河南省许昌市2021-2022学年高一下学期期末数学文科试题（含答案）

XCS2021—2022学年第二学期期末教学质量检测

高一文科数学

注意事项：

1. 答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3. 考试结束后，将答题卡交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面所对应的点在（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 已知平面向量，，且，则（    ）

A. 1 B. －1 C． D.

3. 某学校计划从3名男生和4名女生中任选4名参加七一征文比赛，记事件为“至少3名女生参加”，则下列事件与事件对立的是（    ）

A. 恰有1名女生参加  B. 至多有2名男生参加

C. 至少有2名男生参加  D. 恰有2名女生参加

4. 已知向量，，且，，与的夹角为，则（    ）

A. 36 B.  C. 54 D.

5. 已知在所在平面内，满足，则是的（    ）

A. 外心 B. 内心 C. 垂心 D. 重心

6. 正方体的棱长扩大到原来的6倍，则其表面积扩大到原来的（    ）

A. 2倍 B. 12倍 C. 18倍 D. 36倍

7. 下列四个命题中不正确的是（    ）

A. 平行线段在直观图中仍然平行 B. 相等的角在直观图中仍然相等

C. 直线与平面相交有且只有一个公共点 D. 垂直于同一个平面的两条直线平行

8. 某校开展“正心立德，劳动树人”主题教育活动，对参赛的100名学生的劳动作品的得分情况进行统计，并绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列结论错误的是（    ）

A. 图中的值为0.020

B. 得分在80分及以上的人数为40

C. 这组数据平均数的估计值为77

D. 这组数据第80百分位数的估计值为85

9. 已知，是两个不共线向量，向量，共线，则实数（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 在中，，，是的中点，，则（    ）

A.  B. 4 C.  D.

11. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面.给出下列命题：

①若，，，则或；

②若，，，则；

③若，，，则；

④“若，，则”是随机事件；

⑤若、是异面直线，则存在平面过直线且垂直于直线.

其中正确的命题是（    ）

A. ①③ B. ②⑤ C. ③④ D. ②④

12. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转得到点，则点的坐标为（    ）

A.  B.

C.  D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. _________.

14. 已知向量，，且，，，则_________.

15. 在中，已知，，，则_________.

16. 19世纪，美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高.约半个世纪后，物理学家本福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频率约为总数的三成，接近期望值的3倍，并提出本福特定律，即在大量进制随机数据中，以开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律.后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性.根据本福特定律，若，则的最大值为_________.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等.

（1）画图，并用图中字母写出已知、求证；

（2）写出证明过程.

18.（12分）

某项密码破译工作需甲、乙、丙、丁四人完成，已知每人独立译出密码的概率为，若二人合为一组，则该组破译的概率为，若三人合为一组，则该组破译的概率为.

（1）若四人独立翻译，求破译出密码的概率；

（2）若将四人分成两组，两组独立破译密码，求破译出密码的概率.

19.（12分）

如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

20.（12分）

鱼塘中养了某种鱼，到了收获季节，鱼塘主人为了了解鱼塘中鱼的情况，通过随机撒网的方式捕了200条鱼，逐个称重，发现质量（单位：克）都在之间，这些鱼的质量按照，，，，分组得到频率分布直方图如下：

（1）求鱼塘中所有鱼质量的平均数的估计值；

（2）根据这种鱼的市场情况，现有两种销售方案：

方案一：不论鱼的大小统一定价为每100克10元；

方案二：质量小于700克的鱼，每100克8元；质量在（克）之间的鱼，每100克12元；质量不小于800克的鱼，每100克10元.方案（二）需要付分拣费：每100条鱼50元.

请根据收入的估计值，帮该鱼塘主人选择合适的销售方案.

注：频率分布直方图中每组数据取区间中点值为代表.

21.（12分）

已知，，分别为三个内角，，的对边，且.

（1）求；

（2）若，且的面积为，求，.

22.（12分）

如图1，在边长为4的正方形中，点、分别是边、的中点，将、分别沿、折叠，使、两点重合于点，连、，得到图2所示几何体.

（1）求证：；

（2）在线段上是否存在一点，使平面，如果存在，求的值，如果不存在，说明理由.

许昌市2021—2022学年第二学期高中期末考试

高一文科数学答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. D   2. C   3. C   4. D   5. A   6. D   7. B   8. D   9. B   10. A   11. D   12. D

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.     14.      15.     16. 3

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

解：（1）已知：如图，，且，

且，，，.

求证：.…………5分

（2）证明：过平行直线，作平面，与平面和分别相交于和.

∵，∴.

又∴，∴四边形是平行四边形.

∴.

18．（12分）

解：由题意可知，

（1）有任何一人破译成功密码，则密码就被译出：四人均没有成功破译密码的概率为.

所以四人独立翻译，密码能被译出的概率为…………6分

（2）①若每组两人，两组独立翻译

由二人合为一组，该组破译的概率为，

则密码能被译出的概率为：.……………9分

②若一组三人、一组一人

三人合为一组，该组破译的概率为，

则密码能被译出的概率为：………………12分

19.（12分）

（1）证明：如图，取棱的中点为，连接.

依题意，得.

又因为平面平面，平面平面，

所以平面.

又平面，所以.

又因为，，所以平面.…………6分

（2）解：如图，连接.由（1）中平面，

可知为直线与平面所成的角.

因为为等边三角形，，且的中点为，

所以.

又，在中，.

所以直线与平面所成的角的正弦值为…………12分

20.（12分）

解：（1）鱼塘中所有质量的平均数的估计值为

（克）.…………5分

（2）以这200条鱼的销售收入为参考，

若选方案一，销售收入的估计值为（元）…………8分

若选方案二，由题意得，200条中重量在各区间的条数依次约为

20，40，60，50，30.

销售收入减去分拣费的估计值为

（元）.

因为，所以应该选方案二.…………12分

21.（12分）

解：（1）根据正弦定理，变为

，

即，

也即，

所以.

整理，得，

即，

所以，

所以，

则.

（2）由，，

得.

由余弦定理，得，

则，

所以.

则...12分

22.（12分）

解：（1）证明：由图1可得，，

∴，

∴，

∵，，平面，

∴平面，

∵平面，

∴.…………………6分

（2）假设在线段上存在一点，使平面.

连交于点，连，

由图1可得，，即，

∵平面，平面，平面平面，

∴，

∴，

∴…………………12分