福建省泉州市南安市2021-2022学年八年级下学期期末综合监测数学试题(word版含答案)

这是一份福建省泉州市南安市2021-2022学年八年级下学期期末综合监测数学试题(word版含答案)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
南安市2022年春季初中学业质量绿色指标综合评价监测
初二数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）下列代数式中，是分式的是（　　）
A． B．﹣ C． D．
2．（4分）中国自主研发的第一台7纳米刻蚀机，是芯片制造和微观加工最核心的设备之一.7纳米等于0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（　　）
A．0.7×10﹣8 B．0.7×10﹣9 C．7×10﹣8 D．7×10﹣9
3．（4分）若分式的值为0，则x的值为（　　）
A．±3 B．0 C．﹣3 D．3
4．（4分）我市6月的某一周每天的最高气温（单位：℃）统计如下：30，27，26，25，26，28，29，则这组数据的中位数与众数分别是（　　）
A．25，26 B．27，26 C．26，25 D．26，26
5．（4分）一次函数y＝﹣2x+1的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（4分）如图，▱ABCD的周长为20，△BOC的周长比△AOB的周长多2，则BC的长为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
7．（4分）已知数据a、b、c、d的方差是2，则数据a+3、b+3、c+3、d+3的方差是（　　）
A．2 B．3 C．6 D．9
8．（4分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，DE∥AC，EF∥AB，下列四个判断中，正确的个数有（　　）
①四边形ADEF是平行四边形
②如果∠BAC＝90°，那么四边形ADEF是矩形
③如果AE平分∠BAC，那么四边形ADEF是菱形
④如果AE⊥BC，且AB＝AC，那么四边形ADEF是正方形

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（4分）规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.5]＝1，[4]＝4，[﹣1.2]＝﹣2．那么函数y＝x﹣[x]的图象为（　　）
A．
B．
C．
D．
10．（4分）如图，△ABO中，点B在第一象限，且BO＝BA，∠OBA＝90°，反比例函数图象经过点B，反比例函数图象经过点A，且点B的纵坐标为2，则k的值为（　　）

A．1 B． C． D．2
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）计算：2022﹣1＝　 　．
12．（4分）如果点A（﹣3，a）和点B（b，2）关于y轴对称，则a+b的值是 　 　．
13．（4分）点A（a﹣2，2a﹣1）在第二象限，则a的取值范围是 　 　．
14．（4分）小丽计算数据方差时，使用公式，则公式中＝　 　．
15．（4分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠D＝2∠B，若AD＝3，AB＝5，则CD＝　 　．

16．（4分）甲、乙两名同学参加户外拓展活动，过程如下：甲、乙分别从直线赛道A、B两端同时出发，匀速相向而行．相遇时，甲将出发时在A地抽取的任务单递给乙后继续向B地前行，乙就原地执行任务，用时14分钟，再继续向A地前行，此时甲尚未到达B地．当甲和乙分别到达B地和A地后立即以原路原速返回并交换角色，即由乙在A地抽取任务单，与甲相遇时交给甲，由甲原地执行任务，乙继续向B地前行．抽取和递交任务单的时间忽略不计．甲、乙两名同学之间的距离y（米）与运动时间x（分）之间的关系如图所示．已知甲的速度为每分钟60米，且甲的速度小于乙的速度，现给出以下结论：
①AB两地距离1680米；
②出发10分钟，甲乙两人第一次相遇；
③乙的速度为每分钟100米；
④甲在出发后第44分钟时开始执行任务．
其中正确的是 　 　．（写出所有正确结论的序号）

三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（8分）先化简，再求值：，其中x＝3．
18．（8分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF．
求证：BE＝DF．

19．（8分）因现在学生人数逐年增加，我市某校欲招聘一名编外数学教师，现有甲、乙、丙三位老师通过专业知识、授课、答辩三项测试．他们各自的成绩（单位：分）如下表所示，按照招聘简章要求，对专业知识、授课、答辩三项赋权4：5：1，请计算三名应聘者的综合成绩，从综合成绩看，应该聘用谁？
应聘者
专业知识
授课
答辩
甲
80
85
90
乙
85
90
80
丙
90
80
85
20．（8分）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF是菱形．

21．（8分）求证：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
（要求：先画出图形并写出已知、求证，再写出证明过程）
22．（10分）如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点B在反比例函数（x＞0）的图象上，且BC＝2．将矩形OABC以点A为旋转中心，顺时针旋转90°后得到矩形FADE，函数的图象刚好经过EF的中点N，交DE于点M．
（1）求该反比例函数关系式；
（2）求△OBM的面积．

23．（10分）甲、乙两人分别加工A、B两种型号的零件，已知甲加工A型零件45个所用时间和乙加工B型零件60个所用时间相同，两人每天共可加工70个零件．
（1）求甲、乙每天各加工多少个零件；
（2）根据市场预测估计，加工一件B型零件可获利m元（4≤m≤8），加工一件A型零件的利润比加工一件B型零件的利润多1元．求每天甲、乙加工的零件所获得的总利润W（元）与m的函数关系式，并求W的最大值、最小值．
24．（13分）已知，矩形ABCD对角线AC，BD相交于O，点E为BC边上的动点，连结OE．
（1）如图1，若AC＝2AB，OE＝BE，求证：OE⊥AC；
（2）如图2，若点M为OD的中点，当线段OE最小时，连结ME交AC于点N．
①求证：ME＝2EN．
②连结AM，若AM＝EM，AC＝a，求矩形ABCD的面积（用含a的式子表示）．


25．（13分）如图，在平面直角坐标系中，有两条平行线L1：y＝kx+4和L2：y＝kx+b，直线L1上有一点M（4，6），且与y轴交于点A，过点M作MN⊥x轴于点N，直线L2交x轴于点B（在线段ON上），交y轴于点H，交MN于点C．
（1）求k的值；
（2）平移直线L2：y＝kx+b，当点B恰好经过ON的中点时，过点C作CD∥AB交AM于点D，求证：四边形ABCD为矩形；
（3）如果将直线L1：y＝kx+4向下平移n个单位长度后，交y轴于点F，交MN于点G，过C作CE∥BF交FG于点E，当四边形BCEF为正方形时，求n的值．


南安市2022年春季初中学业质量绿色指标综合评价监测
初二数学试题
（参考答案与试题解析）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）下列代数式中，是分式的是（　　）
A． B．﹣ C． D．
【考点】分式的定义．版权所有
【分析】根据分式的定义解答即可．分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
【解答】解：A、是整式，故此选项不符合题意；
B、是分式，故此选项符合题意；
C、是整式，故此选项不符合题意；
D、是整式，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．
2．（4分）中国自主研发的第一台7纳米刻蚀机，是芯片制造和微观加工最核心的设备之一.7纳米等于0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（　　）
A．0.7×10﹣8 B．0.7×10﹣9 C．7×10﹣8 D．7×10﹣9
【考点】科学记数法—表示较小的数．版权所有
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000007＝7×10﹣9．
故选：D．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（4分）若分式的值为0，则x的值为（　　）
A．±3 B．0 C．﹣3 D．3
【考点】分式的值为零的条件．版权所有
【分析】要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0．
【解答】解：由题意得，
解得x＝3．
故选：D．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
4．（4分）我市6月的某一周每天的最高气温（单位：℃）统计如下：30，27，26，25，26，28，29，则这组数据的中位数与众数分别是（　　）
A．25，26 B．27，26 C．26，25 D．26，26
【考点】众数；中位数．版权所有
【分析】将这组数据从小到大重新排列，再根据中位数和众数的概念求解即可．
【解答】解：将这组数据重新排列为25，26，26，27，28，29，30，
所以这组数据的中位数为27℃，众数为26℃，
故选：B．
【点评】本题主要考查中位数、众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
5．（4分）一次函数y＝﹣2x+1的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】一次函数图象与系数的关系．版权所有
【分析】先根据一次函数y＝﹣2x+1中k＝﹣2，b＝1判断出函数图象经过的象限，进而可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+1中k＝﹣2＜0，b＝1＞0，
∴此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＞0时，函数图象经过一、二、四象限．
6．（4分）如图，▱ABCD的周长为20，△BOC的周长比△AOB的周长多2，则BC的长为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】平行四边形的性质．版权所有
【分析】由“△BOC的周长比△AOB的周长多2”及平行四边形性质知，BC比AB长2，即可求得BC的长．
【解答】解：由平行四边形的性质知：AO＝OC，
∵△BOC的周长＝BC+OB+OC，
△AOB的周长＝AB+OA+OB，
又∵△BOC的周长比△AOB的周长多2，
∴BC﹣AB＝2，即AB＝BC﹣2，
又∵2AB+2BC＝20，即AB+BC＝10，
∴BC＝6，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
7．（4分）已知数据a、b、c、d的方差是2，则数据a+3、b+3、c+3、d+3的方差是（　　）
A．2 B．3 C．6 D．9
【考点】方差．版权所有
【分析】将原数据分别加上同一个数时，数据的波动程度没有改变，据此求解可得．
【解答】解：∵数据a、b、c、d的方差为2，
∴数据a+3、b+3、c+3、d+3的方差是2，
故选：A．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
8．（4分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，DE∥AC，EF∥AB，下列四个判断中，正确的个数有（　　）
①四边形ADEF是平行四边形
②如果∠BAC＝90°，那么四边形ADEF是矩形
③如果AE平分∠BAC，那么四边形ADEF是菱形
④如果AE⊥BC，且AB＝AC，那么四边形ADEF是正方形

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】正方形的判定；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质．版权所有
【分析】根据平行四边形的判定与性质，矩形的判定，菱形的判定及正方形的判定可得出答案．
【解答】解：①∵DE∥AC，EF∥AB，
∴四边形ADEF是平行四边形．
故①正确．
②∵∠BAC＝90°，四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF是矩形．
故②正确．
③∵EF∥AB，
∴∠DAB＝∠AEF，
∵AE平分∠BAC，
∴∠DAB＝∠EAF，
∴∠AEF＝∠EAF，
∴AF＝FE，
又∵四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF是菱形．
故③正确．
④如果AE⊥BC，且AB＝AC不能判定四边形ADEF是正方形，
故④错误．
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，正方形的判定定理等知识点，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
9．（4分）规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.5]＝1，[4]＝4，[﹣1.2]＝﹣2．那么函数y＝x﹣[x]的图象为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】函数的图象．版权所有
【分析】[x]还可理解为取小，分当x≥0、x＜0，代入相应的点依次求解即可．
【解答】解：方法一：[x]还可理解为取小，
1、x﹣[x]≥0，所以y≥0；
2、当x为整数时，x﹣[x]＝0，此时y＝0；
3、y＝x﹣[x]的图象为y＝x（0≤x≤1）的图象向左或向右平移[x]个单位（根据[x]的±，左加右减）；
基于以上结论，可得：
（1）当x≥0时，
当x＝0时，y＝0﹣0＝0，
x＝1时，y＝1﹣1＝0，
当x＝1.2时，y＝1.2﹣1＝0.2；
x＝1.5时，y＝1.5﹣1＝0.5，即x在两个整数之间时，y为一次函数；
当x＝2时，y＝2﹣2＝0，
符合条件的为A、D；
（2）当x＜0时，
当x＝﹣1时，y＝﹣1+1＝0，
x＝﹣1.2时，y＝﹣1.2+2＝0.8，
x＝﹣2时，y＝﹣2+2＝0，
在A、D中符合条件的为D，
故选：D．
方法二：
当﹣1≤x＜0，[x]＝﹣1，y＝x+1，
当0≤x＜1时，[x]＝0，y＝x，
当1≤x＜2时，[x]＝1，y＝x﹣1，
以此类推，
故选：D．
【点评】本题考查由图象理解对应函数关系及其实际意义，解题关键是应把所有可能出现的情况考虑清楚，本题属于中等题型．
10．（4分）如图，△ABO中，点B在第一象限，且BO＝BA，∠OBA＝90°，反比例函数图象经过点B，反比例函数图象经过点A，且点B的纵坐标为2，则k的值为（　　）

A．1 B． C． D．2
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形．版权所有
【分析】作BE⊥y轴于E，AF⊥x轴于F，则直线BE与直线AF交于点D，由反比例函数图象经过点B，点B的纵坐标为2，得到点B（k，2），则BE＝k，OE＝2，利用AAS证得△ABD≌△BOE，即可证得BE＝AD＝k，OE＝BD＝2，得到点A的坐标，代入即可求得k的值．
【解答】解：如图，作BE⊥y轴于E，AF⊥x轴于F，则直线BE与直线AF交于点D，
∵反比例函数图象经过点B，点B的纵坐标为2，
∴点B（k，2），
∴BE＝k，OE＝2，
∵∠OBA＝90°，
∴∠OBE+∠ABD＝90°，
∵∠OBE+∠BOE＝90°，
∴∠ABD＝∠BOE，
在△ABD和△BOE中

∴△ABD≌△BOE（AAS），
∴BE＝AD＝k，OE＝BD＝2，
∴DE＝k+2，AF＝2﹣k
∴A（2+k，2﹣k），
∵反比例函数图象经过点A，
∴3k2＝（2+k）（2﹣k），
解得k＝±1，
∵反比例函数图象在第一象限，
∴2k＞0，
∴k＝1，
故选：A．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形全等的判定和性质，求得A的坐标是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）计算：2022﹣1＝　　．
【考点】负整数指数幂．版权所有
【分析】根据a﹣p＝（a≠0）即可得出答案．
【解答】解：2022﹣1＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了负整数指数幂，掌握a﹣p＝（a≠0）是解题的关键．
12．（4分）如果点A（﹣3，a）和点B（b，2）关于y轴对称，则a+b的值是 　5　．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．版权所有
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征，可求出a＝2，b＝3，然后进行计算即可解答．
【解答】解：∵点A（﹣3，a）和点B（b，2）关于y轴对称，
∴a＝2，b＝3，
∴a+b＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了关于x轴，y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于x轴，y轴对称的点的坐标特征是解题的关键．
13．（4分）点A（a﹣2，2a﹣1）在第二象限，则a的取值范围是 　a＜2　．
【考点】解一元一次不等式组；点的坐标．版权所有
【分析】根据点所在的象限得出不等式组，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：∵点A（a﹣2，2a﹣1）在第二象限，
∴，
解得：a＜2，
故答案为：a＜2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和点的坐标，能根据点的坐标得出不等式组是解此题的关键．
14．（4分）小丽计算数据方差时，使用公式，则公式中＝　8　．
【考点】方差；算术平均数．版权所有
【分析】利用方差公式得到原数据为6，7，8，9，10，然后计算这组数据的平均数即可．
【解答】解：根据题意得原数据为6，7，8，9，10，
所以＝×（6+7+8+9+10）＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．通常用s2来表示，计算公式是：s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]．
15．（4分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠D＝2∠B，若AD＝3，AB＝5，则CD＝　2　．

【考点】平行四边形的判定与性质；等腰三角形的性质．版权所有
【分析】首先过点C作CE∥AD交AB于点E，可得四边形ADCE是平行四边形，继而可证得△BCE是等腰三角形，则可求得答案．
【解答】解：过点C作CE∥AD交AB于点E，
∵AB∥CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴AE＝CD，CE＝AD＝3，∠CED＝∠D＝2∠B，
∵∠CED＝∠B+∠BCE，
∴∠B＝∠BCE，
∴BE＝CE＝3，
∴AE＝AB﹣BE＝5﹣3＝2．
故答案为：2．

【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
16．（4分）甲、乙两名同学参加户外拓展活动，过程如下：甲、乙分别从直线赛道A、B两端同时出发，匀速相向而行．相遇时，甲将出发时在A地抽取的任务单递给乙后继续向B地前行，乙就原地执行任务，用时14分钟，再继续向A地前行，此时甲尚未到达B地．当甲和乙分别到达B地和A地后立即以原路原速返回并交换角色，即由乙在A地抽取任务单，与甲相遇时交给甲，由甲原地执行任务，乙继续向B地前行．抽取和递交任务单的时间忽略不计．甲、乙两名同学之间的距离y（米）与运动时间x（分）之间的关系如图所示．已知甲的速度为每分钟60米，且甲的速度小于乙的速度，现给出以下结论：
①AB两地距离1680米；
②出发10分钟，甲乙两人第一次相遇；
③乙的速度为每分钟100米；
④甲在出发后第44分钟时开始执行任务．
其中正确的是 　①④　．（写出所有正确结论的序号）

【考点】一次函数的应用．版权所有
【分析】函数图象可看作是线段CD、DE、EF、FH、HI构成：CD对应两人从出发到第一次相遇，其中5分钟时，两人相距980米；DE对应乙在原地执行任务，甲继续前进；EF对应甲继续向B地走，乙继续向A地走；FH对应甲到达B地返回走，乙继续向A地走，其中x＝31时，两人相距1180米；HI对应两人都返回走到第二次相遇．设乙的速度为v米/分，AB两地距离为s米，根据两个确定的x和y值找等量关系列方程．
【解答】解：甲的速度为60米/分，设乙的速度为v米/分，AB两地距离为s米，
∵x＝5时，y＝980，此时两人相距980米，列方程得：
5（60+v）+980＝s（1），
当x＝31时，甲走的路程为：60×31＝1860（米），
图象中，x＝31时，y＝1180，
即此时甲乙两人相距1180米，甲已经到达B地并返回，乙还在前往A地，
列方程得：1860﹣s+1180＝（31﹣14）v（2），
（1）（2）联立方程组解得，
∴AB两地距离1680米，乙的速度为每分钟100米，故①说法正确，③说法错误；
1680÷（60+80）＝12（分），
故出发12分钟，甲乙两人第一次相遇，故②说法错误；
设甲出发t分钟时开始执行任务，此时甲乙第二次相遇，两人走的总路程和为3s，列方程得：
60t+80（t﹣14）＝3×1680，
解得：t＝44，
即甲在出发后第44分钟时开始执行任务，故④说法正确；

所以正确的是①④．
故答案为：①④．
【点评】本题考查了一次函数的应用，关键是把条件表述的几个过程对应图象理解清楚，再找出对应x和y表示的数量关系．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（8分）先化简，再求值：，其中x＝3．
【考点】分式的化简求值．版权所有
【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝（﹣）•
＝•
＝，
当x＝3时，原式＝＝．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
18．（8分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF．
求证：BE＝DF．

【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．版权所有
【分析】根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD＝BC，求出DE＝BF，DE∥BF，得出四边形DEBF是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵AE＝CF，
∴DE＝BF，DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴BE＝DF．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，注意：平行四边形的对边平行且相等．
19．（8分）因现在学生人数逐年增加，我市某校欲招聘一名编外数学教师，现有甲、乙、丙三位老师通过专业知识、授课、答辩三项测试．他们各自的成绩（单位：分）如下表所示，按照招聘简章要求，对专业知识、授课、答辩三项赋权4：5：1，请计算三名应聘者的综合成绩，从综合成绩看，应该聘用谁？
应聘者
专业知识
授课
答辩
甲
80
85
90
乙
85
90
80
丙
90
80
85
【考点】加权平均数．版权所有
【分析】根据加权平均数分别计算三人的平均成绩，比较大小即可得出答案．
【解答】解：甲的平均成绩是：＝83.5（分），
乙的平均成绩是：＝87（分），
丙的平均成绩是：＝84.5（分），
∵乙的平均成绩最高，
∴应该录取乙．
【点评】此题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是本题的关键，是一道基础题．
20．（8分）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF是菱形．

【考点】菱形的判定；平行四边形的性质．版权所有
【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明；
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵DE＝BF，
∴AE＝CF，∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21．（8分）求证：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
（要求：先画出图形并写出已知、求证，再写出证明过程）
【考点】平行四边形的判定．版权所有
【分析】写出已知、求证．只要证明AB∥CD，BC∥AD即可；
【解答】已知：如图，四边形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD，
∴∠OAB＝∠OCD，
∴AB∥CD，同法可证AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．

【点评】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
22．（10分）如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点B在反比例函数（x＞0）的图象上，且BC＝2．将矩形OABC以点A为旋转中心，顺时针旋转90°后得到矩形FADE，函数的图象刚好经过EF的中点N，交DE于点M．
（1）求该反比例函数关系式；
（2）求△OBM的面积．

【考点】待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质；坐标与图形变化﹣旋转；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．版权所有
【分析】（1）根据题意得出点B的坐标为（2，），进一步求得N（2+，2），代入曲线方程中即可得出k的值，便可得出反比例函数的解析式；
（2）根据k的值可得出点M、点B的坐标，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△OBM＝S△AOB+S梯形ABMD﹣S△DOM＝S梯形ABMD，故可得出△OBM的面积．
【解答】解：（1）∵矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点B在反比例函数（x＞0）的图象上，且BC＝2，
∴点B的坐标为（2，），
∴AB＝，
∵将矩形OABC以点A为旋转中心，顺时针旋转90°后得到矩形FADE，
∴DE＝BC＝2，EF＝AB＝，
∴OD＝2+，
∵函数的图象刚好经过EF的中点N，
∴N（2+，2），
∴k＝2（2+），
解得k＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）∵k＝8，
∴OD＝2+4＝6，B（2，4），
把x＝6代入y＝得，y＝，
∴M（6，），
∵S△OBM＝S△AOB+S梯形ABMD﹣S△DOM＝S梯形ABMD，
∴S△OBM＝（4+）（6﹣2）＝．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的性质，坐标与图形的变化﹣旋转，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，求得B、M的坐标是解题的关键．
23．（10分）甲、乙两人分别加工A、B两种型号的零件，已知甲加工A型零件45个所用时间和乙加工B型零件60个所用时间相同，两人每天共可加工70个零件．
（1）求甲、乙每天各加工多少个零件；
（2）根据市场预测估计，加工一件B型零件可获利m元（4≤m≤8），加工一件A型零件的利润比加工一件B型零件的利润多1元．求每天甲、乙加工的零件所获得的总利润W（元）与m的函数关系式，并求W的最大值、最小值．
【考点】一次函数的应用；分式方程的应用．版权所有
【分析】（1）设甲每天加工x个A型零件，则乙每天加工（70﹣x）个B型零件，根据题意，易得，解方程可得x的值，进而可得答案；
（2）根据题意，可得关系式W＝15m+20（m﹣1），化简可得P＝35m﹣20，根据一次函数的性质分析可得答案．
【解答】解：（1）设甲每天加工x个A型零件，则乙每天加工（70﹣x）个B型零件，根据题意，
易得，
解得x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意．
70﹣30＝40（个）．
答：甲每天加工30个A型零件，乙每天加工40个B型零件；
（2）W＝30（m+1）+40m＝70m+30，
∵k＝70＞0，
∴W随m的增大而增大，
又由已知得：4≤m≤8，
∴当m＝8时，W的最大值＝590，
当m＝4时，W的最小值＝310．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，能根据题意，列出关系式，进而结合一次函数的性质得到结论或求解方程是解题关键．
24．（13分）已知，矩形ABCD对角线AC，BD相交于O，点E为BC边上的动点，连结OE．
（1）如图1，若AC＝2AB，OE＝BE，求证：OE⊥AC；
（2）如图2，若点M为OD的中点，当线段OE最小时，连结ME交AC于点N．
①求证：ME＝2EN．
②连结AM，若AM＝EM，AC＝a，求矩形ABCD的面积（用含a的式子表示）．


【考点】四边形综合题．版权所有
【分析】（1）根据矩形的性质得到∠ABC＝90°，AC＝BD，AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，求得AO＝BO＝AC，根据等边三角形的性质得到∠BAC＝60°，求得∠ACB＝30°，根据垂直的定义即可得到结论；
（2）①证明：如图2，根据等腰三角形的性质得到BE＝CE，求得OE＝CD，OE∥CD，过M作MG∥CD，连接EG，推出四边形OEGM是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到结论；
②如图3，连接AM，CM，过M作MH⊥BC于H，根据平行线等分线段定理得到EH＝CH，求得AM＝CM，求得AC⊥BD，根据正方形的判定定理得到矩形ABCD是正方形，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AC＝BD，AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，
∴AO＝BO＝AC，
∵AC＝2AB，
∴AB＝AO＝BO，
∴∠BAC＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
∵OE＝BE，
∴∠BOE＝∠OBE＝30°，
∴∠OEC＝∠OBE+∠BOE＝60°，
∴∠EOC＝90°，
∴OE⊥AC；
（2）①证明：如图2，

当线段OE最小时，OE⊥BC，
∵OB＝OC，
∴BE＝CE，
∴OE＝CD，OE∥CD，
过M作MG∥CD，连接EG，
∴OE∥MG，
∵OM＝DM，
∴OG＝CG，
∴MG＝CD，
∴MG＝OE，
∴四边形OEGM是平行四边形，
∴EN＝MN，
∴ME＝2EN；
②解：如图3，

连接AM，CM，过M作MH⊥BC于H，
∵OE⊥BC，DC⊥BC
∴OE∥MH∥CD，
∵OM＝DM，
∴EH＝CH，
∴ME＝MC，
∵AM＝ME，
∴AM＝CM，
∵AO＝CO，
∴MO⊥AC，
即AC⊥BD，
∴矩形ABCD是正方形，
∴矩形ABCD的面积＝AC•BD＝a2．
【点评】本题考查了四边形的综合题，矩形的性质，正方形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
25．（13分）如图，在平面直角坐标系中，有两条平行线L1：y＝kx+4和L2：y＝kx+b，直线L1上有一点M（4，6），且与y轴交于点A，过点M作MN⊥x轴于点N，直线L2交x轴于点B（在线段ON上），交y轴于点H，交MN于点C．
（1）求k的值；
（2）平移直线L2：y＝kx+b，当点B恰好经过ON的中点时，过点C作CD∥AB交AM于点D，求证：四边形ABCD为矩形；
（3）如果将直线L1：y＝kx+4向下平移n个单位长度后，交y轴于点F，交MN于点G，过C作CE∥BF交FG于点E，当四边形BCEF为正方形时，求n的值．

【考点】一次函数综合题．版权所有
【分析】（1）把点M的坐标代入L1：y＝kx+4即可解答；
（2）根据题意易求点A、B坐标，再计算直线AB的斜率k1，所以AB⊥BC．又因为直线L1∥L2，AB∥CD，从而得解；
（3）根据正方形性质可得BF＝BC且∠FBC＝90°，再证明△BOF≌△CNB，CN＝OB，BN＝OF，求出点F的坐标为（0，），代入直线L1经过平移后的表达式y＝x+4﹣n，即可得解．
【解答】（1）解：由题目知道，点M（4，6）在直线L1上，将坐标代入直线L1表达式得：6＝4k+4，解得k＝；
（2）证明：∵M（4，6），MN⊥x轴于点N，
∴N（4，0），
∵点B是ON的中点，
∴B（2，0），
∵由题目知道直线L1与直线L2平行，
∴设直线L2：y＝x+b，
∵L1：y＝kx+4与y轴交于点A，
∴A（0，4），
∴直线AB的斜率k1＝＝﹣2，
∵kk1＝﹣1，
∴AB⊥BC．又因为直线L1∥L2，AB∥CD，
∴四边形ABCD为矩形；
（3）解：∵由题目当四边形BCEF为正方形时，正方形的边BF＝BC且∠FBC＝90°，
∴∠FBO+∠CBN＝90°，
∵OA∥MN，
∴∠FOB＝∠BNC＝90°，∠FBO+∠BFO＝90°，
∴∠BFO＝∠CBN，
∴△BOF≌△CNB（AAS），CN＝OB，BN＝OF，
∵k＝且ON＝4，
∴BN＝2OB，OF＝ON＝，点F的坐标为（0，），
∴直线L1经过平移后的表达式为：
y＝x+4﹣n，将点F的坐标为（0，）代入，得n＝．
【点评】本题灵活考查了一次函数点的坐标的求法、待定系数法求一次函数解析式、平面直角坐标系中，平行线和垂线的比例系数k的关系等知识点，解题关键是熟练掌握一次函数有关知识．