2021-2022学年浙江省杭州市采荷中学教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2021-2022学年浙江省杭州市采荷中学教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析），共19页。
2021-2022学年浙江省杭州市采荷中学教育集团八年级（下）期中数学试卷 一．选择题（本题共10小题，共30分）已知二次根式，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 已知平行四边形中，，则(    )A.  B.  C.  D. 下列所给图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是(    )A.  B.  C.  D. 已知是方程的一个根，则代数式的值等于(    )A.  B.  C.  D. 下列根式中属于最简二次根式的是(    )A.  B.  C.  D. 某超市一月份的营业额为万元，三月份的营业额为万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长(    )A.  B.  C.  D. 若一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数是(    )A.  B.  C.  D. 选择用反证法证明“已知：在中，求证：，中至少有一个角不大于”时，应先假设(    )A. ， B. ，
C. ， D. ，四边形中，对角线、相交于点，给出下列四个条件：；；；从中任选两个条件，能使四边形为平行四边形的选法有(    )A. 种 B. 种 C. 种 D. 种已知中，，，，为斜边上的中点，是直角边上的一点，连接，将沿折叠至，交于点，若的面积是面积的一半，则为(    ) B.  C.  D. 二．填空题（本题共9小题，共33分）比较大小：______．一个菱形的周长为，一条对角线长为，则其面积为______ ．若已知数据，，的平均数为，那么数据，，的平均数为______用含的代数式表示．若关于的一元二次方程有两个相等实数根，则______．如图，已知中，，，为的三等分点，，，，分别为，的中点，则四边形的周长为______．
若，且，，则的值是______．设关于的方程只有个不相等的实数根，则的值为______．设，求不超过的最大整数______．已知实数，，满足，且，则的最大值为______．三．解答题（本题共8小题，共72分）计算：；
解方程：．已知，求的值． 如图，是的中线，，且，连接，．
求证：；
当满足什么条件时，四边形是矩形？并说明理由．
一次学情检测中，，，，，五位同学的数学、英语成绩有如下信息： 平均分方差数学 英语 求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的方差；
学校进行“达人”社团招新，通过初期筛选，现以本次检测的数学、英语成绩为依据在、两位同学中取得分高的录取，规定数学成绩占，英语成绩占来计算总得分，请问哪位同学得分高，能够被“达人”社团录取？已知关于的方程．
求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
若方程的一个实数根是，求的值及方程的另一个实数根．年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和雪容融深受大家的喜欢．某供应商今年月第一周购进一批冰墩墩和雪容融，已知一个冰墩墩的进价比一个雪容融的进价多元，购进个冰墩墩和个雪容融的价格相同．
今年月第一周每个冰墩墩和雪容融的进价分别是多少元？
今年月第一周，供应商以元每个售出冰墩墩个，第二周每个冰墩墩的售价在第一周的基础上下降元，销量比第一周增加个．最终供应商两周总共获利元，求的值．在中，，，，点从点出发以每秒的速度向点运动，点从点出发以每秒的速度向点运动，、同时出发，其中一个点抵达终点时另一个也停止运动．若它们运动的时间用秒表示，那么：
当时，求线段的长；
当等于何值时，的面积为？
点为的中点，连接，，是否存在点、运动的时间，使、互相平分？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
如图，在菱形中，于点．
若，，求菱形的周长；
连结交于点；
若，求证：．
设四边形和的面积分别是和，若，，求线段的长．
 
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：由题意可知：，
．
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数解答即可．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 2.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了平行四边形性质和平行线的性质的应用，主要考查学生运用平行四边形性质进行推理的能力，题目比较好，难度也不大．关键平行四边形性质求出，，推出，求出的度数，即可求出．
【解答】
解：

四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
故选B．  3.【答案】 【解析】解：、此图形不是中心对称图形，不是轴对称图形，故A选项错误；
B、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故B选项错误；
C、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故C选项正确；
D、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故D选项错误．
故选：．
根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，关键是找出图形的对称中心与对称轴．
 4.【答案】 【解析】解：是方程的一个根，
，
，
．
故选：．
先根据一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 5.【答案】 【解析】解：选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：设平均每月的增长率为，
根据题意得：，
，
，舍去，
答：平均每月的增长率为．
故选：．
设平均每月的增长率为，原数为万元，后来数为万元，增长了两个月，根据公式“原数增长百分率后来数”得出方程，解出即可．
本题是一元二次方程的应用，属于增长率问题；增长率问题：增长率增长数量原数量如：若原数是，每次增长的百分率为，则第一次增长后为；第二次增长后为，即原数增长百分率后来数．
 7.【答案】 【解析】解：，所以这个正多边形是正十边形．
故选D．
利用多边形的外角和是，正多边形的每个外角都是，即可求出答案．
本题主要考查了多边形的外角和定理．是需要识记的内容．
 8.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查了反证法，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口．
用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．
【解答】
解：用反证法证明命题“，中至少有一个角不大于”时，应先假设，．
故选：．  9.【答案】 【解析】解：组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形为平行四边形；
组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形为平行四边形；
可证明≌，进而得到，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形为平行四边形；
可证明≌，进而得到，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形为平行四边形；
有种可能使四边形为平行四边形．
故选：．
根据题目所给条件，利用平行四边形的判定方法分别进行分析即可．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理．
 10.【答案】 【解析】解：如图所示，连接，过作于，
，，，
由勾股定理得，
由折叠可得，与全等，
的面积是面积的一半，
的面积是面积的一半，且，
是的中点，
又是的中点，
，即是的中点，
又，
≌，
，
又，
中，，
，是的中点，
是的中点，即，
，，
中，，
故选：．
连接，过作于，先判定≌，即可得出，再根据勾股定理求得的长，进而得出和的长，再根据勾股定理即可得到的长．
本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
 11.【答案】 【解析】解：，，
．
故答案为：．
先把两数平方，再根据实数比较大小的方法即可比较大小．
此题主要考查了实数的大小的比较，实数大小比较法则：
正数大于，大于负数，正数大于负数；
两个负数，绝对值大的反而小．
 12.【答案】 【解析】解：如图所示：
四边形是菱形，
，，，，
菱形的周长为，
，
在中，根据勾股定理得：，
，
菱形的面积，
故答案为．
先由菱形的周长求出边长，再根据菱形的性质求出，然后由勾股定理求出，即可得出，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可．
本题考查了菱形的性质以及勾股定理的运用；熟练掌握菱形的性质和运用勾股定理计算是解决问题的关键．
 13.【答案】 【解析】解：数、、的平均数为，
数，，的平均数

．
故答案为．
根据平均数的性质知，要求，，的平均数，只要把数，，的和表示出即可．
本题考查的是样本平均数的求法．解决本题的关键是用一组数据的平均数表示另一组数据的平均数．
 14.【答案】 【解析】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，即，
解得．
故答案为：．
根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 15.【答案】 【解析】解：，是的三等分点，，且．
，分别是，的中点，是的中位线，．
是的中位线，．
是的中位线，．
四边形的周长．
故答案是：．
根据题意可以得到：是的中位线，是的中位线，是的中位线，由中位线的性质求出这三条线段的长，再加上的长就能求出四边形的周长．
本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据三角形中位线的性质求出四边形中相应边的长，然后求出四边形的周长．
 16.【答案】 【解析】解：，
．
把两边都除以，得．
，
，
，是方程的两个不相等的实数根，
．
故答案为：．
方程可变形为，把两边都除以得，结合可得出，是方程的两个不相等的实数根，再利用根与系数的关系可得答案．
本题考查了根与系数的关系以及分式的值，根据已知条件得到，是方程的两个不相等的实数根是解题的难点．
17.【答案】 【解析】解：，
或，
方程不可能有相同的根，
而原方程有个不相等的实数根，
方程中有一个有等根，
而，
，
，
故答案为：．
首先去掉绝对值符号，原方程可化为两个一元二次方程．原方程只有个不相等的实数根，则其中一个判别式大于零，另一个判别式等于零，由此即可确定的值．18.【答案】 【解析】解：




，
，
不超过的最大整数．
故答案为：．
首先将化简，可得，然后再代入原式求出，即可得出答案．
本题考查二次根式的化简，能正确化简是解题的关键．
 19.【答案】 【解析】解：，
，．
，
．
．
．
，
．
，
，解得．
故答案为：．
根据已知条件中、、的关系式，用含、的代数式把含的式子表示出来，然后利用含、式子的特点得出关于的不等式，解不等式求出即可．
本题考查了因式分解的应用，用到的知识点为：逆用完全平方公式．
 
 20.【答案】解：

；
，
，
，
或，
所以，． 【解析】先进行化简，再利用二次根式的混合运算法则计算即可；
先移项得到，然后利用因式分解法解方程．
本题主要考查二次根式的混合运算，解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
21.【答案】解：将等式整理配方，得，则
，，，
，，，
． 【解析】根据非负数的性质列出方程求出、、的值，代入所求代数式计算即可．
本题考查了非负数的性质：初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式算术平方根当它们相加和为时，必须满足其中的每一项都等于．
  22.【答案】证明：是的中线，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
；
当满足时，四边形是矩形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
当时，，
四边形是矩形． 【解析】根据三角形中位线定理和平行四边形的判定和性质解答即可；
根据矩形的判定解答即可．
此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质以及矩形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
 23.【答案】解：数学成绩的平均分为：；
英语成绩的方差为：；
答：这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分为和英语成绩的方差为；

同学的总得分为，
同学的总得分为，
同学的总得分为，
同学的总得分为，
同学的总得分为，
因为同学的总得分高，
所以是同学能够被“达人”社团录取．
答：同学的总得分高，能够被“达人”社团录取． 【解析】由平均数的概念计算五位同学数学成绩的平均数，再根据方差的定义得出五位同学英语成绩的方差即可；
分别求得，，，，五位同学的得分，比较即可得到结论．
本题考查的是加权平均数和方差的计算，掌握平均数和方差的计算公式是解题的关键．
 24.【答案】证明：原方程化为，

，
而，
，
无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
解：设方程的另一个根为，
根据根与系数的关系得，，
，
，
整理得，
，
即的值为，方程的另一个实数根为． 【解析】先计算根的判别式的值，再利用非负数的性质证明，然后根据根的判别式的意义得到结论；
设方程的另一个根为，则利用根与系数的关系得，，则，消去得到，然后解关于的方程，再计算的值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，也考查了根的判别式．
 25.【答案】解：设今年月第一周每个冰墩墩的进价是元，每个雪容融的进价是元，
依题意得：，
解得：．
答：今年月第一周每个冰墩墩的进价是元，每个雪容融的进价是元．
依题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：的值为． 【解析】设今年月第一周每个冰墩墩的进价是元，每个雪容融的进价是元，根据“一个冰墩墩的进价比一个雪容融的进价多元，购进个冰墩墩和个雪容融的价格相同”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
利用总利润每个的销售利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
 26.【答案】解：如图，由题意得：，，
当时，，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即线段的长为；
，，，
，
的面积，
，
解得：或，
即当等于或时，的面积为；
不存在点、运动的时间，使、互相平分，理由如下：
如图，连接、，
当、互相平分时，四边形是平行四边形，
，，
点为的中点，
是的中点，
，是的中位线，
，
，
不存在点、运动的时间，使、互相平分． 【解析】由题意得，，当时，，，则，再由勾股定理求出的长即可；
求出，由三角形面积公式得，求解即可；
当、互相平分时，四边形是平行四边形，则，，得是的中点，则，是的中位线，再由三角形中位线定理得，得，即可得出结论．
本题是三角形综合题目，考查了勾股定理、三角形面积公式、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定与性质和三角形中位线定理是解题的关键．
 27.【答案】解：，
，
四边形是菱形，
，
在中，，
，解得：负值舍去，
，
菱形的周长是；

证明：连接，连接交于点，

四边形是菱形，
平分，，，
，
，
，
，，
平分，
平分，
，
，，
在与中，

≌，
；

连接，连接交于点，

四边形是菱形，
，，平分，，
，
，
≌，
，，
四边形和的面积分别是和，，
，
，
，
，
，设，则，在中，，即，解得：，即，在中，． 【解析】由得，根据菱形的性质可得，在中，根据勾股定理求出，即可得菱形的周长；
连接，连接交于点，根据菱形的性质可得平分，，，可得，由得，可得平分，根据三角形角平分线的性质可得平分，利用可证≌，由全等三角形的性质即可得出结论；
接，连接交于点，先证明，则，，由可得，可得出，根据勾股定理求出，得到，设，在中，利用勾股定理列出方程，求出值，得到，根据勾股定理求出的长．
本题考查四边形综合题，考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的角平分线的性质、勾股定理、三角形面积，锐角三角函数等知识；熟练掌握菱形的性质，学会添加常用辅助线，证明三角形全等是解题的关键．