云南省三年（2020-2022）年中考数学真题汇编-03选解答

这是一份云南省三年（2020-2022）年中考数学真题汇编-03选解答，共35页。试卷主要包含了先化简，再求值，众志成城抗疫情，全国人民在行动，的横坐标，m＝，，且与x轴交于A、B两点等内容，欢迎下载使用。
云南省三年（2020-2022）年中考物理真题汇编-03选解答
一．实数的运算（共1小题）
1．（2021•云南）计算：（﹣3）2++（﹣1）0﹣2﹣1+×（﹣6）．
二．分式的化简求值（共1小题）
2．（2020•云南）先化简，再求值：÷，其中x＝．
三．分式方程的应用（共2小题）
3．（2021•云南）“30天无理由退货”是营造我省“诚信旅游”良好环境，进一步提升旅游形象的创新举措．机场、车站、出租车、景区、手机短信……，“30天无理由退货”的提示随处可见，它已成为一张云南旅行的“安心卡”，极大地提高了旅游服务的品质．刚刚过去的“五•一”假期，旅游线路、住宿、餐饮、生活服务、购物等旅游消费的供给更加多元，同步的是云南旅游市场强劲复苏．某旅行社今年5月1日租用A、B两种客房一天，供当天使用．下面是有关信息：

请根据上述信息，分别求今年5月1日该旅行社租用的A、B两种客房每间客房的租金．
4．（2020•云南）某地响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展“美化绿色城市”活动，绿化升级改造了总面积为360万平方米的区域．实际施工中，由于采用了新技术，实际平均每年绿化升级改造的面积是原计划平均每年绿化升级改造的面积的2倍，所以比原计划提前4年完成了上述绿化升级改造任务．实际平均每年绿化升级改造的面积是多少万平方米？
四．一次函数的应用（共3小题）
5．（2022•云南）某学校要购买甲、乙两种消毒液，用于预防新型冠状病毒．若购买9桶甲消毒液和6桶乙消毒液，则一共需要615元；若购买8桶甲消毒液和12桶乙消毒液，则一共需要780元．
（1）每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购买甲、乙两种消毒液共30桶，其中购买甲消毒液a桶，且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5桶，又不超过乙消毒液的数量的2倍．怎样购买，才能使总费用W最少？并求出最少费用．
6．（2021•云南）某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案．
方案一：没有底薪，只付销售提成；
方案二：底薪加销售提成．
如图中的射线l1，射线l2分别表示该鲜花销售公司每月按方案一，方案二付给销售人员的工资y1（单位：元）和y2（单位：元）与其当月鲜花销售量x（单位：千克）（x≥0）的函数关系．
（1）分别求y1、y2与x的函数解析式（解析式也称表达式）；
（2）若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过70千克，但其3月份的工资超过2000元．这个公司采用了哪种方案给这名销售人员付3月份的工资？

7．（2020•云南）众志成城抗疫情，全国人民在行动．某公司决定安排大、小货车共20辆，运送260吨物资到A地和B地，支援当地抗击疫情．每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资，这20辆货车恰好装完这批物资．已知这两种货车的运费如下表：
目的地
车型
A地（元/辆）
B地（元/辆）
大货车
900
1000
小货车
500
700
现安排上述装好物资的20辆货车中的10辆前往A地，其余前往B地，设前往A地的大货车有x辆，这20辆货车的总运费为y元．
（1）这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？
（2）求y与x的函数解析式，并直接写出x的取值范围；
（3）若运往A地的物资不少于140吨，求总运费y的最小值．
五．抛物线与x轴的交点（共1小题）
8．（2021•云南）已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点（0，﹣2），当x＜﹣4时，y随x的增大而增大，当x＞﹣4时，y随x的增大而减小．设r是抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴的交点（交点也称公共点）的横坐标，m＝．
（1）求b、c的值；
（2）求证：r4﹣2r2+1＝60r2；
（3）以下结论：m＜1，m＝1，m＞1，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．
六．二次函数综合题（共2小题）
9．（2022•云南）已知抛物线y＝﹣x2﹣x+c经过点（0，2），且与x轴交于A、B两点．设k是抛物线y＝﹣x2﹣x+c与x轴交点的横坐标，M是抛物线y＝﹣x2﹣x+c上的点，常数m＞0，S为△ABM的面积．已知使S＝m成立的点M恰好有三个，设T为这三个点的纵坐标的和．
（1）求c的值；
（2）直接写出T的值；
（3）求的值．
10．（2020•云南）抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）．点P为抛物线y＝x2+bx+c上的一个动点．过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．
（1）求b、c的值；
（2）设点F在抛物线y＝x2+bx+c的对称轴上，当△ACF的周长最小时，直接写出点F的坐标；
（3）在第一象限，是否存在点P，使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍？若存在，求出点P所有的坐标；若不存在，请说明理由．
七．全等三角形的判定与性质（共2小题）
11．（2021•云南）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC＝BD，AC与BD相交于点E．求证：∠DAC＝∠CBD．

12．（2020•云南）如图，已知AD＝BC，BD＝AC．求证：∠ADB＝∠BCA．

八．菱形的判定与性质（共1小题）
13．（2020•云南）如图，四边形ABCD是菱形，点H为对角线AC的中点，点E在AB的延长线上，CE⊥AB，垂足为E，点F在AD的延长线上，CF⊥AD，垂足为F，
（1）若∠BAD＝60°，求证：四边形CEHF是菱形；
（2）若CE＝4，△ACE的面积为16，求菱形ABCD的面积．

九．矩形的判定与性质（共1小题）
14．（2022•云南）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°．
（1）求证：四边形ABDF是矩形；
（2）若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S．

一十．切线的判定与性质（共2小题）
15．（2021•云南）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上异于A、B的点，连接AC、BC，点D在BA的延长线上，且∠DCA＝∠ABC，点E在DC的延长线上，且BE⊥DC．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若＝，BE＝3，求DA的长．

16．（2020•云南）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠DAB．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，cos∠CAB＝，求AB的长．

一十一．圆的综合题（共1小题）
17．（2022•云南）如图，四边形ABCD的外接圆是以BD为直径的⊙O．P是⊙O的劣弧BC上的任意一点．连接PA、PC、PD，延长BC至E，使BD2＝BC•BE．
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若四边形ABCD是正方形，连接AC．当P与C重合时，或当P与B重合时，把转化为正方形ABCD的有关线段长的比，可得＝．当P既不与C重合也不与B重合时，＝是否成立？请证明你的结论．

一十二．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
18．（2021•云南）如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是线段AD、BC上的点，点O是EF与BD的交点．若将△BED沿直线BD折叠，则点E与点F重合．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若ED＝2AE，AB•AD＝3，求EF•BD的值．

一十三．条形统计图（共1小题）
19．（2022•云南）临近端午节，某学校数学兴趣小组到社区参加社会实践活动，帮助有关部门了解某小区居民对去年销量较好的鲜花粽、火腿粽、豆沙粽、蛋黄粽四种粽子的喜爱情况．在对该小区居民进行抽样调查后，根据统计结果绘制如下统计图：

说明：参与本次抽样调查的每一位居民在上述四种粽子中选择且只选择了一种喜爱的粽子．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）若该小区有1820人，估计喜爱火腿粽的有多少人？
一十四．中位数（共1小题）
20．（2021•云南）垃圾的分类回收不仅能够减少环境污染、美化家园，甚至能够变废为宝、节约资源．为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园，某中学组织全校1565名学生参加了“垃圾分类知识竞赛”（满分为100分）．该校数学兴趣小组为了解全校学生竞赛分数情况，采用简单随机抽样的方法（即每名学生的竞赛分数被抽到的可能性相等的抽样方法）抽取部分学生的竞赛分数进行调查分析．
（1）以下三种抽样调查方案：
方案一：从七年级、八年级、九年级中指定部分学生的竞赛分数作为样本；
方案二：从七年级、八年级中随机抽取部分男生的竞赛分数以及在九年级中随机抽取部分女生的竞赛分数作为样本；
方案三：从全校1565名学生的竞赛分数中随机抽取部分学生的竞赛分数作为样本．
其中抽取的样本最具有代表性和广泛性的一种抽样调查方案是 　 　（填写“方案一”、“方案二”或“方案三”）；
（2）该校数学兴趣小组根据简单随机抽样方法获得的样本，绘制出如下统计表（90分及以上为“优秀”，60分及以上为“及格”，学生竞赛分数记为x分）
样本容量
平均分
及格率
优秀率
最高分
最低分
100
83.59
95%
40%
100
52

分数段
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
频数
5
7
18
30
40
结合上述信息解答下列问题：
①样本数据的中位数所在分数段为 　 　；
②全校1565名学生，估计竞赛分数达到“优秀”的学生有 　 　人．
一十五．众数（共1小题）
21．（2020•云南）某公司员工的月工资如下：
员工
经理
副经理
职员A
职员B
职员C
职员D
职员E
职员F
杂工G
月工资/元
7000
4400
2400
2000
1900
1800
1800
1800
1200

经理、职员C、职员D从不同的角度描述了该公司员工的收入情况．
设该公司员工的月工资数据（见上述表格）的平均数、中位数、众数分别为k、m、n，请根据上述信息完成下列问题：
（1）k＝　 　，m＝　 　，n＝　 　；
（2）上月一个员工辞职了，从本月开始，停发该员工工资，若本月该公司剩下的8名员工的月工资不变，但这8名员工的月工资数据（单位：元）的平均数比原9名员工的月工资数据（见上述表格）的平均数减小了．你认为辞职的那名员工可能是　 　．
一十六．列表法与树状图法（共3小题）
22．（2022•云南）某班甲、乙两名同学被推荐到学校艺术节上表演节目，计划用葫芦丝合奏一首乐曲．要合奏的乐曲是用游戏的方式在《月光下的凤尾竹》与《彩云之南》中确定一首．
游戏规则如下，在一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3，4的四个小球（除标号外，其余都相同），甲从口袋中任意摸出1个小球，小球上的数字记为a．在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2的两张卡片（除标号外，其余都相同），乙从口袋里任意摸出1张卡片，卡片上的数字记为b．然后计算这两个数的和，即a+b．若a+b为奇数，则演奏《月光下的凤尾竹》；否则，演奏《彩云之南》．
（1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求（a，b）所有可能出现的结果总数；
（2）你认为这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，哪一首乐曲更可能被选中？
23．（2021•云南）为庆祝中国共产党成立100周年，某市组织该市七、八两个年级学生参加演讲比赛，演讲比赛的主题为“追忆百年历程，凝聚青春力量”．该市一中学经过初选，在七年级选出3名同学，其中2名女生，分别记为x1、x2，1名男生，记为y1；在八年级选出3名同学，其中1名女生，记为x3，2名男生，分别记为y2、y3．现分别从两个年级初选出的同学中，每个年级随机选出一名同学组成代表队参加比赛．
（1）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求所有可能出现的代表队总数；
（2）求选出的代表队中的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率P．
24．（2020•云南）甲、乙两个家庭来到以“生态资源，绿色旅游”为产业的美丽云南，各自随机选择到大理、丽江、西双版纳三个城市中的一个城市旅游．假设这两个家庭选择到哪个城市旅游不受任何因素影响，上述三个城市中的每一个被选到的可能性相同，甲、乙两个家庭选择到上述三个城市中的同一个城市旅游的概率为P．
（1）直接写出甲家庭选择到大理旅游的概率；
（2）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求P的值．

参考答案与试题解析
一．实数的运算（共1小题）
1．（2021•云南）计算：（﹣3）2++（﹣1）0﹣2﹣1+×（﹣6）．
【解答】解：原式＝9++1﹣﹣4
＝6．
二．分式的化简求值（共1小题）
2．（2020•云南）先化简，再求值：÷，其中x＝．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
当x＝时，原式＝2．
三．分式方程的应用（共2小题）
3．（2021•云南）“30天无理由退货”是营造我省“诚信旅游”良好环境，进一步提升旅游形象的创新举措．机场、车站、出租车、景区、手机短信……，“30天无理由退货”的提示随处可见，它已成为一张云南旅行的“安心卡”，极大地提高了旅游服务的品质．刚刚过去的“五•一”假期，旅游线路、住宿、餐饮、生活服务、购物等旅游消费的供给更加多元，同步的是云南旅游市场强劲复苏．某旅行社今年5月1日租用A、B两种客房一天，供当天使用．下面是有关信息：

请根据上述信息，分别求今年5月1日该旅行社租用的A、B两种客房每间客房的租金．
【解答】解：设每间B客房租金为x元，则每间A客房租金为（x+40）元，根据题意可得：
，
解得：x＝160，
经检验：x＝160是原分式方程的解，且符合实际，
160+40＝200元，
∴每间A客房租金为200元，每间B客房租金为160元．
4．（2020•云南）某地响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展“美化绿色城市”活动，绿化升级改造了总面积为360万平方米的区域．实际施工中，由于采用了新技术，实际平均每年绿化升级改造的面积是原计划平均每年绿化升级改造的面积的2倍，所以比原计划提前4年完成了上述绿化升级改造任务．实际平均每年绿化升级改造的面积是多少万平方米？
【解答】解：设原计划每年绿化升级改造的面积是x万平方米，则实际每年绿化升级改造的面积是2x万平方米，根据题意，得：
﹣＝4，
解得：x＝45，
经检验，x＝45是原分式方程的解，
则2x＝2×45＝90．
答：实际平均每年绿化升级改造的面积是90万平方米．
四．一次函数的应用（共3小题）
5．（2022•云南）某学校要购买甲、乙两种消毒液，用于预防新型冠状病毒．若购买9桶甲消毒液和6桶乙消毒液，则一共需要615元；若购买8桶甲消毒液和12桶乙消毒液，则一共需要780元．
（1）每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购买甲、乙两种消毒液共30桶，其中购买甲消毒液a桶，且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5桶，又不超过乙消毒液的数量的2倍．怎样购买，才能使总费用W最少？并求出最少费用．
【解答】解：（1）设每桶甲消毒液价格为x元，每桶乙消毒液的价格为y元，
由题意可得：，
解得，
答：每桶甲消毒液价格为45元，每桶乙消毒液的价格为35元；
（2）由题意可得，
W＝45a+35（30﹣a）＝10a+1050，
∴W随a的增大而增大，
∵甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5桶，又不超过乙消毒液的数量的2倍，
∴，
解得17.5≤a≤20，
∵a为整数，
∴当a＝18时，W取得最小值，此时W＝1230，30﹣a＝12，
答：购买甲消毒液18瓶，乙消毒液12瓶时，才能使总费用W最少，最少费用是1230元．
6．（2021•云南）某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案．
方案一：没有底薪，只付销售提成；
方案二：底薪加销售提成．
如图中的射线l1，射线l2分别表示该鲜花销售公司每月按方案一，方案二付给销售人员的工资y1（单位：元）和y2（单位：元）与其当月鲜花销售量x（单位：千克）（x≥0）的函数关系．
（1）分别求y1、y2与x的函数解析式（解析式也称表达式）；
（2）若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过70千克，但其3月份的工资超过2000元．这个公司采用了哪种方案给这名销售人员付3月份的工资？

【解答】解：（1）设y1＝k1x，
根据题意得40k1＝1200，
解得k1＝30，
∴y1＝30x（x≥0）；
设y2＝k2x+b，
根据题意，得，
解得，
∴y2＝10x+800（x≥0）；
（2）当x＝70时，
y1＝30×70＝2100＞2000；
y2＝10×70+800＝1500＜2000；
∴这个公司采用了方案一给这名销售人员付3月份的工资．
7．（2020•云南）众志成城抗疫情，全国人民在行动．某公司决定安排大、小货车共20辆，运送260吨物资到A地和B地，支援当地抗击疫情．每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资，这20辆货车恰好装完这批物资．已知这两种货车的运费如下表：
目的地
车型
A地（元/辆）
B地（元/辆）
大货车
900
1000
小货车
500
700
现安排上述装好物资的20辆货车中的10辆前往A地，其余前往B地，设前往A地的大货车有x辆，这20辆货车的总运费为y元．
（1）这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？
（2）求y与x的函数解析式，并直接写出x的取值范围；
（3）若运往A地的物资不少于140吨，求总运费y的最小值．
【解答】解：（1）设大货车、小货车各有m与n辆，
由题意可知：，
解得：
答：大货车、小货车各有12与8辆
（2）设到A地的大货车有x辆，
则到A地的小货车有（10﹣x）辆，
到B地的大货车有（12﹣x）辆，
到B地的小货车有（x﹣2）辆，
∴y＝900x+500（10﹣x）+1000（12﹣x）+700（x﹣2）
＝100x+15600，
其中2≤x≤10，x为整数．
（3）运往A地的物资共有[15x+10（10﹣x）]吨，
15x+10（10﹣x）≥140，
解得：x≥8，
∴8≤x≤10，x为整数，
当x＝8时，
y有最小值，此时y＝100×8+15600＝16400元，
答：总运费最小值为16400元．
五．抛物线与x轴的交点（共1小题）
8．（2021•云南）已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点（0，﹣2），当x＜﹣4时，y随x的增大而增大，当x＞﹣4时，y随x的增大而减小．设r是抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴的交点（交点也称公共点）的横坐标，m＝．
（1）求b、c的值；
（2）求证：r4﹣2r2+1＝60r2；
（3）以下结论：m＜1，m＝1，m＞1，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．
【解答】（1）解：∵y＝﹣2x2+bx+c经过点（0，﹣2），当x＜﹣4时，y随x的增大而增大，当x＞﹣4时，y随x的增大而减小，即对称轴为直线x＝﹣4，
∴，解得；
（2）证明：由题意，抛物线的解析式为y＝﹣2x2﹣16x﹣2，
∵r是抛物线y＝﹣2x2﹣16x﹣2与x轴的交点的横坐标，
∴2r2+16r+2＝0，
∴r2+8r+1＝0，
∴r2+1＝﹣8r
∴（r2+1）2＝（﹣8r）2，
∴r4+2r2+1＝64r2，
∴r4﹣2r2+1＝60r2；
（3）m＞1正确，理由如下：
由（2）知：r4﹣2r2+1＝60r2；
∴r4﹣62r2+1＝0，
∴r7﹣62r5+r3＝0，
而m﹣1＝﹣1
＝
＝
＝，
由（2）知：r2+8r+1＝0，
∴8r＝﹣r2﹣1，
∵﹣r2﹣1＜0，
∴8r＜0，即r＜0，
∴r9+60r5﹣1＜0，
∴＞0，
即m﹣1＞0，
∴m＞1．
六．二次函数综合题（共2小题）
9．（2022•云南）已知抛物线y＝﹣x2﹣x+c经过点（0，2），且与x轴交于A、B两点．设k是抛物线y＝﹣x2﹣x+c与x轴交点的横坐标，M是抛物线y＝﹣x2﹣x+c上的点，常数m＞0，S为△ABM的面积．已知使S＝m成立的点M恰好有三个，设T为这三个点的纵坐标的和．
（1）求c的值；
（2）直接写出T的值；
（3）求的值．
【解答】解：（1）把点（0，2）代入抛物线y＝﹣x2﹣x+c中得：c＝2；
（2）由（1）知：y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+）2+，
∴顶点的坐标为（﹣，），
∵使S＝m成立的点M恰好有三个，常数m＞0，S为△ABM的面积，
∴其中一个点M就是抛物线的顶点，
∴T＝﹣×2+＝﹣；
（3）当y＝0时，﹣x2﹣x+2＝0，
x2+x﹣2＝0，
∵k是抛物线y＝﹣x2﹣x+c与x轴交点的横坐标，即x＝k是x2+x﹣2＝0的解，
∴k2+k﹣2＝0，
∴k2＝2﹣k，
∴k4＝（2﹣k）2＝4﹣4k+3k2＝4﹣4k+3（2﹣k）＝10﹣7k，
∵k8+k6+2k4+4k2+16
＝（10﹣7k）2+（2﹣k）（10﹣7k）+2（10﹣7k）+4（2﹣k）+16
＝100﹣140k+147k2+20﹣24k+21k2+20﹣14k+8﹣4k+16
＝164﹣182k+168（2﹣k）
＝500﹣350k，
∴
＝
＝．
10．（2020•云南）抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）．点P为抛物线y＝x2+bx+c上的一个动点．过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．
（1）求b、c的值；
（2）设点F在抛物线y＝x2+bx+c的对称轴上，当△ACF的周长最小时，直接写出点F的坐标；
（3）在第一象限，是否存在点P，使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍？若存在，求出点P所有的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把A、C点的坐标代入抛物线的解析式得，
，
解得，；
（2）直线BC与抛物线的对称轴交于点F，连接AF，如图1，
此时，AF+CF＝BF+CF＝BC的值最小，
∵AC为定值，
∴此时△AFC的周长最小，
由（1）知，b＝﹣2，c＝﹣3，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，
∴对称轴为直线x＝1，
令y＝0，得y＝x2﹣2x﹣3＝0，
解得，x＝﹣1，或x＝3，
∴B（3，0），
∵C（0，﹣3），
设直线BC的解析式为：y＝kx+b（k≠0），得
，
解得，，
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3，
当x＝1时，y＝x﹣3＝﹣2，
∴F（1，﹣2）；

（3）设P（m，m2﹣2m﹣3）（m＞3），过P作PH⊥BC于H，过D作DG⊥BC于G，如图2，
则PH＝5DG，E（m，m﹣3），
∴PE＝m2﹣3m，DE＝m﹣3，
∵∠PHE＝∠DGE＝90°，∠PEH＝∠DEG，
∴△PEH∽△DEG，
∴，
∴，
∵m＝3（舍），或m＝5，
∴点P的坐标为P（5，12）．
故存在点P，使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍，其P点坐标为（5，12）．

七．全等三角形的判定与性质（共2小题）
11．（2021•云南）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC＝BD，AC与BD相交于点E．求证：∠DAC＝∠CBD．

【解答】证明：在△CDA和△DCB中，
，
∴△CDA≌△DCB（SSS），
∴∠DAC＝∠CBD．
12．（2020•云南）如图，已知AD＝BC，BD＝AC．求证：∠ADB＝∠BCA．

【解答】证明：在△ADB和△BCA中，
，
∴△ADB≌△BCA（SSS），
∴∠ADB＝∠BCA．
八．菱形的判定与性质（共1小题）
13．（2020•云南）如图，四边形ABCD是菱形，点H为对角线AC的中点，点E在AB的延长线上，CE⊥AB，垂足为E，点F在AD的延长线上，CF⊥AD，垂足为F，
（1）若∠BAD＝60°，求证：四边形CEHF是菱形；
（2）若CE＝4，△ACE的面积为16，求菱形ABCD的面积．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，
∴∠EAC＝∠FAC＝30°，
又∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE＝CF＝AC，
∵点H为对角线AC的中点，
∴EH＝FH＝AC，
∴CE＝CF＝EH＝FH，
∴四边形CEHF是菱形；
（2）∵CE⊥AB，CE＝4，△ACE的面积为16，
∴AE＝8，
∴AC＝＝4，
连接BD，则BD⊥AC，AH＝AC＝2，
∵点H为对角线AC的中点，
∴D、H、B在同一直线上，
∵∠AHB＝∠AEC＝90°，∠BAH＝∠EAC，
∴△ABH∽△ACE，
∴＝，
∴＝，
∴BH＝，
∴BD＝2BH＝2，
∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝＝20．

九．矩形的判定与性质（共1小题）
14．（2022•云南）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°．
（1）求证：四边形ABDF是矩形；
（2）若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA∥CD，
∴∠BAE＝∠FDE，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△BEA和△FED中，
，
∴△BEA≌△FED（ASA），
∴EF＝EB，
又∵AE＝DE，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∵∠BDF＝90°．
∴四边形ABDF是矩形；
（2）解：由（1）得四边形ABDF是矩形，
∴∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，
∴AF＝＝＝4，
∴S矩形ABDF＝DF•AF＝3×4＝12，BD＝AF＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，
∴S△BCD＝BD•CD＝×4×3＝6，
∴四边形ABCF的面积S＝S矩形ABDF+S△BCD＝12+6＝18，
答：四边形ABCF的面积S为18．
一十．切线的判定与性质（共2小题）
15．（2021•云南）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上异于A、B的点，连接AC、BC，点D在BA的延长线上，且∠DCA＝∠ABC，点E在DC的延长线上，且BE⊥DC．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若＝，BE＝3，求DA的长．

【解答】(1)证明:连接OC,

∵OC＝OB,
∴∠OCB＝∠OBC,
∵∠ABC＝∠DCA,
∴∠OCB＝∠DCA,
又∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB＝90°,
∴∠ACO+∠OCB＝90°,
∴∠DCA+∠ACO＝90°,
即∠DCO＝90°,
∴DC⊥OC,
∵OC是半径,
∴DC是⊙O的切线;
(2)解:∵,且OA＝OB,
设OA＝OB＝2x,OD＝3x,
∴DB＝OD+OB＝5x,
∴,
又∵BE⊥DC,DC⊥OC,
∴OC∥BE,
∴△DCO∽△DEB,
∴,
∵BE＝3,
∴OC＝,
∴2x＝,
∴x＝,
∴AD＝OD﹣OA＝x＝,
即AD的长为．
16．（2020•云南）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠DAB．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，cos∠CAB＝，求AB的长．

【解答】（1）证明：连接OC．
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠CAD＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∵AD⊥DE，
∴OC⊥DE，
∴直线CE是⊙O的切线；
（2）连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝∠ACB，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∴cos∠CAD＝，
∴在Rt△ACD中，AC＝5，
∴在Rt△ABC中，AB＝．

一十一．圆的综合题（共1小题）
17．（2022•云南）如图，四边形ABCD的外接圆是以BD为直径的⊙O．P是⊙O的劣弧BC上的任意一点．连接PA、PC、PD，延长BC至E，使BD2＝BC•BE．
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若四边形ABCD是正方形，连接AC．当P与C重合时，或当P与B重合时，把转化为正方形ABCD的有关线段长的比，可得＝．当P既不与C重合也不与B重合时，＝是否成立？请证明你的结论．

【解答】解：（1）DE与⊙O相切，理由如下：
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∵BD2＝BC•BE，
∴，
∵∠CBD＝∠DBE，
∴△BCD∽△BDE，
∴∠BDE＝∠BCD＝90°，
∵点D在圆上，
∴DE是⊙O的切线，
即：DE与⊙O相切；
（2）如图，

＝仍然成立，理由如下：
作ED⊥PD，交PC的延长线于E，
∴∠EDP＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝AD，∠ADC＝90°，AC⊥BD，
∴∠COD＝∠AOD＝90°，∠ADC＝∠EDP，
∴∠ADC﹣∠PDC＝∠EDP﹣∠PDC，
即：∠ADP＝∠CDE，
∵＝，
∴∠CPD＝，
同理可得：∠APD＝，
∴∠E＝90°﹣∠DPE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠E＝∠EPD，cosE＝＝，
∴DE＝PD，，
∴，
在△PAD和△ECD中，
，
∴△PAD≌△ECD（SAS），
∴PA＝CE，
∴．
一十二．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
18．（2021•云南）如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是线段AD、BC上的点，点O是EF与BD的交点．若将△BED沿直线BD折叠，则点E与点F重合．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若ED＝2AE，AB•AD＝3，求EF•BD的值．

【解答】解：（1）证明：将△BED沿BD折叠，使E，F重合，
∴OE＝OF，EF⊥BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AD∥BC，
∴∠ODE＝∠OBF，
在△OBF和△ODE中，
，
∴△OBF≌△ODE（AAS），
∴OB＝OD，
∵OE＝OF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BFDE是菱形．
（2）如图，∵AB•AD＝3，
∴S△ABD＝AB•AD＝，
∵ED＝2AE，
∴ED＝AD，
∴S△BDE：S△ABD＝2：3，
∴S△BDE＝，
∴菱形BEDF的面积＝EF•BD＝2S△BDE＝2，
∴EF•BD＝4．
一十三．条形统计图（共1小题）
19．（2022•云南）临近端午节，某学校数学兴趣小组到社区参加社会实践活动，帮助有关部门了解某小区居民对去年销量较好的鲜花粽、火腿粽、豆沙粽、蛋黄粽四种粽子的喜爱情况．在对该小区居民进行抽样调查后，根据统计结果绘制如下统计图：

说明：参与本次抽样调查的每一位居民在上述四种粽子中选择且只选择了一种喜爱的粽子．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）若该小区有1820人，估计喜爱火腿粽的有多少人？
【解答】解：（1）抽样调查的总人数：70÷35%＝200（人），
喜欢火腿粽的人数为：200﹣70﹣40﹣30＝60（人），
补全条形统计图如图所示：
（2）根据题意得：1820×＝546（人），
答：喜爱火腿粽的有546人，
故答案为：546．

一十四．中位数（共1小题）
20．（2021•云南）垃圾的分类回收不仅能够减少环境污染、美化家园，甚至能够变废为宝、节约资源．为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园，某中学组织全校1565名学生参加了“垃圾分类知识竞赛”（满分为100分）．该校数学兴趣小组为了解全校学生竞赛分数情况，采用简单随机抽样的方法（即每名学生的竞赛分数被抽到的可能性相等的抽样方法）抽取部分学生的竞赛分数进行调查分析．
（1）以下三种抽样调查方案：
方案一：从七年级、八年级、九年级中指定部分学生的竞赛分数作为样本；
方案二：从七年级、八年级中随机抽取部分男生的竞赛分数以及在九年级中随机抽取部分女生的竞赛分数作为样本；
方案三：从全校1565名学生的竞赛分数中随机抽取部分学生的竞赛分数作为样本．
其中抽取的样本最具有代表性和广泛性的一种抽样调查方案是 　方案三　（填写“方案一”、“方案二”或“方案三”）；
（2）该校数学兴趣小组根据简单随机抽样方法获得的样本，绘制出如下统计表（90分及以上为“优秀”，60分及以上为“及格”，学生竞赛分数记为x分）
样本容量
平均分
及格率
优秀率
最高分
最低分
100
83.59
95%
40%
100
52

分数段
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
频数
5
7
18
30
40
结合上述信息解答下列问题：
①样本数据的中位数所在分数段为 　80≤x＜90　；
②全校1565名学生，估计竞赛分数达到“优秀”的学生有 　626　人．
【解答】解：（1）根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可得，方案三：从全校1565名学生的竞赛分数中随机抽取部分学生的竞赛分数作为样本进行调查分析，是最符合题意的．
故答案为：方案三；
（2）①样本总数为：5+7+18+30+40＝100（人），
成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都在80≤x＜90，因此中位数在80≤x＜90组中；
②由题意得，1565×＝626（人），
故答案为：①80≤x＜90；②626．
一十五．众数（共1小题）
21．（2020•云南）某公司员工的月工资如下：
员工
经理
副经理
职员A
职员B
职员C
职员D
职员E
职员F
杂工G
月工资/元
7000
4400
2400
2000
1900
1800
1800
1800
1200

经理、职员C、职员D从不同的角度描述了该公司员工的收入情况．
设该公司员工的月工资数据（见上述表格）的平均数、中位数、众数分别为k、m、n，请根据上述信息完成下列问题：
（1）k＝　2700　，m＝　1900　，n＝　1800　；
（2）上月一个员工辞职了，从本月开始，停发该员工工资，若本月该公司剩下的8名员工的月工资不变，但这8名员工的月工资数据（单位：元）的平均数比原9名员工的月工资数据（见上述表格）的平均数减小了．你认为辞职的那名员工可能是　经理或副经理　．
【解答】解：（1）平均数k＝（7000+4400+2400+2000+1900+1800×3+1200）÷9＝2700，
9个数据从大到小排列后，第5个数据是1900，所以中位数m＝1900，
1800出现了三次，次数最多，所以众数n＝1800．
故答案为：2700，1900，1800；

（2）由题意可知，辞职的那名员工工资高于2700元，所以辞职的那名员工可能是经理或副经理．
故答案为：经理或副经理．
一十六．列表法与树状图法（共3小题）
22．（2022•云南）某班甲、乙两名同学被推荐到学校艺术节上表演节目，计划用葫芦丝合奏一首乐曲．要合奏的乐曲是用游戏的方式在《月光下的凤尾竹》与《彩云之南》中确定一首．
游戏规则如下，在一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3，4的四个小球（除标号外，其余都相同），甲从口袋中任意摸出1个小球，小球上的数字记为a．在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2的两张卡片（除标号外，其余都相同），乙从口袋里任意摸出1张卡片，卡片上的数字记为b．然后计算这两个数的和，即a+b．若a+b为奇数，则演奏《月光下的凤尾竹》；否则，演奏《彩云之南》．
（1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求（a，b）所有可能出现的结果总数；
（2）你认为这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，哪一首乐曲更可能被选中？
【解答】解：（1）按游戏规则计算两个数的和，列表如下：

从表中可以看出共有8种等可能；
（2）我认为这个游戏公平，理由：
从表中可以看出共有8种等可能，其中和为奇数与和为偶数的等可能性各有4种，
所以P（和为奇数）＝P（和为偶数），
∴这个游戏公平．
23．（2021•云南）为庆祝中国共产党成立100周年，某市组织该市七、八两个年级学生参加演讲比赛，演讲比赛的主题为“追忆百年历程，凝聚青春力量”．该市一中学经过初选，在七年级选出3名同学，其中2名女生，分别记为x1、x2，1名男生，记为y1；在八年级选出3名同学，其中1名女生，记为x3，2名男生，分别记为y2、y3．现分别从两个年级初选出的同学中，每个年级随机选出一名同学组成代表队参加比赛．
（1）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求所有可能出现的代表队总数；
（2）求选出的代表队中的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率P．
【解答】解：（1）树状图如下图所示：

由上可得，出现的代表队一共有9种可能性；
（2）由（1）可知，一共9种可能性，其中一男一女出现有5种，
故选出的代表队中的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率P＝．
24．（2020•云南）甲、乙两个家庭来到以“生态资源，绿色旅游”为产业的美丽云南，各自随机选择到大理、丽江、西双版纳三个城市中的一个城市旅游．假设这两个家庭选择到哪个城市旅游不受任何因素影响，上述三个城市中的每一个被选到的可能性相同，甲、乙两个家庭选择到上述三个城市中的同一个城市旅游的概率为P．
（1）直接写出甲家庭选择到大理旅游的概率；
（2）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求P的值．
【解答】解：（1）甲家庭选择到大理旅游的概率为；

（2）记到大理、丽江、西双版纳三个城市旅游分别为A、B、C，列表得：

A
B
C
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
由表格可知，共有9种等可能性结果，其中甲、乙两个家庭选择到上述三个城市中的同一个城市旅游的有3种结果，
所以甲、乙两个家庭选择到上述三个城市中的同一个城市旅游的概率P＝＝．