2020-2021学年浙江省宁波市镇海中学高一（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年浙江省宁波市镇海中学高一（下）期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年浙江省宁波市镇海中学高一（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）下列直线方程纵截距为2的选项为（　　）
A．x+y+2＝0 B． C．x﹣y+2＝0 D．y＝x﹣2
2．（4分）与直线x＝2相切于点（2，0）且半径为1的圆的方程为（　　）
A．（x﹣1）2+y2＝1
B．（x﹣3）2+y2＝1
C．（x+1）2+y2＝1
D．（x﹣1）2+y2＝1或（x﹣3）2+y2＝1
3．（4分）已知A（m，﹣6），B（﹣2，m），P（0，﹣2），Q（﹣5，m），则下列选项中是AB⊥PQ的充分不必要条件的是（　　）
A．m＝﹣12 B．m＝2
C．m＝﹣2 D．m＝﹣2或m＝﹣11
4．（4分）已知空间三点A（﹣2，0，8），P（m，m，m），B（4，﹣4，6），若向量与的夹角为60°，则实数m＝（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
5．（4分）等腰直角△ABC，直角边为2，沿斜边AC边上高BD翻折成直二面角A﹣BD﹣C，则三棱锥A﹣BCD外接球的体积为（　　）
A． B．4π C． D．6π
6．（4分）镇海植物园有两块地，从A，B，C，D四种树木中任选2种树木种植在一块地中，余下2种树木种植在另一块地中，则A，B种植在同一块地的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．（4分）以下四个命题正确的为（　　）
A．在空间中，与不共面的四点A，B，C，D距离相等的平面有4个
B．正方体12条棱中有48对异面直线
C．平行同一个平面的两条直线平行
D．如果两个相交平面同时和第三个平面垂直，则它们的交线垂直第三个平面
8．（4分）已知正四面体ABCD，E为AC中点，F为AB中点，P在线段BD上一个动点（包含端点），则直线CF与直线EP所成角余弦值的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共2小题，每小题4分，共8分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
（多选）9．（4分）下列结论正确的为（　　）
A．正四棱柱是长方体的一类
B．四面体最多有四个钝角三角形
C．若复数z1，z2满足z12＝z22，则|z1|＝|z2|
D．若复数z1，z2满足z1z2∈R，则
（多选）10．（4分）已知直线l：2x+y﹣2a＝0（a＞0），M（s，t）是直线l上的任意一点，直线l与圆x2+y2＝1相切．下列结论正确的为（　　）
A．的最小值为1
B．当s＞0，t＞0时，的最小值为
C．的最小值等于的最小值
D．的最小值不等于的最小值
三、填空题：本题共7小题，每小题5分，共35分．
11．（5分）已知复数z＝12﹣5i（i为虚数单位），则　 　．
12．（5分）倾斜角为90°且与点（1，1）距离为2的直线方程为 　 　．
13．（5分）镇海中学高一各班三分钟跳绳比赛的成绩如下：257，311，267，301，279，296，246，287，257，323，266，293，304，269，332，270，则其第50百分位数为 　 　．
14．（5分）已知E（1，﹣2），F（﹣3，4），M为平面上一个动点满足，则M的轨迹方程为 　 　．
15．（5分）镇海中学大成殿具有悠久的历史，始建于北宋年间，大成殿建筑美观大气，如图：上建筑屋脊状楔体WZ﹣EFGH，下建筑是长方体ABCD﹣EFGH．假设屋脊没有歪斜，即WZ的中点R在底面ABCD上的投影为矩形ABCD的中心点O，WZ∥AB，AB＝30，AD＝20，AE＝10，WZ＝20，OR＝13（长度单位：米）．则大成殿的体积为 　 　（体积单位：立方米）．

16．（5分）已知点M（1，t）在圆x2+y2﹣2ty+1＝0外，则实数t的取值范围为 　 　．
17．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球O半径为1，线段EF是球O的一条动直径（E，F是直径的两端点），点G是正方体ABCD﹣A1B1C1D1表面上一个动点，则的最大值为 　 　．
四、解答题：本题共5小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（15分）直线l：y＝x与圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2＝16相交于A、B两点．
（1）求平行于l且与圆C相切的直线方程；
（2）求△ABC面积．
19．（15分）如图，三棱锥P﹣ABC，△ABC为边长为2的正三角形，△PBC为等腰三角形，其中∠BPC＝90°，PA＝1．
（1）证明：PA⊥BC；
（2）求直线PA与平面ABC所成角的大小．

20．（15分）（1）已知某水果店进了三种产地不同的苹果（新疆、甘肃、山东），甲、乙两人到该店购买一种苹果，若甲、乙买新疆苹果的概率分别为0.2，0.3，买甘肃苹果的概率分别为0.5，0.4．求两人买不相同产地苹果的概率．
（2）某校高一有两个实验班，某次数学考试成绩如下：一班48人平均分135分，方差为8，二班52人平均分130分，方差为10，求全体实验班学生的平均分和方差．
21．（15分）已知△ABC，AB＝BC＝3，∠ABC＝120°，E，F在边AC，BC上，且．将△CEF沿EF翻折为△C'EF，得到四棱锥C'﹣AEFB，其中C'A＝5（如图所示）．
（1）若H为线段C'A上一点，且C'H＝2HA．求证：EH∥平面BC'F；
（2）求二面角A﹣BC'﹣E的余弦值．

22．（15分）已知A（1，1），B（3，3），动点C在直线l：y＝x﹣4上．
（1）设△ABC内切圆半径为r，求r的最大值：
（2）设△ABC外接圆半径为R，求R的最小值，并求此时外接圆的方程．

2020-2021学年浙江省宁波市镇海中学高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）下列直线方程纵截距为2的选项为（　　）
A．x+y+2＝0 B． C．x﹣y+2＝0 D．y＝x﹣2
【解答】解：对于A：令x＝0，解得：y＝﹣2，不合题意，
对于B：令x＝0，解得：y＝4，不合题意，
对于C：令x＝0，解得：y＝2，符合题意，
对于D：令x＝0，解得：y＝﹣2，不合题意，
故选：C．
2．（4分）与直线x＝2相切于点（2，0）且半径为1的圆的方程为（　　）
A．（x﹣1）2+y2＝1
B．（x﹣3）2+y2＝1
C．（x+1）2+y2＝1
D．（x﹣1）2+y2＝1或（x﹣3）2+y2＝1
【解答】解：如图所示，

由图形知，与直线x＝2相切于点（2，0）且半径为1的圆的圆心为（1，0）或（3，0），
所以圆的方程为（x﹣1）2+y2＝1或（x﹣3）2+y2＝1．
故选：D．
3．（4分）已知A（m，﹣6），B（﹣2，m），P（0，﹣2），Q（﹣5，m），则下列选项中是AB⊥PQ的充分不必要条件的是（　　）
A．m＝﹣12 B．m＝2
C．m＝﹣2 D．m＝﹣2或m＝﹣11
【解答】解：∵A（m，﹣6），B（﹣2，m），P（0，﹣2），Q（﹣5，m），
∴（﹣2﹣m，m+6），（﹣5，m+2），
∵AB⊥PQ，∴﹣5（﹣2﹣m）+（m+6）（m+2）＝0，
∴m＝﹣2或m＝﹣11，
∵{﹣2}⊆{﹣2，﹣11}，∴m＝﹣2符合题意．
故选：C．
4．（4分）已知空间三点A（﹣2，0，8），P（m，m，m），B（4，﹣4，6），若向量与的夹角为60°，则实数m＝（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【解答】解：∵（﹣2﹣m，﹣m，8﹣m），（4﹣m，﹣4﹣m，6﹣m），
∴•（﹣2﹣m）（4﹣m）+（﹣m）（﹣4﹣m）+（8﹣m）（6﹣m）＝3m2﹣12m+40，
||，
||，
由•||||cos60°得：3m2﹣12m+40＝（3m2﹣12m+68），
整理得：m2﹣4m+4＝0，解得：m＝2．
故选：B．
5．（4分）等腰直角△ABC，直角边为2，沿斜边AC边上高BD翻折成直二面角A﹣BD﹣C，则三棱锥A﹣BCD外接球的体积为（　　）
A． B．4π C． D．6π
【解答】解：如图，
由等腰直角△ABC的直角边为2，可得DA＝DC＝DB，
把三棱锥A﹣BCD放置在正方体中，则三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，
外接球的半径R，
∴三棱锥A﹣BCD外接球的体积为．
故选：A．

6．（4分）镇海植物园有两块地，从A，B，C，D四种树木中任选2种树木种植在一块地中，余下2种树木种植在另一块地中，则A，B种植在同一块地的概率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：从A，B，C，D四种树木中任选2种树木种植在一块地中，余下2种树木种植在另一块地中，
基本事件总数n6，
A，B种植在同一块地包含的基本事件个数m2，
则A，B种植在同一块地的概率P．
故选：B．
7．（4分）以下四个命题正确的为（　　）
A．在空间中，与不共面的四点A，B，C，D距离相等的平面有4个
B．正方体12条棱中有48对异面直线
C．平行同一个平面的两条直线平行
D．如果两个相交平面同时和第三个平面垂直，则它们的交线垂直第三个平面
【解答】解：对于A：在空间中，与不共面的四点A，B，C，D距离相等的平面有7个，故A错误；
对于B：正方体12条棱中有48÷2＝24对异面直线，故B错误；
对于C：平行同一个平面的两条直线平行或相交或异面，故C错误；
对于D：如果两个相交平面同时和第三个平面垂直，则它们的交线垂直第三个平面，故D正确．
故选：D．
8．（4分）已知正四面体ABCD，E为AC中点，F为AB中点，P在线段BD上一个动点（包含端点），则直线CF与直线EP所成角余弦值的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：连接BE，CF，交于点Q，作PM⊥BE，交BE于点M，
由AC⊥平面DEB，得：PM⊥面ABC，
则PE在底面ABC的射影为EM，
∴coscos∠PEM•cos∠EQC＝cos，
当点P与D重合时，cos，则cos，
当点P与点B重合时，cos∠PEM＝1，则cos．
∴直线CF与直线EP所成角余弦值的取值范围为[]．
故选：A．

二、选择题：本题共2小题，每小题4分，共8分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
（多选）9．（4分）下列结论正确的为（　　）
A．正四棱柱是长方体的一类
B．四面体最多有四个钝角三角形
C．若复数z1，z2满足z12＝z22，则|z1|＝|z2|
D．若复数z1，z2满足z1z2∈R，则
【解答】解：正四棱柱的底面是正方形的直棱柱，所以正四棱柱中是长方体的一类，故选项A正确；
如图所示的四面体中的四个面均是钝角三角形，故选项B正确；
设z1＝a+bi，z2＝x+yi，
因为z12＝z22，即a2﹣b2+2abi＝x2﹣y2+2xyi，
所以，
故（a2+b2）2＝a4+2a2b2+b4
＝（a2﹣b2）2+（2ab）2
＝（x2﹣y2）2+（2xy）2
＝x4+2x2y2+y4
＝（x2+y2）2，
因为a2+b2≥9，x2+y2≥0，
所以a2+b2＝x2+y2，
则|z1|＝|z2|，故选项C正确；
若z1＝i，z2＝i，则z1z2＝1∈R，但是，故选项D错误．
故选：ABC．

（多选）10．（4分）已知直线l：2x+y﹣2a＝0（a＞0），M（s，t）是直线l上的任意一点，直线l与圆x2+y2＝1相切．下列结论正确的为（　　）
A．的最小值为1
B．当s＞0，t＞0时，的最小值为
C．的最小值等于的最小值
D．的最小值不等于的最小值
【解答】解：A中，当点M是直线与圆的切点时，|OM|最小，且为圆的半径1，所以A正确；
B中，因为直线与圆相切，所以d1，因为a＞0，所以2a，
所以直线l的方程为：2x+y0，
因为M在直线上，所以2s+t，
当s＞0，t＞0，则直线l的方程为：2s+t，
所以（）•（2s+t）（5）（5+2），当且仅当时取等号，所以B正确；
因为ssss，因为s∈R，
所以s的最小值为|s|，所以C正确，D不正确，
故选：ABC．
三、填空题：本题共7小题，每小题5分，共35分．
11．（5分）已知复数z＝12﹣5i（i为虚数单位），则　　．
【解答】解：因为z＝12﹣5i，
则．
故答案为：．
12．（5分）倾斜角为90°且与点（1，1）距离为2的直线方程为 　x＝3或x＝﹣1　．
【解答】解：∵所求直线的倾斜角是90°，
∴所求直线和直线x＝1平行，
与直线x＝1距离为2的直线方程为：x＝3或x＝﹣1，
故答案为：x＝3或x＝﹣1．
13．（5分）镇海中学高一各班三分钟跳绳比赛的成绩如下：257，311，267，301，279，296，246，287，257，323，266，293，304，269，332，270，则其第50百分位数为 　283　．
【解答】解：数据从小到大排序如下，
246，257，257，266，267，269，270，279，287，293，296，301，304，311，323，332共16个数据，
第8、9个数据为279，287，
则其第50百分位数为283，
故答案为：283．
14．（5分）已知E（1，﹣2），F（﹣3，4），M为平面上一个动点满足，则M的轨迹方程为 　　．
【解答】解：设M（x，y），由条件得，
两边平方，化简整理得．
故答案为：．
15．（5分）镇海中学大成殿具有悠久的历史，始建于北宋年间，大成殿建筑美观大气，如图：上建筑屋脊状楔体WZ﹣EFGH，下建筑是长方体ABCD﹣EFGH．假设屋脊没有歪斜，即WZ的中点R在底面ABCD上的投影为矩形ABCD的中心点O，WZ∥AB，AB＝30，AD＝20，AE＝10，WZ＝20，OR＝13（长度单位：米）．则大成殿的体积为 　6800　（体积单位：立方米）．

【解答】解：大成殿下面的部分是一个长方体，上面的部分可以分割为一个三棱柱和两个四棱锥，
其中长方体的体积 V1＝30×20×10＝6000，
三棱柱的体积：，
四棱锥的体积：，
故大成殿的体积：V＝6000+600+2×100＝6800．
故答案为：6800．
16．（5分）已知点M（1，t）在圆x2+y2﹣2ty+1＝0外，则实数t的取值范围为 　（，﹣1）∪（1，）　．
【解答】解：因为M（1，t）在圆x2+y2﹣2ty+1＝0外，即在圆x2+（y﹣t）2＝t2﹣1外，
所以可得：t2﹣1＞0，且1+t2﹣2t2+1＞0，即1＜t2＜2，
解得：（，﹣1）∪（1，），
故答案为：（，﹣1）∪（1，）．
17．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球O半径为1，线段EF是球O的一条动直径（E，F是直径的两端点），点G是正方体ABCD﹣A1B1C1D1表面上一个动点，则的最大值为 　2　．
【解答】解：由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球O半径为1，可得正方体的棱长为2，
体对角线长为2，
由题意，E，F是直径的两端点，可得，•1，
则（）•（）•（）•0﹣11，
当点G在正方体顶点时，最大，且最大值为3，
则1的最大值为2，
故答案为：2．
四、解答题：本题共5小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（15分）直线l：y＝x与圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2＝16相交于A、B两点．
（1）求平行于l且与圆C相切的直线方程；
（2）求△ABC面积．
【解答】解：（1）设切线方程为y＝x+b，，
∴．
∴切线方程为或．
（2）作CD⊥AB，，
∴．
∴．
19．（15分）如图，三棱锥P﹣ABC，△ABC为边长为2的正三角形，△PBC为等腰三角形，其中∠BPC＝90°，PA＝1．
（1）证明：PA⊥BC；
（2）求直线PA与平面ABC所成角的大小．

【解答】解：（1）证明：取 BC 中点 O，连接 AO，PO，

所以 AO⊥BC，PO⊥BC，且 AO∩PO＝O，
即 BC⊥平面PAO，又 PA⊂平面PAO，
所以 PA⊥BC．
（2）由（1）得：BC⊥平面 PAO，又 BC⊂平面 ABC，
所以平面 ABC⊥平面 PAO 且交线为 AO．
再作 PM⊥AO，PM⊂平面 PAO，
所以：PM⊥平面 ABC，
即∠PAO 即为直线 PA 与平面 ABC 所成角的平面角，
易得：，
所以∠PAO＝30°．
另解：（1）以AC中点为原点建立如图所示空间直角坐标系，

则，设P（a，b，c），
因为 ，
所以⇒，
故点 ，
，
所以，
即 PA⊥BC．
（2）由题易得平面 ABC 的法向量为：，
设直线PA与平面ABC所成角的大小为α，
所以 ．

20．（15分）（1）已知某水果店进了三种产地不同的苹果（新疆、甘肃、山东），甲、乙两人到该店购买一种苹果，若甲、乙买新疆苹果的概率分别为0.2，0.3，买甘肃苹果的概率分别为0.5，0.4．求两人买不相同产地苹果的概率．
（2）某校高一有两个实验班，某次数学考试成绩如下：一班48人平均分135分，方差为8，二班52人平均分130分，方差为10，求全体实验班学生的平均分和方差．
【解答】解：（1）根据相互独立事件的概率计算公式，计算所求的概率为：
P＝1﹣0.2×0.3﹣0.5×0.4﹣0.3×0.3＝0.65；
（2）全体实验班的平均分为，
方差为．
21．（15分）已知△ABC，AB＝BC＝3，∠ABC＝120°，E，F在边AC，BC上，且．将△CEF沿EF翻折为△C'EF，得到四棱锥C'﹣AEFB，其中C'A＝5（如图所示）．
（1）若H为线段C'A上一点，且C'H＝2HA．求证：EH∥平面BC'F；
（2）求二面角A﹣BC'﹣E的余弦值．

【解答】解：（1）证明：取 BC′上一三等分点 M 使得 C′M＝2MB，

由 ∥且EF，
C′H＝2 HA，即HM∥AB且HM，
所以FF∥HM且FM∥EH，
所以EFMH为平行四边形，所以EH∥FM，又EH⊄平面 BC′F，
FM⊂平面 BC′F，所以EH∥平面BC′F．
（2）设AC的中为点O，以O为原点，OC所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，
以过O点且垂直平面ABC的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

，
，
因为，
所以⇒，故点．
设面ABC′的法向量，面BC′E的法向量，
由 ，
则⇒，取，解得．
⇒，取，解得．
即可得，
所以．
故二面角A﹣BC'﹣E的余弦值为．

22．（15分）已知A（1，1），B（3，3），动点C在直线l：y＝x﹣4上．
（1）设△ABC内切圆半径为r，求r的最大值：
（2）设△ABC外接圆半径为R，求R的最小值，并求此时外接圆的方程．
【解答】解：（1）因为动点C在直线l：y＝x﹣4上，设点C（x，x﹣4），
又A（1，1），B（3，3），则|AB|，
点C到直线AB：y＝x的距离为d，
则△ABC的面积为，
所以，
要求r的最大值，即求AC+BC的最小值，
点A（1，1）关于直线y＝x﹣4对应的点A'（5，﹣3），
所以AC+BC＝A'C+BC，
当且仅当A'，B，C三点共线时，A'C+BC最小，
所以AC+BC＝A'C+BC，
则r的最大值为；
（2）由题意可知，AB中垂线方程为y＝﹣x+4，AC中垂线方程为，
则两条中垂线方程的交点即为圆心的坐标，
所以圆心坐标为，
设t＝（m2﹣8m+19）∈[3，+∞），
所以，
所以，此时m＝4，圆心坐标为，
所以外接圆方程为．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/5/26 10:14:51；用户：高中数学；邮箱：sdgs@xyh.com；学号：28144983