安徽省阜阳市2021-2022学年高一第二学期期末数学试题（含答案）

阜阳市2021~2022学年度高一年级教学质量统测

数 学

本试卷共6页，22小题，满分150分．考试时间120分钟．

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”．

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．

4.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合，则（    ）

A.{－1，0，1）   B. {0，1}   C．{0，1，2）   D.{－1，0}

2.已知，若是第二象限角，则的值为（    ）

A.  B.  C.－  D.－

3.“”是“”的（    ）

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件

C.充要条件     D.既不充分也不必要条件

4.一艘海轮从A地出发，沿北偏东75°的方向航行80海里后到达海岛B，然后从B地出发，沿北偏东15°的方向航行40海里后到达海岛C．如果下次航行直接从A地出发到达C地，那么这艘船需要航行的距离是（    ）

A.40海里   B.40海里  C. 40海里   D.40海里

5.甲、乙两人独立破译一份密码文件，已知各甲、乙能破译的概率分别是，，则甲、乙恰有一人成功破译这份文件的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

6.已知向量a，b不共线，且向量与的方向相反，则实数t的值为（    ）

A.1   B.—  C.1或－  D.－1或－

7.灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围．如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球冠）．如图2，球冠是由球面被一个平面截得的，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球的半径为R，球冠的高为h，则球冠的面积．已知该灯笼的高为46cm，圆柱的高为3cm，圆柱的底面圆直径为30cm，则围成该灯笼所需布料的面积为（    ）

A.   B.  C.  D.

8.已知，则下列判断正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.对于任意两个向量a和b，下列命题中正确的是（    ）

A.若，且a与b同向，则  B.

C.      D.

10.从参加安全知识竞赛的学生中随机抽出40名学生，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图所示．已知65分以下的学生共16人，则下列说法正确的是（    ）

A.

B.这40名学生的平均成绩约为66分

C.根据此频率分布直方图可计算出这40名学生成绩的中位数约为70分

D.根据此频率分布直方图可计算出这40名学生成绩的上四分位数约为77分

11.若函数f（x）在区间上的值域是[a，b]，则称区间[a，b]是函数f（x）的一个“等域区间”．下列函数存在“等域区间”的是（    ）

A.  B.  C.  D.

12.如图，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，过作正方体的截面交棱于F，则（    ）

A. 当时，截面为等腰梯形  

B. 当时，截面为六边形

C.当时，截面面积为2

D. 当时，截面与平面所成的锐二面角的正切值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

13.写出一个同时满足下列条件①②的复数：z＝        ．

①；②z在复平面内对应的点在第二象限．

14.有一组样本数据，，…，如下表：

由这组数据得到新样本数据，，…，，其中，c为常数，则数据，，…，的方差为        ．

15.已知函数的图象如图所示，将函数f（x）图象上每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则关于x的方程在区间[－2022，2022]上有        个实数解．

16.已知正方体的棱长为1，P是线段上一点，则三棱锥的体积为△，的最小值为        ．（本题第一空2分，第二空3分）

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17.（本小题满分10分）如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对（x，y）叫做向量p在斜坐标系Oxy中的坐标．设向量a，b在斜坐标系中的坐标分别为（2，1），（－3，2）．

（1）求；

（2）求a与b的夹角的余弦值．

18.（本小题满分12分）某农户从一批待售的苹果中随机抽取100个，对样本中每个苹果称重，数据如下表．

若将这批苹果按质量大小进行分级，质量不小于0.12千克的苹果为一级果；质量不小于0.1千克且小于0.12千克的苹果为二级果；质量在0.1千克以下的苹果为三级果．

（1）从样本中按等级进行分层抽样，随机抽取5个苹果放入袋子，现采用不放回方式从袋子中依次随机取出2个苹果，求第二次取到二级果的概率．

（2）若将这批苹果按等级出售，一级果的售价为10元/千克；二级果的售价为8元/千克；三级果的售价为6元/千克．经估算，这批苹果有150000个，求该批苹果的销售收入约为多少元．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

19.（本小题满分12分）设a为实数，已知函数是奇函数．

（1）求a的值；

（2）若对任意实数x，恒成立，求实数m的取值范围．

20.（本小题满分12分）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足___．

（1）求角B的大小；

（2）若△ABC为锐角三角形，且，求△ABC周长的取值范围．

注：如果选择多个方案分别解答，按第一个解答计分．

21.（本小题满分12分）如图，四棱柱的底面ABCD为正方形，O为BD的中点，⊥底ABCD，．

（1）求证：平面//平面．

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

22.（本小题满分12分）为扎实推进美丽中国建设，丰富市民业余生活，某市计划将一圆心角为，半径为R的扇形OAB空地（如图），改造为市民体闲中心，体闲中心由活动场地和绿地两部分构成，其中活动场地是扇形的内接矩形，其余部分作为绿地．

设点P为上异于A，B的动点．请以点P为内接矩形的一个顶点设计出两种不同的规划方案，并分别求出这两种方案的活动场地面积的最大值．

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数学参考答案

1.B 由题意得．

2.C 由题意得，所以．

3.A 由“”可以推出“”，由“”得“”，不能推出“”，所以“”是“”的充分不必要条件．

4.D 如图，由题意AB＝80海里，海里，，所以11200，得海里．

5.C 由题意可知，有两种情况，甲成功破译而乙没有成功破译．或甲没有成功破译而乙成功破译，所以甲、乙恰有一人成功破译的概率是．

6.B 因为与共线，所以，解得或－．当时与同向，不符合题意，当时与反向，符合题意．

7.B 由题意得，得，，所以两个球冠的表面积之和为，灯笼中间球面的表面积为．因为上下两个圆柱的侧面积之和为，所以围成该灯笼所需布料的面积为．

8.A 因为，，

，所以．

9.BD 向量不能比较大小，A错误．，B正确，可能小于0，C错误．因为，所以，D正确．

10.ABD 由题意得，得，A正确．由，得．，所以40名学生的平均成绩约为分，B正确．设这40名学生成绩的中位数为x分，则，得，C错误．设这40名学生成绩的上四分位数为y分，则，得，D正确．

11.BC 由题意可知，当f（x）与直线至少有2个交点时，符合题意，因为函数只有1个零点，所以与直线只有1个交点，A错误．结合与直线的图象可知，与直线有2个交点，B正确．结合与直线的图象可知，与直线有2个交点，C正确．在单位圆中，当时，，当时，，当时，，所以与直线只有1个交点，D错误．

12.ACD 当时，易得截面为四边形，易证，且，，所以截面为等腰梯形，A正确．当时，AB，BC上（不含端点）各有一个截点，所以截面为五边形，B错误． 当时，设BC的中点为M，易得截面为四边形，易得，，所以四边形的面积为，C正确．如图，过F作FP垂直于点P，延长FE，交于点O，过作垂直EO于点Q，因为平面//平面，所以截面与平面所成的锐二面角的大小等于平面与平面所成的锐二面角的大小．因为⊥平面，所以，所以即所求的锐二面角．易得，，由，得，所以，D正确．

13.－1＋i（答案不唯一）   符合且即可．

14.  样本数据，，…，的平均数为，方差为．故数据，…，的方差为．

15. 8088 由图可知，由，得，因为，所以．由，得，所以，又因为所以，所以，所以．所以，最小正周期为1，因为关于x的方程在区间[0，1）上有2个实数解，所以关于x的方程在区间[－2022，2022]上有8088个实数解．

16.；    易证/平面，所以．

易得与均为等边三角形，将与沿着展开的平面图为菱形，所以的最小值为．

17.解：（1）由题意得．．．．．．．．．．．．．．．2分

所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）因为，

，．．．．．．．．．．．．．．．7分

所以，

所以，

即a与b的夹角的余弦值为－．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

18.解：（1）由分层抽样法的定义知，从样本中按照等级分层抽样，随机抽取的5个苹果中，一级果有1个，记为A，二级果有3个，记为，，，三级果有1个，记为C．依次不放回地取出2个，包含20个基本事件：（A，），（A，），（A，），（A，C），（，A），（，），（，），（，C），（，A），（，），（，），（，C），（，A），（，），（，），（，C），（C，A），（C，），（C，），（C，）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

记“第二次取到二级果”为事件M，则事件M包含12个基本事件，

所以，

所以第二次取到二级果的．率为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）由样本知，这批苹果中一级果占20%，二级果占60%，三级果占20%，所以150000个苹果中一级果有30000个，二级果有90000个，三级果有30000个，

一级果的质量约为千克，

二级果的质量约为千克，

三级果的质量约为千克，．．．．．．．．．．9分

总售价约为元．

所以该批苹果的销售收人约为134850元．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

19.解：（1）因为是奇函数，

所以对任意实数x，，即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

所以，即，

所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（2）由（1）得，

设，为R上的任意两个实数，且，

则，

因为，所以，，

所以，即，

所以函数f（x）在R上单调递增．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

由，得，

因为f（x）为奇函数，所以，．．．．．8分

所以，即，

所以对任意实数x，恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

所以，

解得，所以实数m的取值范围为（8，＋∞）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

20.解：（1）选择条件①．

由及正弦定理，可得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

因为，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

因为，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

选择条件②．

由及正弦定理，可得，

即，

即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

在△ABC中，，

所以，即，

因为，所以，所以，．．．．4分

因为，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

选择条件③．

由及正弦定理，可得，

所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

由余弦定理，得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

因为，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）由正弦定理得，

从而．．．．．．．8分

所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

由于△ABC为锐角三角形，所以，

又，所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分

从而．

因此，△ABC周长的取值范围是． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

21.（1）证明：因为四棱柱的底面ABCD为正方形，

所以，，

所以，

所以四边形为平行四边形，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

所以．

又平面，平面，

所以//平面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

同理//平面．

又，

所以平面//平面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）解：如图，连接，交于，连接，

则，

又，

所以，即．

因为底面ABCD，BD底面ABCD，

所以，又，

所以平面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

在平面内作，垂足为E，则，

又，所以平面，

连接BE，则就是直线与平面所成的角，设为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

因为，，

所以，．

在Rt△中，．

在Rt△中，．

所以．

故直线与平面所成角的正弦值为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

22.解：方案1.

如图1，矩形PQMN内接于扇形OAB，

在Rt△ONP中，设，则，．

在Rt△OMQ中，所以，

．．．．．．．．3分

设矩形PQMN的面积为S，则＝．

由，行，所以当，即时，．

因此，当时，活动场地面积取得最大值，最大值为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

方案2.

如图2，矩形PQMN内接于扇形OAB，

过点O作MN的垂线分别交MN，PQ于S，T，

由对称性可知，OT平分∠AOB．

在Rt△OPT中，设，则．

在Rt△ONS中，，

所以，

．…………9分

设矩形PQMN的面积为S，则．

由，得，所以当，即时，．

因此，当时，活动场地面积取得最大值，最大值为．．．．．．．．．．12分