH＝135°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠HBG＝∠FDH＝135°，
∴∠HBG＝∠EPF＝135°，
∵∠CDE＝135°，
∴∠EDQ＝45°，∠EPQ＝45°，
∴△PED为等腰直角三角形，
∴DE＝PE，
由（1）得：△CDE≌△CBH，
∴DE＝BH，
∴DE＝BH＝PE＝3，
在△BHG和△PEF中，
，
∴△BHG≌△PEF（ASA），
∴HG＝EF＝4，
∵△PED是等腰直角三角形，
∴PD＝DE＝3，
∵EQ⊥PD，
∴QE＝PD＝，
在Rt△FEQ中，sin∠CFE＝＝＝．


8．（2020•绥化）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点G在边BC上，连接AG，作DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，连接BE、DF，设∠EDF＝α，∠EBF＝β，＝k．
（1）求证：AE＝BF；
（2）求证：tanα＝k•tanβ；
（3）若点G从点B沿BC边运动至点C停止，求点E，F所经过的路径与边AB围成的图形的面积．

【解答】解：（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AED＝∠BFA＝90°，
∴∠ADE+∠DAE＝90°，
∵∠BAF+∠DAE＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AE＝BF；
（2）在Rt△DEF和Rt△EFB中，tanα＝，tanβ＝，
∴．
由①可知∠ADE＝∠BAG，∠AED＝∠GBA＝90°，
∴△AED∽△GBA，
∴，
由①可知，AE＝BF，
∴，
∴，
∵＝k，AB＝BC，
∴＝k，
∴＝k．
∴tanα＝ktanβ．
（3）∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AED＝∠BFA＝90°，
∴当点G从点B沿BC边运动至点C停止时，点E经过的路径是以AD为直径，圆心角为90°的圆弧，
同理可得点F经过的路径，两弧交于正方形的中心点O，如图．

∵AB＝AD＝4，
∴所围成的图形的面积为S＝S△AOB＝×4×4＝4．
五．圆的综合题（共2小题）
9．（2022•绥化）如图所示，在⊙O的内接△AMN中，∠MAN＝90°，AM＝2AN，作AB⊥MN于点P，交⊙O于另一点B，C是上的一个动点（不与A，M重合），射线MC交线段BA的延长线于点D，分别连接AC和BC，BC交MN于点E．
（1）求证：△CMA∽△CBD．
（2）若MN＝10，＝，求BC的长．
（3）在点C运动过程中，当tan∠MDB＝时，求的值．

【解答】（1）证明：连接BM，如图：

∵四边形ABMC是⊙O的内接四边形，
∴∠DCA＝∠ABM，
∵∠MAN＝90°，
∴MN为⊙O的直径，
∵AB⊥MN，
∴＝，
∴∠ABM＝∠BAM，
∴∠DCA＝∠BAM，
∵＝，
∴∠BAM＝∠BCM，
∴∠DCA＝∠BCM，
∴∠DCB＝∠ACM，
∵＝，
∴∠DBC＝∠AMC，
∴△CMA∽△CBD；
（2）解：连接OC，如图：

由AM＝2MN，设AN＝x，则AM＝2x，
∵MN为直径，
∴∠NAM＝90°，
∴x2+（2x）2＝102，
解得x＝2，
∴AN＝2，AM＝4，
∵AB⊥MN，
∴2S△AMN＝AN•AM＝MN•AP，
∴AP＝BP＝＝＝4，
∴PM＝＝8，
∵＝，
∴OC⊥MN，
∵OC＝OM，
∴∠CMO＝45°，
∴△PDM是等腰直角三角形，CM＝OM＝5，
∴PD＝PM＝8，
∴BD＝PD+BP＝12，
由（1）知△CMA∽△CBD，
∴＝，即＝，
∴BC＝3；
（3）解：连接CN交AM于K，连接KE，如图：

∵MN是⊙O直径，
∴∠MCN＝90°＝∠DPM，
∴∠CNM＝90°﹣∠CMP＝∠D，
∵tan∠MDB＝，
∴tan∠CNM＝，
∵AB⊥MN，
∴＝，
∴∠KCE＝∠KME，
∴C、K、E、M四点共圆，
∵∠NCM＝90°，
∴∠KEM＝90°＝∠KEN，
而tan∠CNM＝，
∴＝，
设KE＝3m，则NE＝4m，
∵tan∠KME＝＝＝，
∴EM＝6m，
∴＝＝．
10．（2021•绥化）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若弦MN垂直于AB，垂足为G，，MN＝，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，当∠BAC＝36°时，求线段CE的长．

【解答】（1）证明：如图1，连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ODB＝∠ACB，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：如图2，连接OM，
∵AB⊥MN，且AB为⊙O的直径，MN＝，
∴MG＝MN＝，
设⊙O的半径为r，则OM＝r，AB＝2r，
∵，
∴AG＝AB＝r，
∴OG＝OA﹣AG＝r，
在Rt△OGM中，根据勾股定理得，OG2+MG2＝OM2，
∴（r）2+（）2＝r2，
∴r＝1，
即⊙O的半径为1；

（3）如图3，作∠ABC的平分线交AC于F，
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝72°，
∴∠ABF＝∠CBF＝∠ABC＝36°＝∠BAC，
∴AF＝BF，
设AF＝BF＝x，
在△BCF中，∠CBF＝36°，∠C＝72°，
∴∠BFC＝180°﹣36°﹣72°＝72°＝∠C，
∴BC＝BF＝x，
由（2）知，⊙O的半径为1，
∴AB＝AC＝2，
∴CF＝AC﹣AF＝2﹣x，
∵∠CBF＝∠CAB，
∴∠C＝∠C，
∴△BCF∽△ACB，
∴，
∴，
∴x＝﹣1或x＝﹣﹣1（舍），
∴BC＝﹣1，
连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴CD＝BC＝，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°＝∠ADC，
∵∠C＝∠C，
∴△DEC∽△ADC，
∴，
∴，
∴CE＝．



六．作图—复杂作图（共3小题）
11．（2022•绥化）已知：△ABC．
（1）尺规作图：用直尺和圆规作出△ABC内切圆的圆心O．（只保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）如果△ABC的周长为14cm，内切圆的半径为1.3cm，求△ABC的面积．

【解答】解：（1）如图，点O即为所求；

（2）由题意，△ABC的面积＝×14×1.3＝9.1（cm2）．
12．（2021•绥化）（1）如图，已知△ABC，P为边AB上一点，请用尺规作图的方法在边AC上求作一点E，使AE+EP＝AC．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在图中，如果AC＝6cm，AP＝3cm，则△APE的周长是 　9　cm．

【解答】解：（1）如图，点E即为所求．

（2）∵MN垂直平分线段PC，
∴EP＝EC，
∴△APE的周长＝AP+AE+EP＝AP+AE+EC＝AP+AC＝3+6＝9（cm），
故答案为：9．
13．（2020•绥化）（1）如图，已知线段AB和点O，利用直尺和圆规作△ABC，使点O是△ABC的内心（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在所画的△ABC中，若∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆半径是　2　．

【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求．

（2）设内切圆的半径为r．
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∴•AC•BC＝•r•（AB+AC+BC），
∴r＝＝2，
故答案为2．
七．作图-旋转变换（共1小题）
14．（2020•绥化）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，点B，点O均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）．
（1）作点A关于点O的对称点A1；
（2）连接A1B，将线段A1B绕点A1顺时针旋转90°得点B对应点B1，画出旋转后的线段A1B1；
（3）连接AB1，求出四边形ABA1B1的面积．

【解答】解：（1）如图所示，点A1即为所求；
（2）如图所示，线段A1B1即为所求；

（3）如图，连接BB1，过点A作AE⊥BB1，过点A1作A1F⊥BB1，则
四边形ABA1B1的面积＝+＝×8×2+×8×4＝24．
八．相似三角形的判定与性质（共1小题）
15．（2020•绥化）如图，△ABC内接于⊙O，CD是直径，∠CBG＝∠BAC，CD与AB相交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，过点O作OH⊥AC，垂足为H，连接BD、OA．
（1）求证：直线BG与⊙O相切；
（2）若＝，求的值．

【解答】解：（1）连接OB，如图，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC＝90°，
∴∠D+∠BCD＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠D+∠OBC＝90°，
∵∠D＝∠BAC，∠BAC＝∠CBG，
∴∠CBG+∠OBC＝90°，
即∠OBG＝90°，
∴直线BG与⊙O相切；


（2）∵OA＝OC，OH⊥AC，
∴∠COH＝∠COA，CH＝，
∵∠ABC＝∠AOC，
∴∠EBF＝∠COH，
∵EF⊥BC，OH⊥AC，
∴∠BEF＝∠OHC＝90°，
∴△BEF∽△COH，
∴，
∵＝，OC＝OD，
∴，
∵CH＝AC，
∴，
九．作图-位似变换（共1小题）
16．（2021•绥化）如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，O为平面直角坐标系的原点，矩形OABC的4个顶点均在格点上，连接对角线OB．
（1）在平面直角坐标系内，以原点O为位似中心，把△OAB缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与△OAB的相似比等于；
（2）将△OAB以O为旋转中心，逆时针旋转90°，得到△OA1B1，作出△OA1B1，并求出线段OB旋转过程中所形成扇形的周长．

【解答】解：（1）如图，△OA′B′或△OA″B″即为所求．

（2）如图，△OA1B1即为所求．OB＝＝2，
线段OB旋转过程中所形成扇形的周长＝2×2+＝4+π．
一十．相似形综合题（共1小题）
17．（2022•绥化）我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题．
（1）如图一，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC边上有一点D，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，过点C作CG⊥AB于G．利用面积证明：DE+DF＝CG．
（2）如图二，将矩形ABCD沿着EF折叠，使点A与点C重合，点B落在B'处，点G为折痕EF上一点，过点G作GM⊥FC于M，GN⊥BC于N．若BC＝8，BE＝3，求GM+GN的长．
（3）如图三，在四边形ABCD中，E为线段BC上的一点，EA⊥AB，ED⊥CD，连接BD，且＝，BC＝，CD＝3，BD＝6，求ED+EA的长．


【解答】（1）证明：连接AD，

∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
∴＝，
∵AB＝AC，
∴DE+DF＝CG；
（2）解：∵将矩形ABCD沿着EF折叠，使点A与点C重合，
∴∠AFE＝∠EFC，AE＝CE，
∵AD∥BC，
∴∠AFE＝∠CEF，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
∵BC＝8，BE＝3，
∴CE＝AE＝5，
在Rt△ABE中，由勾股定理得，AB＝4，
∴等腰△CEF中，CE边上的高为4，
由（1）知，GM+GN＝4；
（3）解：延长BA、CD交于G，作BH⊥CD于H，

∵＝，∠BAE＝∠EDC＝90°，
∴△BAE∽△CDE，
∴∠ABE＝∠C，
∴BG＝CG，
∴ED+EA＝BH，
设DH＝x，
由勾股定理得，62﹣x2＝（）2﹣（x+3）2，
解得x＝1，
∴DH＝1，
∴BH＝＝，
∴ED+EA＝．
一十一．解直角三角形的应用（共2小题）
18．（2022•绥化）如图所示，为了测量百货大楼CD顶部广告牌ED的高度，在距离百货大楼30m的A处用仪器测得∠DAC＝30°；向百货大楼的方向走10m，到达B处时，测得∠EBC＝48°，仪器高度忽略不计，求广告牌ED的高度．（结果保留小数点后一位）
（参考数据：≈1.732，sin48°≈0.743，cos48°≈0.669，tan48°≈1.111）

【解答】解：在Rt△ADC中，∠DAC＝30°，AC＝30米，
∴CD＝AC•tan30°＝30×＝10（米），
∵AB＝10米，
∴BC＝AC﹣AB＝20（米），
在Rt△BCE中，∠EBC＝48°，
∴EC＝BC•tan48°≈20×1.111＝22.22（米），
∴DE＝EC﹣DC＝22.22﹣10≈4.9（米），
∴广告牌ED的高度约为4.9米．
19．（2021•绥化）一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为△ABC，点B、C、D在同一条直线上，测得∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝32cm，∠BDE＝75°，其中一段支撑杆CD＝84cm，另一段支撑杆DE＝70cm．求支撑杆上的点E到水平地面的距离EF是多少？（用四舍五入法对结果取整数，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.732）

【解答】解：方法一：如图1，过点D作DM⊥EF于M，过点D作DN⊥BA交BA延长线于N，
在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝32（cm），
∴BC＝AB•cos60°＝32×＝16（cm），
∵DC＝84（cm），
∴BD＝DC+BC＝84+16＝100（cm），
∵∠F＝90°，∠DMF＝90°，
∴DM∥FN，
∴∠MDB＝∠ABC＝60°，
在Rt△BDN中，sin∠DBN＝sin60°＝，
∴DN＝×100＝50（cm），
∵∠F＝90°，∠N＝90°，∠DMF＝90°，
∴四边形MFND是矩形，
∴DN＝MF＝50，
∵∠BDE＝75°，∠MDB＝60°，
∴∠EDM＝∠BDE﹣∠MDB＝75°﹣60°＝15°，
∵DE＝70（cm），
∴ME＝DE•sin∠EDM＝70×sin15°≈18.2（cm），
∴EF＝ME+MF＝50+18.2≈104.8≈105（cm），
答：支撑杆上的点E到水平地面的距离EF大约是105cm．
方法二：如图2，过点D作DH⊥BA交BA延长线于H，过点E作EG⊥HD延长线于G，
在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝32（cm），
∴BC＝AB•cos60°＝32×＝16（cm），
∵DC＝84（cm），
∴BD＝DC+BC＝84+16＝100（cm），
同方法一得，DH＝BD•sin60°＝50（cm），
∵在Rt△BDH中，∠DBH＝60°，
∴∠BDH＝30°，
∵∠BDE＝75°，
∴∠EDG＝180°﹣∠BDH﹣∠BDE＝180°﹣75°﹣30°＝75°，
∴∠DEG＝90°﹣75°＝15°，
∴DG＝DE•sin15°≈18.2（cm），
∴GH＝DG+DH＝18.2+50≈104.8≈105（cm），
∵∠F＝90°，∠H＝90°，∠G＝90°，
∴EF＝GH≈105（cm），
答：支撑杆上的点E到水平地面的距离EF大约是105cm．


一十二．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
20．（2020•绥化）如图，热气球位于观测塔P的北偏西50°方向，距离观测塔100km的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于观测塔P的南偏西37°方向的B处，这时，B处距离观测塔P有多远？（结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19．）

【解答】解：由已知得，∠A＝50°，∠B＝37°，PA＝100，
在Rt△PAC中，∵sinA＝，
∴PC＝PA•sin50°≈77，
在Rt△PBC中，∵sinB＝，
∴PB＝≈128（km），
答：这时，B处距离观测塔P有128km．
一十三．折线统计图（共1小题）
21．（2020•绥化）为了解本校九年级学生体育测试项目“400米跑”的训练情况，体育教师在2019年1﹣5月份期间，每月随机抽取部分学生进行测试，将测试成绩分为：A，B，C，D四个等级，并绘制如图两幅统计图，根据统计图提供的信息解答下列问题：

（1）　1　月份测试的学生人数最少，　4　月份测试的学生中男生、女生人数相等；
（2）求扇形统计图中D等级人数占5月份测试人数的百分比；
（3）若该校2019年5月份九年级在校学生有600名，请你估计出测试成绩是A等级的学生人数．
【解答】解：（1）根据折线统计图给出的数据可得：1月份测试的学生人数最少，4月份测试的学生中男生、女生人数相等；
故答案为：1，4；

（2）D等级人数占5月份测试人数的百分比是：1﹣25%﹣40%﹣＝15%；

（3）根据题意得：
600×25%＝150（名），
答：测试成绩是A等级的学生人数有150名．