2022届黑龙江省哈尔滨市道里区重点中学中考二模数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项:

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．如图，正比例函数y=x与反比例函数的图象交于A（2，2）、B（﹣2，﹣2）两点，当y=x的函数值大于的函数值时，x的取值范围是（ ）

A．x＞2    B．x＜﹣2

C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2    D．﹣2＜x＜0或x＞2

2．目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.000 000 04m，将0.000 000 04用科学记数法表示为（　　）

A．0.4×108 B．4×108 C．4×10﹣8 D．﹣4×108

3．如图，四边形ABCE内接于⊙O，∠DCE=50°，则∠BOE=（　　）

A．100° B．50° C．70° D．130°

4．如图，直线a∥b，一块含60°角的直角三角板ABC（∠A＝60°）按如图所示放置．若∠1＝55°，则∠2的度数为（　　）

A．105° B．110° C．115° D．120°

5．下列多边形中，内角和是一个三角形内角和的4倍的是（　　）

A．四边形    B．五边形    C．六边形    D．八边形

6．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，∠BAC的度数为（ ）．

A．60 ° B．75° C．85° D．90°

7．如图，已知⊙O的半径为5，AB是⊙O的弦，AB=8，Q为AB中点，P是圆上的一点（不与A、B重合），连接PQ，则PQ的最小值为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．8

8．下列各式：①a0=1 ②a2·a3=a5 ③ 2–2= –④–(3－5)＋(–2)4÷8×(–1)=0⑤x2+x2=2x2，其中正确的是 ( )

A．①②③ B．①③⑤ C．②③④ D．②④⑤

9．有四包真空包装的火腿肠，每包以标准质量450g为基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数．下面的数据是记录结果，其中与标准质量最接近的是（　　）

A．+2 B．﹣3 C．+4 D．﹣1

10．一个正方体的平面展开图如图所示，将它折成正方体后“建”字对面是（   ）

A．和 B．谐 C．凉 D．山

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．李明早上骑自行车上学，中途因道路施工推车步行了一段路，到学校共用时15分钟．如果他骑自行车的平均速度是每分钟250米，推车步行的平均速度是每分钟80米，他家离学校的路程是2900米，设他推车步行的时间为x分钟，那么可列出的方程是_____________.

12．如图，在△ABC中，AB=AC=2，BC=1．点E为BC边上一动点，连接AE，作∠AEF=∠B，EF与△ABC的外角∠ACD的平分线交于点F．当EF⊥AC时，EF的长为_______．

13．抛物线y＝x2﹣4x+与x轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是______．

14．某一时刻，测得一根高1.5m的竹竿在阳光下的影长为2.5m．同时测得旗杆在阳光下的影长为30m，则旗杆的高为__________m．

15．函数中，自变量的取值范围是______

16．已知一组数据－3，x，－2， 3，1，6的众数为3，则这组数据的中位数为______．

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分）解方程组：

18．（8分）4月9日上午8时，2017 徐州国际马拉松赛鸣枪开跑，一名岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛，下面是两个孩子与记者的对话：

根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄.

19．（8分）如图：△PCD是等腰直角三角形，∠DPC=90°，∠APB=135°

求证：（1）△PAC∽△BPD；

（2）若AC=3，BD=1，求CD的长．

20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．求m的取值范围；如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．

21．（8分）如图，在△ABC中，BC＝12，tanA＝，∠B＝30°；求AC和AB的长．

22．（10分）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是边AD上一点，EM⊥EC交AB于点M，点N在射线MB上，且AE是AM和AN的比例中项．

如图1，求证：∠ANE＝∠DCE；如图2，当点N在线段MB之间，联结AC，且AC与NE互相垂直，求MN的长；连接AC，如果△AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似，求DE的长．

23．（12分）如图，点O是△ABC的边AB上一点，⊙O与边AC相切于点E，与边BC，AB分别相交于点D，F，且DE=EF．求证：∠C=90°；当BC=3，sinA=时，求AF的长．

24．先化简，再求值：﹣1，其中a=2sin60°﹣tan45°，b=1．

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、D

【解析】

试题分析：观察函数图象得到当﹣2＜x＜0或x＞2时，正比例函数图象都在反比例函数图象上方，即有y=x的函数值大于的函数值．故选D．

考点：1.反比例函数与一次函数的交点问题；2. 数形结合思想的应用．

2、C

【解析】
科学记数法的表示形式为a×10 的形式,其中1≤a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.

【详解】

0.000 000 04=4×10,

故选C

【点睛】

此题考查科学记数法，难度不大

3、A

【解析】
根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角求出∠A，根据圆周角定理计算即可．

【详解】

四边形ABCE内接于⊙O，

，

由圆周角定理可得，，

故选：A．

【点睛】

本题考查的知识点是圆的内接四边形性质，解题关键是熟记圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.

4、C

【解析】
如图，首先证明∠AMO=∠2，然后运用对顶角的性质求出∠ANM=55°；借助三角形外角的性质求出∠AMO即可解决问题．

【详解】

如图，对图形进行点标注.

∵直线a∥b，

∴∠AMO=∠2；

∵∠ANM=∠1，而∠1=55°，

∴∠ANM=55°，

∴∠2=∠AMO=∠A+∠ANM=60°+55°=115°，

故选C.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

5、C

【解析】
利用多边形的内角和公式列方程求解即可

【详解】

设这个多边形的边数为n．

由题意得：（n﹣2）×180°=4×180°．

解得：n=1．

答：这个多边形的边数为1．

故选C．

【点睛】

本题主要考查的是多边形的内角和公式，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．

6、C

【解析】

试题分析：根据旋转的性质知，∠EAC=∠BAD=65°，∠C=∠E=70°．

如图，设AD⊥BC于点F．则∠AFB=90°，

∴在Rt△ABF中，∠B=90°-∠BAD=25°，

∴在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-25°-70°=85°，

即∠BAC的度数为85°．故选C．

考点: 旋转的性质.

7、B

【解析】
连接OP、OA，根据垂径定理求出AQ，根据勾股定理求出OQ，计算即可．

【详解】

解：

由题意得，当点P为劣弧AB的中点时，PQ最小，
连接OP、OA，

由垂径定理得，点Q在OP上，AQ=AB=4，

在Rt△AOB中，OQ==3，

∴PQ=OP-OQ=2，

故选：B．

【点睛】

本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理的推论是解题的关键．

8、D

【解析】
根据实数的运算法则即可一一判断求解.

【详解】

①有理数的0次幂，当a=0时，a0=0；②为同底数幂相乘，底数不变，指数相加，正确；③中2–2= ，原式错误；④为有理数的混合运算，正确；⑤为合并同类项，正确．

故选D.

9、D

【解析】

试题解析：因为|+2|=2，|-3|=3，|+4|=4，|-1|=1，

由于|-1|最小，所以从轻重的角度看，质量是-1的工件最接近标准工件．

故选D．

10、D

【解析】

分析：本题考查了正方体的平面展开图，对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形，据此作答．

详解：对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形，由图形可知，与“建”字相对的字是“山”．

故选：D．

点睛：注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、

【解析】

分析：

根据题意把李明步行和骑车各自所走路程表达出来，再结合步行和骑车所走总里程为2900米，列出方程即可.

详解：

设他推车步行的时间为x分钟，根据题意可得：

80x+250(15-x)=2900.

故答案为80x+250(15-x)=2900.

点睛：弄清本题中的等量关系：李明推车步行的路程+李明骑车行驶的路程=2900是解题的关键.

12、1+

【解析】
当AB=AC，∠AEF=∠B时，∠AEF=∠ACB，当EF⊥AC时，∠ACB+∠CEF=90°=∠AEF+∠CEF，即可得到AE⊥BC，依据Rt△CFG≌Rt△CFH，可得CH=CG=，再根据勾股定理即可得到EF的长．

【详解】

解：如图，

当AB=AC，∠AEF=∠B时，∠AEF=∠ACB，

当EF⊥AC时，∠ACB+∠CEF=90°=∠AEF+∠CEF，

∴AE⊥BC，

∴CE=BC=2，

又∵AC=2，

∴AE=1，EG==，

∴CG==，

作FH⊥CD于H，

∵CF平分∠ACD，

∴FG=FH，而CF=CF，

∴Rt△CFG≌Rt△CFH，

∴CH=CG=，

设EF=x，则HF=GF=x-，

∵Rt△EFH中，EH2+FH2=EF2，

∴（2+）2+（x-）2=x2，

解得x=1+，

故答案为1+．

【点睛】

本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理以及等腰三角形的性质的运用，解决问题的关键是掌握等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．

13、（3，0）

【解析】
把交点坐标代入抛物线解析式求m的值，再令y=0解一元二次方程求另一交点的横坐标．

【详解】

把点（1，0）代入抛物线y=x2-4x+中，得m=6，

所以，原方程为y=x2-4x+3，

令y=0，解方程x2-4x+3=0，得x1=1，x2=3

∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）．

故答案为（3，0）.

【点睛】

本题考查了点的坐标与抛物线解析式的关系，抛物线与x轴交点坐标的求法．本题也可以用根与系数关系直接求解．

14、1．

【解析】

分析：根据同一时刻物高与影长成比例，列出比例式再代入数据计算即可．

详解：∵==，解得：旗杆的高度=×30=1．

    故答案为1．

点睛：本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立数学模型来解决问题．

15、x≠1

【解析】
解：∵有意义，

∴x-1≠0,

∴x≠1;

故答案是：x≠1．

16、

【解析】

分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个．
详解：∵－3，x，－1， 3，1，6的众数是3，
∴x=3，
先对这组数据按从小到大的顺序重新排序-3、-1、1、3、3、6位于最中间的数是1,3，
∴这组数的中位数是=1．
故答案为： 1．

点睛：本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数.

三、解答题（共8题，共72分）

17、

【解析】
设=a， =b，则原方程组化为，求出方程组的解，再求出原方程组的解即可．

【详解】

设=a， =b，

则原方程组化为：，

①+②得：4a=4，

解得：a=1，

把a=1代入①得：1+b=3，

解得：b=2，

即，

解得：，

经检验是原方程组的解，

所以原方程组的解是．

【点睛】

此题考查利用换元法解方程组，注意要根据方程组的特点灵活选用合适的方法. 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它,从而使问题得到简化，这叫换元法.换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理.

18、今年妹妹6岁，哥哥10岁．

【解析】
试题分析：设今年妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁，根据两个孩子的对话，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．

试题解析：设今年妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁，

根据题意得：

解得： ．

答：今年妹妹6岁，哥哥10岁．

考点：二元一次方程组的应用．

19、（1）见解析；（2）.

【解析】
（1）由△PCD是等腰直角三角形，∠DPC=90°，∠APB=135°，可得∠PAB=∠PBD，∠BPD=∠PAC，从而即可证明；
（2）根据相似三角形对应边成比例即可求出PC=PD=，再由勾股定理即可求解．

【详解】

证明：（1）∵△PCD是等腰直角三角形，∠DPC=90°，∠APB=135°，

∴∠APC+∠BPD=45°，
又∠PAB+∠PBA=45°，∠PBA+∠PBD=45°，

∴∠PAB=∠PBD，∠BPD=∠PAC，
∵∠PCA=∠PDB，

∴△PAC∽△BPD；
（2）∵，PC=PD，AC=3，BD=1
∴PC=PD=，
∴CD=．

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质及等腰直角三角形，属于基础题，关键是掌握相似三角形的判定方法．

20、（1）m≤1；（2）3≤m≤1．

【解析】

试题分析：（1）根据判别式的意义得到△=（-6）2-1（2m+1）≥0，然后解不等式即可；

（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=6，x1x2=2m+1，再利用2x1x2+x1+x2≥20得到2（2m+1）+6≥20，然后解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的m的取值范围．

试题解析：

（1）根据题意得△＝（－6）2－1（2m＋1）≥0，   

解得m≤1；

（2）根据题意得x1＋x2＝6，x1x2＝2m＋1，        

而2x1x2＋x1＋x2≥20，所以2（2m＋1）＋6≥20， 解得m≥3，

而m≤1，所以m的范围为3≤m≤1．

21、8+6．

【解析】
如图作CH⊥AB于H．在Rt△BHC求出CH、BH，在Rt△ACH中求出AH、AC即可解决问题；

【详解】

解：如图作CH⊥AB于H．

在Rt△BCH中，∵BC＝12，∠B＝30°，

∴CH＝BC＝6，BH＝＝6，

在Rt△ACH中，tanA＝＝，

∴AH＝8，

∴AC＝＝10，

【点睛】

本题考查解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

22、（1）见解析；（2）；（1）DE的长分别为或1．

【解析】
（1）由比例中项知，据此可证△AME∽△AEN得∠AEM＝∠ANE，再证∠AEM＝∠DCE可得答案；

（2）先证∠ANE＝∠EAC，结合∠ANE＝∠DCE得∠DCE＝∠EAC，从而知，据此求得AE＝8﹣＝，由（1）得∠AEM＝∠DCE，据此知，求得AM＝，由求得MN＝；

（1）分∠ENM＝∠EAC和∠ENM＝∠ECA两种情况分别求解可得．

【详解】

解：（1）∵AE是AM和AN的比例中项

∴，

∵∠A＝∠A，

∴△AME∽△AEN，

∴∠AEM＝∠ANE，

∵∠D＝90°，

∴∠DCE＋∠DEC＝90°，

∵EM⊥BC，

∴∠AEM＋∠DEC＝90°，

∴∠AEM＝∠DCE，

∴∠ANE＝∠DCE；

（2）∵AC与NE互相垂直，

∴∠EAC＋∠AEN＝90°，

∵∠BAC＝90°，

∴∠ANE＋∠AEN＝90°，

∴∠ANE＝∠EAC，

由（1）得∠ANE＝∠DCE，

∴∠DCE＝∠EAC，

∴tan∠DCE＝tan∠DAC，

∴，

∵DC＝AB＝6，AD＝8，

∴DE＝，

∴AE＝8﹣＝，

由（1）得∠AEM＝∠DCE，

∴tan∠AEM＝tan∠DCE，

∴，

∴AM＝，

∵，

∴AN＝，

∴MN＝；

（1）∵∠NME＝∠MAE＋∠AEM，∠AEC＝∠D＋∠DCE，

又∠MAE＝∠D＝90°，由（1）得∠AEM＝∠DCE，

∴∠AEC＝∠NME，

当△AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似时

①∠ENM＝∠EAC，如图2，

∴∠ANE＝∠EAC，

由（2）得：DE＝；

②∠ENM＝∠ECA，

如图1，

过点E作EH⊥AC，垂足为点H，

由（1）得∠ANE＝∠DCE，

∴∠ECA＝∠DCE，

∴HE＝DE，

又tan∠HAE＝，

设DE＝1x，则HE＝1x，AH＝4x，AE＝5x，

又AE＋DE＝AD，

∴5x＋1x＝8，

解得x＝1，

∴DE＝1x＝1，

综上所述，DE的长分别为或1．

【点睛】

本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质、三角函数的应用等知识点．

23、（1）见解析（2）

【解析】
（1）连接OE，BE，因为DE=EF，所以=，从而易证∠OEB=∠DBE，所以OE∥BC，从可证明BC⊥AC；

（2）设⊙O的半径为r，则AO=5﹣r，在Rt△AOE中，sinA=从而可求出r的值．

【详解】

解:（1）连接OE，BE，

∵DE=EF，

∴=

∴∠OBE=∠DBE

∵OE=OB，

∴∠OEB=∠OBE

∴∠OEB=∠DBE，

∴OE∥BC

∵⊙O与边AC相切于点E，

∴OE⊥AC

∴BC⊥AC

∴∠C=90°

（2）在△ABC，∠C=90°，BC=3，sinA=，

∴AB=5，

设⊙O的半径为r，则AO=5﹣r，

在Rt△AOE中，sinA=

∴

∴

【点睛】

本题考查圆的综合问题，涉及平行线的判定与性质，锐角三角函数，解方程等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．

24、

【解析】
对待求式的分子、分母进行因式分解，并将除法化为乘法可得×-1，通过约分即可得到化简结果；先利用特殊角的三角函数值求出a的值，再将a、b的值代入化简结果中计算即可解答本题.

【详解】

原式=×-1

=-1

=

=，

当a═2sin60°﹣tan45°=2×﹣1=﹣1，b=1时，

原式=.

【点睛】

本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练的掌握分式的化简求值运算法则.