新疆昌吉州行知学校2021-2022学年高二下学期期末考试数学（理）试题（含答案）

昌吉州行知学校2021—2022学年第二学期期末考试

高二年级 数学（理科）试卷

（满分：150分，考试时间：120分钟）

一、单选题（共12小题，每题5分，总计60分）

1. 复数的模为（    ）

A.  B.  C.  D. 2

2. 下列求导运算正确的是（    ）

A.    B.

C.    D.

3. 计算的值为（    ）

A. －1   B. 0   C． 1   D．

4. 某班举行了一次有意思的智力竞猜游戏，首先老师将三只冬奥会吉样物冰墩墩进行了1、2、3三个数字的编号，然后将它们随机均分给甲，乙、丙三名同学，每人将得到的冰墩墩编号告知老师，老师根据三人抽取的号码情况给出了三种说法：①甲抽取的是1号冰墩墩；②乙抽取的不是2号冰墩墩；③丙抽取的不是1号冰墩墩，若三种说法中只有一个说法正确，则抽取2号冰墩墩的是（    ）

A. 甲   B. 乙   C． 丙   D． 无法判定

5.直线与曲线围成的图形的面积为（    ）

A.  B. 3  C. 2   D． 1

6. 圆的圆心坐标是（    ）

A. （1，）   B． （2，）   C. （，）   D.（，）

7. 下列说法中正确的是（    ）

A. 已知随机变量X服从二项分布B（4，），即

B.“A与B是互斥事件”是“A与B互为对立事件”的充分不必要条件

C. 已知随机变量X的方差为D（X），则

D. 已知随机变量X的分布列为，，则

8. 随机变量的分布列如右表，表示的方差，则（    ）

A．  B.  C.  D.

9.某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙2人中至少有一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序相邻，那么不同的发言顺序有（    ）

A. 168种   B． 240种   C． 264种   D． 336种

10. 已知随机变量服从正态分布N（），若，则（    ）

A. 0.977   B． 0.954   C. 0.5   D. 0.023

11. 茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关为了建立茶水温度y随时间x变化的函数模型，小明每隔1分钟测量一次茶水温度，得到若干组数据（，）、（，）．．．．（，），绘制了如图所示的散点图，小明选择了如下2个通数模型来拟合茶水温度y随时间x的变化情况，函数模型一：）；函数模型二：，下列说法不正确的是（    ）

A. 变量y与x具有负的相关关系

B. 由于水温开始降得快，后面降得慢，最后趋于平缓，故模型二能更好的拟合茶水温度随时间的变化情况

C. 若选择函数模型二，利用最小二乘法求得到的图象一定经过点

D. 当时，通过函数模型二求得，用温度计测得实际茶水温度为65.2，则残差为0.1

12.“双减”政策落实下倡导学生参加户外活动，增强体育锻炼，甲、乙、丙三位同学在观看北京冬奥会后，计划从冰球、短道速滑，花样滑冰三个项目中各自任意选一项进行学习，每人选择各项运动的概率均为，且每人选择相互独立，则至少有两人选择花样滑冰的前提下甲同学选择花样滑冰的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

二、填空题（共4小题，每题5分，总计20分）

13. 已知函数．则f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率k＝___．

14. 已知二项式，则展开式中的系数为___；

15. 已知直线l的极坐标方程为，点A的极坐标为（2，），则点A到直线l的距离为___．

16. 将六名教师分配到甲、乙、丙、丁四所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其它三所学校至少分配一名教师，则不同的分配方案共有___种．（用数字作答）

三、解答题（其中17题10分，其余均为12分，总计70分）

17.（1）在极坐标系中，点A的极坐标为（2，），求以A为圆心，以2为半径的圆的极坐标方程；

（2）在平面直角坐标系中，求曲线经过伸缩变换后的曲线方程．

18. 在某化学反应的中间阶段，压力保持不变，温度x（单位：℃）与反应结果y之间的关系如下表所示：

（1）求y关于x的线性回归方程；

（2）判断变量x与y之间是正相关还是负相关，并预测当温度达到10℃时反应结果大约为多少．

（3）求化学反应结果y与温度x之间的相关系数r（精确到0.01）

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别，．

相关系数  参考数据：

19. 孔子曰：温故而知新，数学学科的学习也是如此，为了调查数学成绩与及时复习之间的关系，某校志愿者展开了积极的调查活动：从高三年级1500名学生中随机抽取50名学生进行问卷调查，所得信息如下：

（1）由以上数据，判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为数学成绩优秀与及时复习有关？

（2）用分层抽样的方法，从数学成绩优秀的人中抽取6人，再在这6人中随机抽取3人进行更详细的调查，记所抽取的3人中及时复习的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．

下面的临界值表供参考：

（参考公式，其中）

20. 小明所在学习小组开展社会调查，记录了某快餐连锁店每天骑手的人均业务量，现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[25，35），[35，45），[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95]七组，整理得到如图所示的频率分布直方图．

（1）随机选取一天，估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率；

（2）将上图中的频率作为相应的概率，从该连锁店的骑手中任意选3人，记其中业务量不少于65单的人数为X，求X的分布列和数学期望．

（3）如果该连锁店的骑手每送1单可以提成3元，试估计一名骑手每天的收入，并说明理由．

21. 在极坐标系中，点M的坐标为（3，），曲线C的方程为；以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为－1的直线l经过点M．

（I）求直线l和曲线C的直角坐标方程；

（II）若P为曲线C上任意一点，直线l和曲线C相交于A，B两点，求△PAB面积的最大值．

22.已知函数．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）恰有一个零点，求a的值．

参考答案：

1. B  2.D  3. C 4.A  5.A  6. A   7.D  8.C  9.C 10.B  11. C 12.D

13. －1   14. 40   15.  16. 660

17. （1）

解：因为点A的极坐标为（2，），由，所以点A的直角坐标为（0，2），

所以以A为圆心，以2为半径的圆的方程为，即，

所以，即，即圆A的极坐标方程为；

（2）．

由得：，∴，即，

∴变换后的曲线方程为：．

18. （1）

（2）x与y之间是正相关，当温度达到10℃时反应结果大约为80

（3）0.98

（1）解：由题意可得，

，

因此，回归直线方程为；

（2）∵，∴x与y之间是正相关，

当时，，

∴当温度达到10℃时反应结果大约为80

（3）根据（1）数据得

所以相关系数．

根据参考数据可得是：

19.（1）在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为数学成绩优秀与及时复习有关

（1）．

∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为数学成绩优秀与及时复习有关．

（2）由题知每层抽取比例为，故6人中及时复习的有人，不及时复习的有人，故X的可能取值为1，2，3

∴，，

．    ∴．

20.（1）由频率分布直方图知，该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的频率为：，

所以，随机选取一天，估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率为0.4

（2）X的可能值为0，1，2，3，依题意，，

，，

，，

所以X的分布列为：

期望．

（3）由频率分布直方图知，骑手每天送单的平均数为：

，

因骑手每送1单可以提成3元，则骑手每天的收入的期望为（元）

21.（1）直线方程为，曲线C的直角坐标方程为（2）；（2）．

解析：

（1）∵在极坐标系中，点M的坐标为（3，），

∴，

∴点M的直角坐标为（0，3），

∴直线方程为，

由，得，

∴曲线C的直角坐标方程为，

即

（2）圆心（1，1）到直线的距离，

∴圆上的点到直线L的距离最大值为，

而弦．

∴△PAB面积的最大值为．

22.（1），

令，得．

因为，则，即原方程有两根设为

，所以（舍去），．

则当时，，当时

f（x）在上是减函数，在上是增函数．

（2）由（1）可知．

①若，则，即，可得，

设，h（x）在（0，＋∞）上单调递减

所以至多有一解且，则，

代入解得．

②若，则，即，可得，

结合①可得，

因为，，

所以在存在一个零点．

当时，，

所以在存在一个零点，因此存在两个零点，不合题意

综上所述：．