知识点12 一元二次方程2018--2

这是一份知识点12 一元二次方程2018--2，共14页。
一、选择题
1. （2018广东省，9，3）关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为
A．m＜ B．m≤ C．m＞ D．m≥
【答案】A
【思路分析】由一元二次方程有两个不等实根可得Δ＞0，进而列不等式求解.
【解题过程】a=1，b=-3，c=m
Δ=b2-4ac=（-3）2-4m＞0
∴m＜
【知识点】一元二次方程根的判别式

2. （2018广西省桂林市，9，3分）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为( )
A． B． C．2或3 D．
【答案】A．
【思路分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则判别式b2－4ac＝0．
【解题过程】解：由题意得，有两个相等的实数根，则该一元二次方程的根的判别式b2－4ac＝（－k）2－4×2×3＝m2 －24＝0，解得k＝，故选A．
【知识点】一元二次方程的应用；根的判别式

3. （湖北省咸宁市，6，3）已知一元二次方程的两个根为且，下列结论正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由根与系数的关系可得x1＋x2＝，，故A、B错误；由x1＋x2＜0，可得，∵，∴，故C错误；∵是一元二次方程的一个根，∴，∴，故D正确
【知识点】一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的解

4. （2018浙江嘉兴，7，3） 欧几里得的《原本》记载．形如的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，，AC＝b，再在斜边AB上截取．则该方程的一个正根是（）

　　　　 A．AC的长　　　 B．AD的长 　　　C．BC的长 　　　　 D．CD的长
【答案】B 【解析】利用配方法解方程x2+ax＝b2，得到，解得：，根据勾股定理知道，BD＝，所以根据图形知道AD＝AB－BD，即AD的长是方程的一个正根，故正确答案为B．
5. （2018湖南娄底，5，3）关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A.有两不相等实数根 B.有两相等实数根
C.无实数根 D.不能确定
【答案】A
【解析】因为，所以原方程有两个不等的实数根，故选A
【知识点】一元二次方程根的情况

6.（2018青海，13，3分）关于一元二次方程x2-2x-1=0根的情况，下列说法正确的是
A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根
【答案】C
【解析】因为△＝，所以原方程有两个不相等的实数根，故选择C．
【知识点】一元二次方程根的判别式

7. （2018山西省，4题，3分） 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2-2x=0 B．x2+4x-1=0 C．2x2-4x+3=0 D．3x2=5x-2
【答案】C
【解析】解：A选项：b2-4ac=4>0所以方程有两个不等的实数根
B选项：b2-4ac=42-4×1×(-1)>0所以方程有两个不等的实数根
C选项：b2-4ac=42-4×2×30所以方程有两个不等的实数根
【知识点】根的判别式

8. （2018广西贵港，6，3分）已知α、β是一元二次方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则α＋β－αβ的值是
A．3 B．1 C．－1 D．－3
【答案】B
【解析】根据根与系数的关系可得，α＋β＝－1，αβ＝－2，所以α＋β－αβ＝（α＋β）－αβ＝－1－（－2）＝1，故选B．

9.（2018贵州铜仁，3，4）关于x的一元二次方程x2 –4x+3=0的解为（ ）
A. x1=-1，x2=3 B. x1=1，x2=-3 C. x1=1，x2=3 D. x1=-1，x2=-3
【答案】C，【解析】方程x2 –4x+3=0左边可因式分解为（x -1）（x -3）=0，∵x -1＝0，x -1＝0，∴这个一元二次方程的两个根分别为x1=1，x2=3．故选C．

10. (2018湖南湘西州，16，4分)若关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有一个解为x＝－1，则另一个解为( )
A．1 B．－3 C．3 D．4
【答案】：C

11. （2018内蒙古包头，9，3分）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为 ( )
A.6 B.5 C.4 D.3
【答案】B
【思路分析】根据方程有两个实数根，得出根的判别式的值大于或等于0列出关于m的不等式，求出不等式的解集得到m的取值范围；找出m范围中的正整数解确定出m的值，经检验即可得到满足题意的m的值.
【解题过程】根据题意得：△＝4－4（m－2）≥0，解得m≤3；
由m为正整数，得m＝1或2或3，
利用求根公式表示出方程的解为，
∵方程的解为整数。
∴3－m为完全平方数，
则m的值为2或3，2+3＝5.故选择B.
【知识点】一元二次方程根的判别式；一元二次方程的解；公式法解一元二次方程

12. （2018上海，2，4分）下列对一元二次方程x2+x-3=0根的恬况的判断，正确的是（   ）
A．有两个不相等的实数根       B．有两个相等的实数根
C．有且只有一个实数根    D．没有实数根
【答案】A，【解析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=13＞0，进而即可得出方程x2+x-3=0有两个不相等的实数根．

13. （2018云南省昆明市，8，4分）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜3 B．m＞3 C．m≤3 D．m≥3
【答案】A．
【思路分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则判别式b2－4ac＞0．
【解题过程】解：由题意得，有两个不相等的实数根，则该一元二次方程的根的判别式b2－4ac＝（－）2－4×1·m＝12－4m＞0，解得m＜3，故选A．
【知识点】一元二次方程的应用；根的判别式


14. （2018·宁夏，4，3）若2－是方程x2－4x＋c＝0的一个根，则c的值是 （ ）
A．1 B．3－ C．1＋ D．2＋
【答案】A．
【解析】解法一：∵2－是方程x2－4x＋c＝0的一个根，
∴(2－)2－4(2－)＋c＝0．
∴c＝1，故选A．
解法二：令方程的另一个根为x2，由韦达定理，得，解得，故选A．
【知识点】一元二次方程的根的定义；一元二次方程的根与系数的关系


15. （2018四川眉山，8，3分）若α，β是一元二次方程3x2＋2x－9＝0的两根，则＋的值是（ ）
A． B．－ C．－ D．
【答案】C，【解析】由根与系数关系可知：，；＋＝ ＝，故本题选C

16.（2018辽宁锦州，3，3分）一元二次方程2x2－x＋1=0根的情况是
A、两个不相等的实数根 B、两个相等的实数根
C、没有实数根 D、无法判断
【答案】C，【解析】：用一元二次方程的根的判别式b2-4ac直接判断.


二、填空题
1. （2018广西省柳州市，16，3分）一元二次方程x2－9＝0的解是________.
【答案】x1＝3、x2＝－3(或±3)
【解析】移项，得：x2＝9；运用直接开平方法，解得：x1＝3、x2＝－3.
【知识点】一元二次方程的解法


2. （2018湖南省怀化市，14，4分）关于的一元二次方程 有两个相等的实数根，则的值是________．
【答案】1
【解析】根据题意，得：，解得：，故答案为：1．
【知识点】根的判别式

3. （2018年江苏省南京市，12，2分）设、是一元二次方程的两个根，且，则 ， ．
【答案】，
【解析】∵x1、x2是一元二次方程x2﹣mx﹣6=0的两个根，且x1+x2=1，∴m=1，∴原方程为x2﹣x﹣6=0，即（x+2）（x﹣3）=0，解得：x1=﹣2，x2=3．故答案为：﹣2；3．
【知识点】一元二次方程根与系数的关系

4. （2018贵州省毕节市，18，3分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是___________.
【答案】m＜．
【思路分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则判别式b2－4ac＞0．
【解题过程】解：由题意得，有两个不相等的实数根，则该一元二次方程的根的判别式b2－4ac＝（－1）2－4×1（m－1）＝1－4m＋4＝5－4m＞0，解得m＜．
【知识点】一元二次方程的应用；根的判别式

5. （2018吉林省，10, 2分）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为　﹣1　．
【答案】B
【解析】方程有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m的不等式，所以=0，即2²-4×1×（-m）=0，解得m=-1.
【知识点】根的判别式

6.（2018江苏扬州，12，3）若是方程的一个根，则的值为 ．
【答案】2018
【思路分析】根据一元二次方程的解的定义，得到与m有关的关系式，再转化所求式，整体代入即可求出答案．
【解题过程】由题意可知：2m2﹣3m﹣1=0，∴2m2﹣3m=1，∴原式=3（2m2﹣3m）+2015=2018，故答案为2018．
【知识点】一元二次方程，代数式的值

7. （2018江苏扬州，16，3）关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 ．
【答案】且
【思路分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得△=4﹣12m＞0且m≠0，求出m的取值范围即可．
【解题过程】∵一元二次方程mx2﹣2x+3=0有两个不相等的实数根，∴△＞0且m≠0，∴4﹣12m＞0且m≠0，
∴m＜且m≠0，故答案为m＜且m≠0．
【知识点】一元二次方程的定义以及根的判别式

8. （2018江苏苏州，13，3分）若关于x的一元二次方程x2＋mx＋2n＝0有一个根是2，则m＋n ＝ ．
【答案】－2
【解析】 本题解答时要把方程的解代入方程进行计算.把x=2代入方程有：4+2m+2n=0，∴m+n=-2.

9.（2018山东莱芜，14，3分）己知x1，x2是方程2x2－3x－1=0的两根，则x12＋x22=_______．
【答案】
【解析】由根与系数的关系，得x1＋x2＝， x1x2＝－，∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝()2－2×(－)＝．故答案为．
【知识点】一元二次方程根与系数的关系

10. ．(2018湖南邵阳，13，3分) 已知关于x的方程x2＋3x－m＝0的一个解为－3，则它的另一个解是____．
【答案】x＝0，【解析】根据韦达定理，x1＋x2＝－可得，－3＋ x2＝－＝－3解得x2＝0．所以另一个解是x＝0．

11. （2018·宁夏，13，3）关于x的方程2x2－3x＋c＝0有两个不相等的实数根，则c的取值范围是______________．
【答案】c＜．
【解析】∵方程2x2－3x＋c＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝(－3)2－4×2×c＞0．
∴c＜．
【知识点】一元二次方程的根的判别式

12. （2018云南曲靖，12，3分）关于x的方程有实数根，那么负整数a＝___________（一个即可）
【答案】－2或－1
【解析】关于x的方程有实数根，那么△＝≥0，解得a≥－2，由于a是负整数，因此可以取－2或－1.


三、解答题
1. (2018甘肃省兰州市,18,5分) 解方程:.
【思路分析】根据配方法或求根公式法求解｡
【解题过程】
解法一:移项,得3x2-2x=2,
配方,得3(x-)2=, (3分)
解得x1=,x2= . (5分)
解法二:因为a=3,b=-2,c=-2,所以△=(-2)2-4×3×(-2)=4+24=28｡
所以x=,所以x1=,x2=｡
【知识点】一元二次方程解法

2. （2018黑龙江省齐齐哈尔市，题号19，分值5）解方程：
【思路分析】先移项将等号右边为0，再利用因式分解法解方程即可得到答案.
【解题过程】解：


X=3或x=
【知识点】因式分解法解一元二次方程.

3. （2018湖北省江汉油田潜江天门仙桃市，20，7分）已知关于x的一元二次方程0．
（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且21，求m的值．
【思路分析】（1）方程有两个实数根，说明判别式大于等于0；（2）利用根与系数关系可求出x12－x22与m的关系．
【解题过程】解：（1）Δ＝（2m＋1）2－4（m2－2）＝4m＋9≥0．
解得m≥－94．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　2分
∴m的最小整数值为－2． 　　　　　　　　　　　　　　　　 　3分
（2）∵x1＋x2＝－（2m＋1），x1x2＝m2－2， 　　　　　　　　　　　　　　　　 4分
∴（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4 x1x2＝（2m＋1）2－4（m2－2）＝4m＋9．
∴4m＋9＋m2＝21．
解得m1＝－6，m2＝2． 　　　　　　　　　　　　　　　　 　 6分
∵m≥－94时，方程有两个实数根，
∴m＝2．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　 7分
【知识点】一元二次方程的根的情况，根与系数关系

4. （2018•徐州，20①，5）解方程：；
【解答过程】解：把方程左边因式分解得：（2x＋1）(x－1)＝0，
∴x1＝，x2＝1．
5. (2018湖北黄石，20，8分)已知关于x的方程x2－2x＋m＝0有两个不相等的实数根x1、x2.
(1)求实数m的取值范围；
(2)若x1－x2＝2，求实数m的值．
【思路分析】(1)根据一元二次方程的根的判别式得出关于m的不等式，解不等式即可得到关于m的取值范围；(2)根据一元二次方程的根与系数之间的关系，得到两根之和与之积的表达式，将已知等式两边平方，变形，整体代入，即可得到关于m的方程，解此方程即可.
【解答过程】(1)由题设可知：△＝4－4m＞0，解得：m＜1.
∴m的取值范围是：m＜1.
(2)由一元二次方程根与系数的关系可知：x1＋x2＝2，x1·x2＝m.
又∵x1－x2＝2，
∴(x1－x2)2＝4，则(x1＋x2)2－4x1x2＝4，
∴4－4m＝4，解得：m＝0.


6.（2018湖北随州18，3分）（本题满分7分）
已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋3)x＋k2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若＋＝－1，求k的值．
【思路分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根△＞0，△＝b2－4ac，得到关于k的一元一次不等式，解之即可．（2）先根据一元二次方程的根与系数的关系，得到x1＋x2＝－(2k＋3)，x1·x2＝k2，再由＋＝－1得到＝－1，然后整体代入得分式方程，解之求得k值，最后根据（1）中k的取值范围确定k的值．
【解答过程】（1）由题意得△＝(2k＋3)2－4k2＞0，解得k＞－．
（2）∵x1＋x2＝－(2k＋3)，x1x2＝k2，
∴＋＝＝＝－1．
∴k2－2k－3＝0，解得k1＝3，k2＝－1．
经检验k1＝3，k2＝－1都是原分式方程的根．
由（1）得k＞－，
∴k＝3．

7. （2018年浙江省义乌市，17（2），4）解方程：
【思路分析】本题可用两种方法解这个一元二次方程，将－1移到等号右边，再配方求解，或套求根公式求解
【解题过程】配方法：移项，得x2－2x＝1，配方，得x2－2x+1＝1+1，即(x－1)2＝2，开方，得x－1＝±，即x1＝1+，x2＝1－.
公式法：a=1，b=﹣2，c=﹣1，△=b2﹣4ac=4+4=8＞0，方程有两个不相等的实数根，
x=，即x1＝1+，x2＝1－.
【知识点】一元二次方程的解法


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