2022年初升高数学衔接讲义(第2套) 第5讲 充分条件与必要条件（教师版+学生版）

第5讲 充分条件与必要条件

一、命题

1.     命题的概念：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.
2.     命题的形式：数学中命题常写成“若，则”或者“如果，那么”，通常我们把命题中的叫做命题的条件，叫做命题的结论.
3.     四种命题：

(1)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫作互逆命题，其中一个命题叫作原命题，另一个命题叫作原命题的逆命题. 原命题为“若，则”,则逆命题为“若，则”. 

(2)一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,我们把这样的两个命题叫作互否命题,如果把其中一个命题叫作原命题,那么另一个命题叫作原命题的否命题. 原命题为“若，则”,则否命题为“若，则”. 

(3)一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,我们把这样的两个命题叫作互为逆否命题,如果把其中一个命题叫作原命题,那么另一个命题叫作原命题的逆否命题.  若原命题为“若，则”,则逆否命题为“若,则”. 

二、充分条件和必要条件

1.     定义：一般地，“若，则”为真命题，是指由通过推理可以得出.这时我们就说，由可以推出，记作.并且说，是的充分条件，是的必要条件.

相反，“若，则”为假命题，那么由条件不能推出结论，记作.此时，我们就说不是的充分条件，不是的必要条件.

2.     充要条件：如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有，又有，就记作.此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件.

重点剖析：

1．对充分条件的理解

(1)    设集合，.

若,则是的充分条件;若,则不是的充分条件.

(2)    我们说是的充分条件，是指由条件可以推出结论，但并不意味着只能由这个条件才能推出结论，一般来说，对给定的结论，使得成立的条件是不唯一的.例如：.但是,当时,也可以成立,故“”是“”的充分条件.

2．对必要条件的理解

（1）设集合，.

若,则是的必要条件;若,则不是的必要条件.

（2）我们说是的必要条件，是指以为条件可以推出结论，但并不意味着由条件只能推出结论.一般来说，对给定的条件，由可以推出的结论是不唯一的.例如：若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对边分别相等.另外，若四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等.显然这两个命题都是正确的.

3.证明命题充要性时，既要证明原命题成立(充分性)，又要证明它的逆命题成立(必要性).

例1.判断下列说法是否是命题.如果是命题，判断其真假.

（1）；

（2）垂直于同一条直线的两条直线平行么？

（3）；

（4）武汉市坐落于湖北省；

（5）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等.

【答案】(1)不是；(2)不是；(3)假命题；(4)真命题；(5)假命题.

例2.把下列命题写成“若，则”的形式,并判断其真假.

(1)    实数的平方是非负数；

(2)    底边相等且高相等的两个三角形是全等三角形；

(3)    能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；

(4)    弦的垂直平分线经过圆心,并平分弦所对的弧.

【答案】

(1)若一个数是实数，则这个数的平方是非负数，是真命题；

(2)若两个三角形底边相等且高相等，则这两个三角形全等，是假命题；

（3）若一个数能被6整除，则它既能被3整除，也能被2整除，是真命题；

（4）若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧，是真命题.

例3.下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中的是的充分条件？

（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；

（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；

（3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；

（4）若，则；

（5）若，则；

（6）若为无理数，则为无理数.

【答案】(1)(2)(3)(5)中是的充分条件，(4)(6)中不是.

例4.下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中的是的必要条件？

（1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；

（2）若两个三角形相似，则两个三角形的三边成比例；

（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形；

（4）若，则；

（5）若，则；

（6）若为无理数，则为无理数.

【答案】(1)(2)(4)中是的必要条件，(3)(5)(6)中不是.

例5.下列各题中，哪些是的充要条件？

（1）四边形是正方形，四边形的对角线互相垂直且平分；

（2）两个三角形相似，两个三角形三边成比例；

（3）：，；

（4）是一元二次方程的一个根，.

【答案】(2)(4)

例6.设，.若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】

【解析】由得，解得，即，

由得，解得，

是的充分不必要条件，，，

⫋，

，解得，所以的取值范围为.

例7.求证：一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是.

【证明】充分性：若，则一元二次方程的判别式，

所以方程一定有两不等实根，设为，则，

所以方程的两根异号，即方程有一正根和一负根；

必要性：若一元二次方程有一正根和一负根，设为，根据韦达定理得，即.

综上可知，一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是.

例8.求关于的一元二次不等式对于一切实数都成立的充要条件.

【答案】

【解析】必要性：若一元二次不等式，即对于一切实数都成立，

则，解得；

充分性：若，则，

即一元二次不等式对于一切实数都成立.

综上可知，不等式对于一切实数都成立的充要条件是.

例9.已知全集，非空集合，.

（1）当时，求；

（2）命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)；(2).

【解析】(1)当时，，

，

又，；

(2)，，

若是的必要不充分条件，则⫋，

所以，解得或，

所以的取值范围为.

跟踪训练

1.     “”是“”的(    )

1. 充分不必要条件    B.必要不充分条件    C.充要条件     D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】若，则或，即，

若，则，即，

所以“”是“”的必要不充分条件，故选B.

2.     设，则“”是“”的(   )

A.充分不必要条件    B.必要不充分条件     C.充要条件     D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由得，由得，即，

，，

是的必要不充分条件，

即“”是“”的必要不充分条件，故选B.

3.     设，；若是的必要不充分条件，则实数应满足(  )

A.           B.         C.         D.

【答案】B

【解析】若是的必要不充分条件，则⫋，

所以，且，即，故选B.

4.     设实数满足(其中)，.若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是           .

【答案】

【解析】由得，

是的必要不充分条件，⫋，

，解得，所以的取值范围是.

5.     已知，.“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是           .

【答案】

【解析】由“”是“”的必要条件可知，

所以，解得，所以的取值范围是.

6.     已知条件，条件.若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】

【解析】由得，由得，

当时，；

当时，；

当时，，

是的充分不必要条件，⫋，

或，解得或，

综上可知，的取值范围为.

7.     已知是非零实数，且，求证：的充要条件为.

【证明】充分性：若，则，即成立；

必要性：若，则，即成立.

综上所述，的充要条件为.