湖南省株洲市第二中学2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题

株洲市二中2022年上学期高一年级期末考试试卷

数学试题

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1．已知集合，则(   )A

A． B． C． D．

2. “a>0,b>0”是“ab>0”的(　　)A

A.充分不必要条件               B.必要不充分条件

C.充分必要条件                 D.既不充分也不必要条件

3.设，若，，，则(　　)C

A.  B.  C.  D.

解： ， ， ， ，

又 ， ， 故选：

4.在中，为的中点，为上靠近C点的三等分点，则(　　)D

A． B．

C． D．

5.若，，且，则的最小值为A

A. 12 B. 6 C. 14 D. 16

【解析】解：因为，

当且仅当，即，时取得最小值为12，故选：A

6.  某班有n位同学，统计一次数学测验的平均分与方差．在第一次计算时漏过了一位同学的成绩，算得位同学的平均分和方差分别为、，所以只好再算第二次，算得n位同学的平均分和方差分别为、，若已知该漏过了的同学的得分恰好为，则（       ）B

A．， B．，

C．， D．，

解：设这个班n位同学的成绩分别是，，…，，…，，

第一次漏过了第i位同学的成绩，第一次计算时总分是，

方差是

第二次计算时，，

方差

故，故选：B．

7. 饕餮纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上．有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为，有一点从点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过次跳动后，恰好是沿着饕餮纹的路线到达点的概率为C

A.  B.  C. D.

解：点 从 点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，

则有 右，右，右 ， 右，右，下 ， 右，下，右 ， 下，右，右 ，

右，下，下 ， 下，右，下 ， 下，下，右 ， 下，下，下 共 种不同的跳法 线路 ，符合题意的只有 下，下，右 这 种，所以三次跳动后，

恰好是沿着饕餮纹的路线到达点 的概率为 ．

8.在棱长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，动点在正方形包括边界内运动若平面，则的最小值是    C

A.

B.

C.

D.

解：取的中点，的中点，连结，，，取中点，连结，点，分别是棱长为的正方体中棱，的中点，

，，，，

平面平面，动点在正方形包括边界内运动，且面，

点的轨迹是线段，，，，

当与重合时，的长度取最小值，为，

当与或重合时，的长度取最大值，为．故选：．

取的中点，的中点，连结，，，取中点，连结，推导出平面平面，从而点的轨迹是线段，由此能求出的长度范围，即可求出其最小值．

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9.已知为虚数单位，复数满足，则下列说法正确的是     

A. 复数的模为

B. 复数的共轭复数为 -

C. 复数的虚部为-

D. 复数在复平面内对应的点在第三象限

【答案】ABD

解： ， ，故 A  正确，

复数 的共轭复数为 - ，故 B  正确； 复数 的虚部为 - ，故 C 错；

复数 在复平面内对应的点为 ，在第三象限，故 D 正确．

10. 已知，是单位向量，且，则

A.  B. 与垂直

C. 与的夹角为 D.

【答案】BC

解：因为，所以，， ，

，所以所以，所以，故B正确，A错误;

，

因为，所以，

所以与的夹角为，故C正确，D错误.

11.下面叙述正确的是

A. 垂直于同一直线的两条直线相互平行；

B. 正三角形的平面直观图一定不是等腰三角形

C. 圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为．

D.若两个平面垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直

【答案】BCD

解：正方体同一顶点的三条棱两两垂直，则垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错误；正三角形的直观图中高为原来的一半且与底边成，不为等腰三角形，选项 B 正确； 圆柱的底面直径和高都等于球的直径 ，则球的体积为 与圆柱的体积为 ，球与圆柱的体积之比为 ，选项 C 正确．若两个平面，垂直，假设平面内与它们的交线l不垂直的直线与平面垂直，因为，且平面，的交线，所以可得，这与条件l与不垂直相互矛盾，所以假设不成立，原命题成立，故只有D正确．

12．下列表述正确的有（ABC    ）

 A. 在平行四边形中，.

 B. 在中，若，则△是钝角三角形.

 C. 在中，，边上的高等于，则.

D. 函数的最小正周期为

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 一组数据为12，5，7，11，15，30，则这组数据的分位数是         12

解：因为，把这组数据从小到大排列为：5，7，11，12，15，30；

所以这组数据的分位数是第4个数，为

14. 的内角、、的对边分别为、、，其外接圆半径，则的面积为________．

解：由由正弦定理得， ， ．

15. 将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为       ．

解：将函数 的图象向左平移 个单位长度，可得 的图象；

再将图象上每个点的横坐标变为原来的 倍 纵坐标不变 ，得到函数 的图象， 若函数 在区间 上有且仅有一个零点， ， ， ， 故答案为   

16.. 已知一个球与一个正三棱柱ABC-A1B1C1的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积为，那么这个三棱柱的侧面积为________，二面角A-B1C1-A1的正弦值为________．

答案：   

解：设球的半径为r，则，得r＝2，所以正三棱柱的高为2r＝4．又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，所以底面正三角形的边长为，所以正三棱柱的侧面积，二面角A-B1C1-A1的正弦值为

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．（10分） 已知在某次招考测试中，甲､乙两人各自能否通过测试相互独立，且甲､乙能够通过测试的概率分别为．求：

（1）恰有1人通过测试的概率；

（2）至少有1人通过测试的概率．

【答案】（1）   （2）

18.  在中，角，，所对的边分别为，，，

 ，且．

求角的值；

若为锐角三角形，且，求的取值范围．

解：因为，，且，

所以，（1分）

利用正弦定理化简得：，

即，（3分）

由余弦定理可得，（4分）

又因为，所以；（6分）

由得，即，

又因为三角形为锐角三角形，所以解得：，（8分）

因为，由正弦定理得：，

所以，，

所以

，（10分）

因为，所以，

所以，则的取值范围为（12分）

19.如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，，，点Q是PC的中点.

求证：平面

在线段AB上是否存在点F，使直线PF与平面PAD所成的角为？若存在，求出AF的长，若不存在，请说明理由？

解：连接AC，设AC交BD于O，连接OQ，

因为底面ABCD是矩形，则O是AC中点，又点Q是PC的中点，

故OQ是三角形CPA的中位线，则，又平面BDQ，平面BDQ，

故平面（6分）

因为平面ABCD，平面ABCD，则，

又底面ABCD是矩形，则，

又PD，面PAD，，则面PAD，则面PAD，（8分）

故就是直线PF与平面PAD所成的角，（9分）

又

则，故（11分）

故当时，在线段AB上是存在点F，使直线PF与平面PAD所成的角为（12分）

20.如图，三棱锥P-ABC中，平面ABC，，，，．

（1）求三棱锥A-PBC的体积；

（2）点M在线段PC上，且满足．

解：（1）因为AB＝1，，∠BAC＝60°，所以由得  ．

由平面ABC，可知PA是三棱锥P-ABC的高，又PA＝1，

所以三棱锥A-PBC的体积．（或由余弦定理得AC=2）（6分）

（2）如图，在平面PAC内，过点M作交AC于N，连接BN，BM．

由平面ABC知，所以．

由知，所以，

在中，，

所以，即．由于，故平面MBN．

又平面MBN，所以．（12分）或建系解决

21.某大型教育集团准备采购某款智能音箱，目前有生产这款音箱的甲、乙两家企业可供选择.为比较这两家企业所生产的这款电器的质量，集团派出质检人员从两家企业所生产的智能音箱中分别随机抽取台，并分析了它们的质量指标值，得到甲企业所生产的智能音箱质量指标值的频率分布直方图如图所示，乙企业所生产的智能音箱质量指标值的频数分布表如下表所示同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，视频率为概率．

规定：智能音箱的质量指标值平均值越高，说明该企业智能音箱的质量越好试利用统计知识判断甲、乙两家企业中哪家企业所生产的智能音箱质量更好

规定：质量指标值不小于的智能音箱为一等品，质量指标值在区间内的智能音箱为二等品 按比例分配的分层抽样的方法从企业乙所抽取的台智能音箱中再抽出台智能音箱作进一步的质量分析，并从中再随机抽取台带回教育集团，试求恰好带走台一等品智能音箱的概率

将这次抽查所得的样本平均数、样本标准差分别视为总体平均数、总体标准差 若在一天内所抽查的智能音箱中，出现质量指标值在区间的左侧的智能音箱，则认为生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查经计算，企业乙所生产的智能音箱质量指标值的方差为，若该天企业乙抽查到一台智能音箱的质量指标值为，则是否需对企业乙当天的生产过程进行检查试说明理由参考数据：．

解：企业甲所生产的智能音箱质量指标值的平均数为，（1分）

企业乙所生产的智能音箱质量指标值的平均数为，（2分）

故企业甲的智能音箱质量指标值平均数更高,故企业甲生产的智能音箱质量更好;（3分）

由频数分布表可知，台智能音箱中一等品、二等品各有台、台，

由分层抽样可知，所抽取的台智能音箱中一等品、二等品各有台、台，（4分）

记这台一等品为，、、台二等品为、、，则从台智能音箱中抽取台的可能结果有：、、、、、、、、、、、、、、共种，（6分）

其中恰有台一等品的可能结果有种，（7分）故恰好带走台一等品智能音箱的概率为；（8分）

由知，企业乙所抽查的智能音箱质量指标值的平均数为，

故，则总体标准差，（10分）

所以，

而位于区间左侧，故需对企业乙当天的生产过程进行检查．（12分）

22.已知函数，

试判断在其定义域上是否具有奇偶性，若有，请加以证明；

若函数在R上只有一个零点，求实数a的取值范围．

证明：函数，定义域为R，关于原点对称，（1分）

，（4分）

函数为R上的偶函数．（5分）

解：函数在R上只有一个零点，

关于x的方程有唯一的实数解，（6分）

即方程有唯一的实数解，

即有唯一的实数解，

化简得，（8分）

令，

下面研究关于t的方程何时仅有一个正根(8分)

①当时，，符合题意；(9分)

②当时，则，

当时，，当时，

当有异号的两个实根，符合题意；(11分)

综上所述，实数a的取值范围为(12分)