专题02 倍长中线法（教师版） 备战2021年中考几何压轴题分类导练学案

专题2：倍长中线法

【典例引领】

例题：（2014黑龙江龙东地区）已知ΔABC中，M为BC的中点，直线m绕点A旋转，过B、M、C分别作BD⊥m于E，CF⊥m于F。

（1）当直线m经过B点时，如图1，易证EM=CF。（不需证明）

（2）当直线m不经过B点，旋转到如图2、图3的位置时，线段BD、ME、CF之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况加以证明。

【答案】（2）证明见解析

【分析】图2，连接DM并延长交FC的延长线于K ，可证△DBM≌△KCM，再利用三角形中位线即可得出结论。图3同图2证明相同。

【解答】（2）图2的结论为:ME=(BD+CF) 

图3的结论为: ME=(CF-BD)

图2的结论证明如下：连接DM并延长交FC的延长线于K  

又∵BD⊥m,CF⊥m 

∴BD∥CF ∴∠DBM=∠KCM 

又∵∠DMB=∠CMK BM=MC 

∴△DBM≌△KCM ∴DB=CK   DM=MK 

由易证知:EM=FK ∴ME=(CF+CK)=(CF+DB) 

图3的结论证明如下：连接DM并延长交FC于K 

又∵BD⊥m,CF⊥m 

∴BD∥CF ∴∠MBD=∠KCM 

又∵∠DMB=∠CMK BM=MC 

∴△DBM≌△KCM ∴DB=CK   DM=MK 

由易证知:EM=FK ∴ME=(CF-CK)=(CF-DB)

【强化训练】

1、（2017黑龙江龙东地区）已知：ΔAOB和ΔCOD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH。

（1）如图1所示，易证OH=AD且OH⊥AD（不需证明）

（2）将ΔCOD绕点O旋转到图2，图3所示位置是，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论。

【答案】（2）证明见解析

【分析】（1）只要证明△AOD≌△BOC，即可解决问题；

①如图2中，结论：OH=AD，OH⊥AD．延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，

由△BEO≌△ODA即可解决问题；

②如图3中，结论不变．延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，延长EO交AD于G．由△BEO≌△ODA即可解决问题；

【解答】（1）证明：如图1中，

∵△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，

∴OC=OD，OA=OB，∵在△AOD与△BOC中，，

∴△AOD≌△BOC（SAS），∴∠ADO=∠BCO，∠OAD=∠OBC，

∵点H为线段BC的中点，∴OH=HB，

∴∠OBH=∠HOB=∠OAD，又因为∠OAD+∠ADO=90°，

所以∠ADO+∠BOH=90°所以OH⊥AD

（2）解：①结论：OH=AD，OH⊥AD，如图2中，延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，

易证△BEO≌△ODA∴OE=AD∴OH=OE=AD

由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO∴∠DAO+∠AOH=∠EOB+∠AOH=90°，∴OH⊥AD．

②如图3中，结论不变．延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，延长EO交AD于G．

易证△BEO≌△ODA∴OE=AD∴OH=OE=AD

由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO∴∠DAO+∠AOF=∠EOB+∠AOG=90°，∴∠AGO=90°∴OH⊥AD．

2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．

（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；

（2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由

（3）若|CF﹣AE|=2，EF=2，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．

【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP的长为或.

【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE；

（2）如图2中，延长EO交CF于K，由已知证明△ABE≌△BCF，△AOE≌△COK，继而可证得△EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK，OF=OE；

（3）分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.

【解答】（1）如图1中，延长EO交CF于K，

∵AE⊥BE，CF⊥BE，∴AE∥CK，∴∠EAO=∠KCO，

∵OA=OC，∠AOE=∠COK，∴△AOE≌△COK，∴OE=OK，

∵△EFK是直角三角形，∴OF=EK=OE；

（2）如图2中，延长EO交CF于K，

∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°，

∴∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，

∵AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF，AE=BF，

∵△AOE≌△COK，∴AE=CK，OE=OK，∴FK=EF，

∴△EFK是等腰直角三角形，∴OF⊥EK，OF=OE；

（3）如图3中，点P在线段AO上，延长EO交CF于K，作PH⊥OF于H，

∵|CF﹣AE|=2，EF=2，AE=CK，∴FK=2，

在Rt△EFK中，tan∠FEK=，∴∠FEK=30°，∠EKF=60°，

∴EK=2FK=4，OF=EK=2，

∵△OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2，

在Rt△PHF中，PH=PF=1，HF=，OH=2﹣，

∴OP=.

如图4中，点P在线段OC上，当PO=PF时，∠POF=∠PFO=30°，

∴∠BOP=90°，

∴OP=OE=，

综上所述：OP的长为或.

3.已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BD作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点。

（1）当点P与点O重合时，如图1，易证OE=OF（不需证明）

（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE=30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明。

【答案】（2）图2中的结论为：CF=OE+AE，图3中的结论为：CF=OE﹣AE，证明见解析

【分析】（1）由△AOE≌△COF即可得出结论． 

（2）图2中的结论为：CF=OE+AE，延长EO交CF于点G，只要证明△EOA≌△GOC，△OFG是等边三角形，即可解决问题． 

图3中的结论为：CF=OE﹣AE，延长EO交FC的延长线于点G，证明方法类似．

【解答】（1）∵AE⊥PB，CF⊥BP， ∴∠AEO=∠CFO=90°，

 在△AEO和△CFO中， 

∴△AOE≌△COF，∴OE=OF． 

（3）图2中的结论为：CF=OE+AE． 图3中的结论为：CF=OE﹣AE． 选图2中的结论证明如下： 延长EO交CF于点G，

 ∵AE⊥BP，CF⊥BP， ∴AE∥CF， 

∴∠EAO=∠GCO， 在△EOA和△GOC中， 

∴△EOA≌△GOC， ∴EO=GO，AE=CG， 

在RT△EFG中，∵EO=OG， ∴OE=OF=GO， ∵∠OFE=30°， 

∴∠OFG=90°﹣30°=60°， ∴△OFG是等边三角形， ∴OF=GF， ∵OE=OF， ∴OE=FG， ∵CF=FG+CG， ∴CF=OE+AE． 

选图3的结论证明如下： 

延长EO交FC的延长线于点G，

 ∵AE⊥BP，CF⊥BP， ∴AE∥CF， ∴∠AEO=∠G， 

在△AOE和△COG中， 

∴△AOE≌△COG， ∴OE=OG，AE=CG， 

在RT△EFG中，∵OE=OG， ∴OE=OF=OG， ∵∠OFE=30°，

∴∠OFG=90°﹣30°=60°， ∴△OFG是等边三角形， 

∴OF=FG， ∵OE=OF， ∴OE=FG， 

∵CF=FG﹣CG，∴OE=OF． 

4．如图1，点E是正方形ABCD边CD上任意一点，以DE为边作正方形DEFG，连接BF，点M是线段BF中点，射线EM与BC交于点H，连接CM．

（1）请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系；

（2）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45°，此时点F恰好落在线段CD上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由；

（3）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转90°，此时点E、G恰好分别落在线段AD、CD上，如图3，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．

【答案】（1）CM=EM，CM⊥EM，理由见解析；（2）（1）中的结论成立，理由见解析；（3）（1）中的结论成立，理由见解析.

【分析】（1）延长EM交AD于H，证明△FME≌△AMH，得到HM=EM，根据等腰直角三角形的性质可得结论；

（2）根据正方形的性质得到点A、E、C在同一条直线上，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半证明即可；

（3）根据题意画出完整的图形，根据平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质证明即可．

【解答】（1）如图1，结论：CM=EM，CM⊥EM．

理由：∵AD∥EF，AD∥BC，

∴BC∥EF，

∴∠EFM=∠HBM，

在△FME和△BMH中，

，，

∴△FME≌△BMH，

∴HM=EM，EF=BH，

∵CD=BC，

∴CE=CH，∵∠HCE=90°，HM=EM，

∴CM=ME，CM⊥EM．

（2）如图2，连接AE，

∵四边形ABCD和四边形EDGF是正方形，

∴∠FDE=45°，∠CBD=45°，

∴点B、E、D在同一条直线上，

∵∠BCF=90°，∠BEF=90°，M为BF的中点，

∴CM=BF，EM=BF，

∴CM=ME，

∵∠EFD=45°，

∴∠EFC=135°，

∵CM=FM=ME，

∴∠MCF=∠MFC，∠MFE=∠MEF，

∴∠MCF+∠MEF=135°，

∴∠CME=360°-135°-135°=90°，

∴CM⊥ME．

（3）如图3，连接CF，MG，作MN⊥CD于N，

在△EDM和△GDM中，

，

∴△EDM≌△GDM，

∴ME=MG，∠MED=∠MGD，

∵M为BF的中点，FG∥MN∥BC，

∴GN=NC，又MN⊥CD，

∴MC=MG，

∴MD=ME，∠MCG=∠MGC，

∵∠MGC+∠MGD=180°，

∴∠MCG+∠MED=180°，

∴∠CME+∠CDE=180°，

∵∠CDE=90°，

∴∠CME=90°，

∴（1）中的结论成立．