湖南省湘东九校2021-2022学年高二下学期期末联考数学试题（含答案）

湖南省湘东九校2022年7月高二期末联考

数学试卷

总分：150分  时量：120分钟

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1. 已知复数，其中，是虚数单位，若为纯虚数，则的值为（   ）

A. -1       B. 0       C. 1      D. -1或1

2. “”是“”的（   ）

A. 充分不必要条件       B. 必要不充分条件       C. 充要条件       D. 既不充分也不必要条件

3. 下表是茶颜悦色“幽兰拿铁”一天的销售量（单位：杯）与温度（单位：摄氏度）的对比表，根据表中数据计算得到的经验回归方程是，则的值为（   ）

A. 86       B. 88       C. 90       D. 92

4. 若，则 （   ）

A.        B.        C. 0      D.

5. 已知函数的部分图象如下图所示，则函数的解析式可能是（   ）

A.                     B.      

C.                    D.

6. 第19届亚运会即将在西子湖畔----杭州召开，为了办好这一届“中国特色、浙江风采、杭州韵味、精彩纷呈”的体育文化盛会，杭州亚运会组委会决定进行赛会志愿者招募，在杭大学生纷纷踊跃参加.现有4名大学生志愿者，通过培训后，拟安排在游泳、篮球、体操三个项目进行志愿者服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一个项目，在甲被安排到游泳项目的条件下，乙也被安排到游泳项目的概率为 （   ）

A.       B.       C.       D.

7. 线段是圆的一条直径，直线上有一动点，则的最小值为（   ）

A.9       B. 10      C.11       D. 12

8. 若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，可以形成一个新的数列，再把所得数列按照同样的方法可以不断构造出新的数列.现将数列1，3进行构造，第1次得到数列1，4，3；第2次得到数列1，5，4，7，3；依次构造，第次得到数列1，.记，若成立，则的最小值为 （   ）

A. 6      B. 7      C. 8      D. 9

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列说法正确的有（   ）

A. 若为对立事件，则

B. 若为互斥事件，则

C. 若，且事件互斥，则相互独立

D. 若，则

10. 已知，且，则（    ）

A.       B.        C.       D.

11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线上存在点（点不与左、右顶点重合），使得，则双曲线的离心率的可能取值为 （    ）

A.        B.       C.       D. 2

12. 如图，在棱长为2的正方体中，点分别是线段上的动点（含端点），则下列说法正确的是（    ）

A.

B. 的最小值为

C. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为

D. 与所成角的取值范围为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 的展开式中的系数为_________（用数字作答）.

14. 已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，点是抛物线上一点，到准线的距离为，且，则抛物线的方程为____________.

15. 足球运动成为了当今世界上开展最广、影响最大、最具魅力、拥有球迷数最多的体育项目之一，2022年卡塔尔世界杯是第22届世界杯足球赛，比赛于2022年11月21日至12月18日在卡塔尔境内7座城市中的12座球场举行.已知某中球的表面上有四个点，平面平面，为等腰直角三角形，，，则该足球的表面积为_________.

16. 若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是___________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）在中，角的对边分别为，且满足.

（1）求角的值；

（2）若，且的面积为，求边上的中线的长.

18. （12分）已知等差数列满足，数列的前项和满足.

（1）求数列和的通项公式；

（2）求数列的前项和.

19.（12分）如图所示，四棱锥中，平面平面，底面是边长为2正方形，，与交于点，点在线段上.

（1）求证：平面；

（2）若平面，求平面与平面所成夹角的余弦值.

20.（12分）某城市实施了机动车尾号限行，该市报社调查组为了解市民对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成如下表：

（1）请估计该市市民对“车辆限行”的赞成率和被调查者的年龄平均值；（同一组数据用该区间的中点值作代表）

（2）用样本估计总体，将样本频率视为概率，且每位市民是否赞成相互独立.现从全市年龄在的市民中随机选取4人进行追踪调查，记被选4人中不赞成“车辆限行”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望；

（3）若在这50名被调查者中随机发出20份的调查问卷，记为所发到的20人中赞成“车辆限行”的人数，求使概率取得最大值的整数.

21.（12分）动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数，记动点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）设是曲线上的一动点，由原点向圆引两条切线，分别交曲线于点，若直线的斜率均存在，并分别记为，试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由.

22.（12分）已知.

（1）求（为的导函数）在上的最小值；

（2）讨论函数在上的零点个数.

参考答案

一、二、选择题

1. C 【解析】由题意可知：，则，故选C.

2. A 【解析】由题意可知：，所以“”是“”的充分不必要条件.故选A.

3. D【解析】由题意可知：，则.故选D.

4. A 【解析】由题意可知：，则，故选A.

5. B【解析】由题意可知：为奇函数，排除；在是单调递减函数，排除A；当时，，则在单调递增，排除C.故选B.

6. B【解析】记“甲被安排到游泳项目”为事件A，记“乙也被安排到游泳项目”为事件B，所求概率为. 故选B.

7. C 【解析】，故选C.

8. C【解析】由题意可知：，则，则，当时，，当时，，故选C.

9. AB 【解析】，则不相互独立，所以C是错误的；，当相互独立时，才有，所以D是错误的，故选AB.

10. ABD【解析】，所以A是正确的；，所以B是正确的；，则，所以C是错误的；，所以D正确的，故选ABD.

11. BC【解析】∵，则，则排除A；记，，，则，由正弦定理可知：，则，所以B，C是正确的，故选BC.

12. ABD【解析】如图1，平面，所以A是正确的；如图2，的最小值就是，所以B是正确的；如图3，直线在面的投影为，则直线与平面所成角为，则，，所以C是错误的；如图4，与所成角的最小角为，此时，则，与所成角的最大角是直线或与的夹角，此时，所以D是正确.故选ABD.

三、填空题

13. 240 【解析】的系数为.

14. 【解析】依题意可得，所以抛物线的方程为.

15. 【解析】依题意可得，又平面平面且交线为，

所以平面，在三角形中，，

设三角形的外接圆半径为，则有，

所以，

设足球的半径为，则，

所以足球的表面积为.

16. 【解析】不等式，在恒成立，

即在恒成立，设，则，

因为，所以在上单调递减，在上单调递增，

且时，；时，，若时，恒成立，

即恒成立，所以，

设，则，所以在上单调递减，所以，

即的取值范围为.

四、解答题

17.【解析】（1）因为，

由正弦定理可得，所以.

因为，所以.

（2）法一：因为，所以，

又，所以，

又因为为的中点，所以，

在中，由余弦定理可得，

所以.

法二：因为，所以，

又，所以，

因为为中线，所以，

所以，

所以.

18.【解析】（1）因为为等差数列，且满足，

则，所以；

又数列满足，则时，，

时，，两式相减可得，即，

所以是以-2为首项，-2为公比的等比数列，所以.

（2）由（1）可得，

所以，

，

两式相减可得，

所以，

所以.

19. 【解析】因为平面平面且交线为，

又平面且，所以平面，

又平面，所以.

因为是边长为2正方形，所以，又，

所以，即，

又因为，平面，

所以平面.

（2）因为平面，平面，平面平面，

所以，

因为为的中点，所以为的中点，

以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

则有，

易得平面的一个法向量为，

设平面的一个法向量为，

则，

取，则，

设平面与平面所成夹角为，则，

所以平面与平面所成夹角的余弦值为.

20.【解析】（1）赞成率为，

平均年龄为

（2）的可能取值为0，1，2，3，4，因为年龄在的市民不赞成“车辆限行”的频率为，

所以，

所以，

所以的分布列为：

.

（3）这50被调查者中，有36人赞成，14人不赞成，

所以，

由，

解得，因为，所以.

21.【解析】（1）由题意，点与定点的距离，点到直线的距离，所以，化简得

故曲线的方程为；

（2）由题意可得，直线的方程分别为，设.

由直线与圆相切可得.

，同理，

所以是方程的两个根，所以，

所以，，

因为是曲线上的一动点，所以，

则有，

联立方程，所以，

所以，同理

所以，

因为，所以，

所以.

22.【解析】（1）依题意，，

记，则，

则在上单调递增，

所以，故的最小值为2.

（2）法一：由题意可知.

构造，则，

①       当时，，

则，

则在 上单调递增，则，

所以当时，在只有一个零点；

②   当时，则，

令，则，

当时，，所以单调递增，

当时，令，则，则单调递增，

又，则，使得，

所以，单调递减，单调递增，

又，则，

所以单调递减，单调递增，

又，则，

所以当时，在有两个零点，

综上：当时，只有一个零点；当时，有两个零点.

法二：由题意可知

构造，则，

①当时，易证，则，此时只有一个零点；

② 当时，则，

令，则，

当时，，则在单调递增；

令，则，

当时，，则在单调递增，

当时，，即，则在单调递增，

故，即，则在单调递增，

此时，此时只有一个零点，

当时（同解法一，略）