2022年河北省保定高碑店市重点名校中考数学四模试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．方程x（x－2）＋x－2＝0的两个根为（    ）

A．， B．，

C． , D．,

2．如图，点A，B在双曲线y=（x＞0）上，点C在双曲线y=（x＞0）上，若AC∥y轴，BC∥x轴，且AC=BC，则AB等于（　　）

A． B．2 C．4 D．3

3．如图，，且.、是上两点，，.若，，，则的长为（    ）

A． B． C． D．

4．如图所示的几何体的主视图正确的是（ ）

A． B． C． D．

5．已知⊙O的半径为5，若OP=6，则点P与⊙O的位置关系是（　　）

A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O外 C．点P在⊙O上 D．无法判断

6．为了纪念物理学家费米，物理学界以费米（飞米）作为长度单位．已知1飞米等于0.000000000000001米，把0.000000000000001这个数用科学记数法表示为（　　）

A．1×10﹣15 B．0.1×10﹣14 C．0.01×10﹣13 D．0.01×10﹣12

7．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件.如果全组共有x名同学，则根据题意列出的方程是（   ）

A．x(x+1)=132 B．x(x-1)=132 C．x(x+1)=132× D．x(x-1)=132×2

8．如图，四边形ABCD是正方形，点P，Q分别在边AB，BC的延长线上且BP=CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②△OAE∽△OPA；③当正方形的边长为3，BP＝1时，cos∠DFO=，其中正确结论的个数是(   )

A．0 B．1 C．2 D．3

9．若一个多边形的内角和为360°，则这个多边形的边数是（    ）

A．3                                            B．4                                            C．5                                            D．6

10．方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）．

A．k≥1 B．k≤1 C．k>1 D．k<1

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．如图，线段 AB 的长为 4，C 为 AB 上一个动点，分别以 AC、BC 为斜边在 AB 的同侧作两个等腰直角三角形 ACD 和 BCE， 连结 DE， 则 DE 长的最小值是_____．

12．如图是利用直尺和三角板过已知直线l外一点P作直线l的平行线的方法，其理由是__________．

13．﹣的绝对值是_____．

14．分解因式：mx2﹣6mx+9m=_____．

15．如图，a∥b，∠1＝110°，∠3＝40°，则∠2＝_____°．

16．在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣1与x轴交于点A1，如图所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、…、正方形AnBnCnCn﹣1，使得点A1、A2、A3、…在直线l上，点C1、C2、C3、…在y轴正半轴上，则点Bn的坐标是_____．

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分）如图，已知BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在边AB、BC上，ED∥BC，EF∥AC．求证：BE=CF．

18．（8分）解方程组：

19．（8分）计算：÷（﹣1）

20．（8分）如图，AC是的直径，点B是内一点，且，连结BO并延长线交于点D，过点C作的切线CE，且BC平分．

求证：；

若的直径长8，，求BE的长．

21．（8分）如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m．

（1）求∠BCD的度数．

（2）求教学楼的高BD．（结果精确到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32）

22．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．

（1）证明：∠BAC=∠DAC．

（2）若∠BEC=∠ABE，试证明四边形ABCD是菱形．

23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC，tanB，半径为2的⊙C分别交AC，BC于点D、E，得到DE弧．

（1）求证：AB为⊙C的切线．

（2）求图中阴影部分的面积．

24．已知：如图，在菱形中，点，，分别为，，的中点，连接，，，．

求证：；

当与满足什么关系时，四边形是正方形？请说明理由．

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、C

【解析】
根据因式分解法，可得答案．

【详解】

解：因式分解，得（x-2）（x+1）=0，
于是，得x-2=0或x+1=0，
解得x1=-1，x2=2，
故选：C．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题关键．

2、B

【解析】

【分析】依据点C在双曲线y=上，AC∥y轴，BC∥x轴，可设C（a，），则B（3a，），A（a，），依据AC=BC，即可得到﹣=3a﹣a，进而得出a=1，依据C（1，1），B（3，1），A（1，3），即可得到AC=BC=2，进而得到Rt△ABC中，AB=2．

【详解】点C在双曲线y=上，AC∥y轴，BC∥x轴，

设C（a，），则B（3a，），A（a，），

∵AC=BC，

∴﹣=3a﹣a，

解得a=1，（负值已舍去）

∴C（1，1），B（3，1），A（1，3），

∴AC=BC=2，

∴Rt△ABC中，AB=2，

故选B．

【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，注意反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．

3、D

【解析】

分析：

详解：如图,

∵AB⊥CD,CE⊥AD,

∴∠1=∠2,

又∵∠3=∠4,

∴180°-∠1-∠4=180°-∠2-∠3,

即∠A=∠C.

∵BF⊥AD,

∴∠CED=∠BFD=90°,

∵AB=CD,

∴△ABF≌△CDE,

∴AF=CE=a,ED=BF=b,

又∵EF=c,

∴AD=a+b-c.

故选:D.

点睛：本题主要考查全等三角形的判定与性质，证明△ABF≌△CDE是关键.

4、D

【解析】
主视图是从前向后看，即可得图像.

【详解】

主视图是一个矩形和一个三角形构成.故选D.

5、B

【解析】
比较OP与半径的大小即可判断.

【详解】

，，

，

点P在外，

故选B．

【点睛】

本题考查点与圆的位置关系，记住：点与圆的位置关系有3种设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内.

6、A

【解析】
根据科学记数法的表示方法解答.

【详解】

解：把这个数用科学记数法表示为．

故选：．

【点睛】

此题重点考查学生对科学记数法的应用，熟练掌握小于0的数用科学记数法表示法是解题的关键.

7、B

【解析】

全组有x名同学，则每名同学所赠的标本为：（x-1）件，

那么x名同学共赠：x（x-1）件，

所以，x（x-1）=132，

故选B.

8、C

【解析】
由四边形ABCD是正方形，得到AD=BC,  根据全等三角形的性质得到∠P=∠Q，根据余角的性质得到AQ⊥DP；故①正确；根据勾股定理求出直接用余弦可求出．

【详解】

详解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=BC, 

∵BP=CQ，

∴AP=BQ，

在△DAP与△ABQ中,  

∴△DAP≌△ABQ，

∴∠P=∠Q，

∵

∴

∴

∴AQ⊥DP；

故①正确；

②无法证明，故错误．

∵BP=1，AB=3，

∴

∴ 故③正确，

故选C．

【点睛】

考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数等，综合性比较强，对学生要求较高．

9、B

【解析】
利用多边形的内角和公式求出n即可.

【详解】

由题意得：(n-2)×180°=360°，

 解得n=4;

 故答案为：B.

【点睛】

本题考查多边形的内角和，解题关键在于熟练掌握公式.

10、D

【解析】

当k=1时，原方程不成立，故k≠1，

当k≠1时，方程为一元二次方程．

∵此方程有两个实数根，

∴，解得：k≤1．

综上k的取值范围是k＜1．故选D．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、2

【解析】

试题分析：由题意得，；C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，AD=CD；CE=BE；由勾股定理得，解得；而AC+BC=AB=4，，∵=16；，∴，，得出

考点：不等式的性质

点评：本题考查不等式的性质，会用勾股定理，完全平方公式，不等关系等知识，它们是解决本题的关键

12、同位角相等，两直线平行．

【解析】

试题解析：利用三角板中两个60°相等，可判定平行

考点:平行线的判定

13、

【解析】
绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，用“| |”来表示．|b-a|或|a-b|表示数轴上表示a的点和表示b的点的距离.

【详解】

﹣的绝对值是|﹣|=

【点睛】

本题考查的是绝对值，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键.

14、m（x﹣3）1．

【解析】
先把提出来，然后对括号里面的多项式用公式法分解即可。

【详解】

【点睛】

解题的关键是熟练掌握因式分解的方法。

15、1

【解析】

试题解析：如图，

∵a∥b，∠3=40°，

∴∠4=∠3=40°．

∵∠1=∠2+∠4=110°，

∴∠2=110°-∠4=110°-40°=1°．

故答案为：1．

16、（2n﹣1，2n﹣1）．

【解析】
解：∵y=x-1与x轴交于点A1，
∴A1点坐标（1，0），
∵四边形A1B1C1O是正方形，
∴B1坐标（1，1），
∵C1A2∥x轴，
∴A2坐标（2，1），
∵四边形A2B2C2C1是正方形，
∴B2坐标（2，3），
∵C2A3∥x轴，
∴A3坐标（4，3），
∵四边形A3B3C3C2是正方形，
∴B3（4，7），
∵B1（20，21-1），B2（21，22-1），B3（22，23-1），…，
∴Bn坐标（2n-1，2n-1）．
故答案为（2n-1，2n-1）．

三、解答题（共8题，共72分）

17、证明见解析．

【解析】

试题分析：先利用平行四边形性质证明DE=CF，再证明EB=ED，即可解决问题．

试题解析：∵ED∥BC，EF∥AC，∴四边形EFCD是平行四边形，∴DE=CF，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC，∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∴∠EBD=∠EDB，∴EB=ED，∴EB=CF．

考点：平行四边形的判定与性质．

18、

【解析】
设=a， =b，则原方程组化为，求出方程组的解，再求出原方程组的解即可．

【详解】

设=a， =b，

则原方程组化为：，

①+②得：4a=4，

解得：a=1，

把a=1代入①得：1+b=3，

解得：b=2，

即，

解得：，

经检验是原方程组的解，

所以原方程组的解是．

【点睛】

此题考查利用换元法解方程组，注意要根据方程组的特点灵活选用合适的方法. 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它,从而使问题得到简化，这叫换元法.换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理.

19、

【解析】
根据分式的混合运算法则把原式进行化简即可.

【详解】

原式=÷（﹣）

=÷

=•

=．

【点睛】

本题考查的是分式的混合运算，熟知分式的混合运算的法则是解答此题的关键.

20、（1）证明见解析；（2）．

【解析】
先利用等腰三角形的性质得到，利用切线的性质得，则CE∥BD，然后证明得到BE=CE；

作于F，如图，在Rt△OBC中利用正弦定义得到BC=5，所以，然后在Rt△BEF中通过解直角三角形可求出BE的长．

【详解】

证明：，，

，

是的切线，

，

，

．

平分，

，

，

；

解：作于F，如图，

 的直径长8，

．

，

，

，

，

在中，

设，则，

，即，解得，

．

故答案为（1）证明见解析；（2） ．

【点睛】

本题考查切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系简记作：见切点，连半径，见垂直也考查了解直角三角形．

21、（1）38°；（2）20.4m．

【解析】
（1）过点C作CE与BD垂直，根据题意确定出所求角度数即可；

（2）在直角三角形CBE中，利用锐角三角函数定义求出BE的长，在直角三角形CDE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，由BE+DE求出BD的长，即为教学楼的高．

【详解】

（1）过点C作CE⊥BD，则有∠DCE=18°，∠BCE=20°，∴∠BCD=∠DCE+∠BCE=18°+20°=38°；

（2）由题意得：CE=AB=30m，在Rt△CBE中，BE=CE•tan20°≈10.80m，在Rt△CDE中，DE=CD•tan18°≈9.60m，∴教学楼的高BD=BE+DE=10.80+9.60≈20.4m，则教学楼的高约为20.4m．

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确添加辅助线构建直角三角形、熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

22、证明见解析

【解析】

试题分析：由AB=AD，CB=CD结合AC=AC可得△ABC≌△ADC，由此可得∠BAC=∠DAC，再证△ABF≌△ADF即可得到∠AFB=∠AFD，结合∠AFB=∠CFE即可得到∠AFD=∠CFE；

（2）由AB∥CD可得∠DCA=∠BAC结合∠BAC=∠DAC可得∠DCA=∠DAC，由此可得AD=CD结合AB=AD，CB=CD可得AB=BC=CD=AD，即可得到四边形ABCD是菱形.

试题解析：

（1）在△ABC和△ADC中，
∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠BAC=∠DAC，
在△ABF和△ADF中，
∵AB=AD，∠BAC=∠DAC，AF=AF，
∴△ABF≌△ADF，
∴∠AFB=∠AFD．
（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∵∠BAC=∠DAC，
∴∠ACD=∠CAD，
∴AD=CD，
∵AB=AD，CB=CD，
∴AB=CB=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形．

23、 (1)证明见解析；(2)1-π.

【解析】
（1）解直角三角形求出BC，根据勾股定理求出AB，根据三角形面积公式求出CF，根据切线的判定得出即可；

（2）分别求出△ACB的面积和扇形DCE的面积，即可得出答案．

【详解】

（1）过C作CF⊥AB于F．

∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC，tanB，∴BC＝2，由勾股定理得：AB1．

∵△ACB的面积S，∴CF2，∴CF为⊙C的半径．

∵CF⊥AB，∴AB为⊙C的切线；

（2）图中阴影部分的面积＝S△ACB﹣S扇形DCE1﹣π．

【点睛】

本题考查了勾股定理，扇形的面积，解直角三角形，切线的性质和判定等知识点，能求出CF的长是解答此题的关键．

24、见解析

【解析】
（1）由菱形的性质得出∠B＝∠D，AB＝BC＝DC＝AD，由已知和三角形中位线定理证出AE＝BE＝DF＝AF，OF＝DC，OE＝BC，OE∥BC，由(SAS)证明△BCE≌△DCF即可；
（2）由（1）得：AE＝OE＝OF＝AF，证出四边形AEOF是菱形，再证出∠AEO＝90°，四边形AEOF是正方形．

【详解】

(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴∠B＝∠D，AB＝BC＝DC＝AD，

∵点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，

∴AE＝BE＝DF＝AF,OF＝DC,OE＝BC,OE∥BC，

在△BCE和△DCF中,，

∴△BCE≌△DCF(SAS)；

(2)当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形，理由如下：

由(1)得：AE＝OE＝OF＝AF，

∴四边形AEOF是菱形，

∵AB⊥BC,OE∥BC，

∴OE⊥AB，

∴∠AEO＝90°，

∴四边形AEOF是正方形.

【点睛】

本题考查了全等三角形、菱形、正方形的性质，解题的关键是熟练的掌握菱形、正方形、全等三角形的性质.