2021莆田七中高一下学期期中考试数学试题含答案

2020-2021学年度下学期期中考高中一年数学科试卷

一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.

1． =(　　)

A.1+2i　　　 B.1-2i　 　　C.2+i　　　 D.2-i

2．已知△ABC中,+=2,则-=(　　)

A.2    B.   C.0    D.2

3.已知向量a=(1,1),b=(0,2),且λa+μb=(2,8),则λ-μ=(　　)

A.5             B.-5            C.1              D.-1

4.若复数z-2+3i=1-i,则∣z∣=(　　)

A.3    B.4   C.5   D.6

5.已知△ABC中,D为AB上一点,满足=2,且||=2||,则△ABC的形状为( 　)

A.直角三角形    B.等边三角形    C.等腰三角形    D.等腰直角三角形

6.若关于x的方程x2+(1+2i)x+3m+i=0有实根,则实数m等于(　)

A.    B.    C.-    D.-

7.已知i为虚数单位,a为实数,复数z=(a-2i)(1+i)在复平面内对应的点为M,则“a=1”是“点M在第四象限”的(　　)

A. 必要而不充分条件         B.充分而不必要条件

C.充要条件                  D.既不充分也不必要条件

8.在三角形ABC中,=2,=2,∠BAC=45°,P为线段AC上任意一点,则·的取值范围是(　　)

A.    B.        C.    D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得分，部分选对得分，有选错的得分．

9.设点O是正方形ABCD的中心,则下列结论正确的是(　　)

A.=     B.∥

C.与共线       D.=

10．已知a∥b,=2=8,则的值可能为(　　)

A.4   B.8   C.10   D.12

11.已知复数z=,则下列结论正确的是(　　)

A.z的虚部为1   B.|z|2=2

C.z2为纯虚数     D.=1-i

12.已知i为虚数单位,z∈C,下列命题为真命题的是(　　)

A.若z-(3+2i)=i,则z=3+3i

B.若z(3+4i)=25i,则z=4+3i

C.若z+|z|=3+i,则z=+i

D.若z·(2+i)=10-5i,则=3-4i

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.若(a-3i)i=b-i,其中a,b∈R,i是虚数单位,z=(a+bi)2,则=______. 

14.已知=b+i(a,b∈R),其中i为虚数单位,则a-b=_____. 

15.在锐角三角形ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边.若2asin B=b,b+c=5,bc=6,则a=　　. 

16.在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若·=3,则的模为　　　. 

2020-2021学年度下学期期中考高中一年数学科试卷

考试时间：120分钟         满分：150分          考场：     考号：   

班级：                 姓名：               座号：         

一、二、选择题（共12小题,共60分）

三、填空题（共4小题，共20分）

13.________.            14. ________.  

15.________.            16. ________.

四．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.(本题满分10分)复平面内有A,B,C三点,点A对应的复数是5+i,向量对应的复数是-3-4i,向量对应的复数是-4+i,求B点对应的复数.

18.(本题满分12分)已知两向量a=(2,0),b=(3,2).

(1)当k为何值时,ka-b与a+2b共线?

(2)若=2a+3b,=a+mb且A,B,C三点共线,求m的值.

19.(本题满分12分)已知z是复数,z+2i,均为实数(i为虚数单位),对于复数w=(z-ai)2,当a为何值时,w为:(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.

20.（本题满分12分）在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cos C=.

(1)若·=,求△ABC的面积;

(2)设向量x=,y=,且x∥y,求sin(B-A)的值.

21.（本题满分12分）已知关于x的方程x2-(tan θ+i)x-(i+2)=0(θ∈R,x∈C)

(1)若此方程有实数根,求锐角θ的值;

(2)求证:对任意的实数θ(θ≠+kπ),原方程不可能有纯虚数根.

2020-2021学年度下学期期中考高中一年数学科试卷

三、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.

1． =(　d　)

A.1+2i　　　 B.1-2i　 　　C.2+i　　　 D.2-i

2．已知△ABC中,+=2,则-=(　c　)

A.2    B.   C.0    D.2

3.已知向量a=(1,1),b=(0,2),且λa+μb=(2,8),则λ-μ=(　d　)

A.5             B.-5            C.1              D.-1

4.若复数z-2+3i=1-i,则∣z∣=(　c　)

A.3    B.4   C.5   D.6

5.已知△ABC中,D为AB上一点,满足=2,且||=2||,则△ABC的形状为( a　)

A.直角三角形    B.等边三角形    C.等腰三角形    D.等腰直角三角形

6.若关于x的方程x2+(1+2i)x+3m+i=0有实根,则实数m等于(　a　)

A.    B.    C.-    D.-

7.已知i为虚数单位,a为实数,复数z=(a-2i)(1+i)在复平面内对应的点为M,则“a=1”是“点M在第四象限”的(　b　)

A. 必要而不充分条件         B.充分而不必要条件

C.充要条件                  D.既不充分也不必要条件

8.在三角形ABC中,=2,=2,∠BAC=45°,P为线段AC上任意一点,则·的取值范围是(　b　)

A.    B.        C.    D.

四、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得分，部分选对得分，有选错的得分．

9.设点O是正方形ABCD的中心,则下列结论正确的是(abc　　)

A.=     B.∥

C.与共线       D.=

10．已知a∥b,=2=8,则的值可能为(　ad　)

A.4   B.8   C.10   D.12

11.已知复数z=,则下列结论正确的是(acd　　)

A.z的虚部为1   B.|z|2=2

C.z2为纯虚数     D.=1-i

12.已知i为虚数单位,z∈C,下列命题为真命题的是(　ab　)

A.若z-(3+2i)=i,则z=3+3i

B.若z(3+4i)=25i,则z=4+3i

C.若z+|z|=3+i,则z=+i

D.若z·(2+i)=10-5i,则=3-4i

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.若(a-3i)i=b-i,其中a,b∈R,i是虚数单位,z=(a+bi)2,则=___10___. 

14.已知=b+i(a,b∈R),其中i为虚数单位,则a-b=___-3____. 

15.在锐角三角形ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边.若2asin B=b,b+c=5,bc=6,则a=　　　. 

16.在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若·=3,则的模为　　16　　. 

2020-2021学年度下学期期中考高中一年数学科试卷

考试时间：120分钟         满分：150分          考场：     考号：   

班级：                 姓名：               座号：         

一、二、选择题（共12小题,共60分）

三、填空题（共4小题，共20分）

13.________.            14. ________.  

15.________.            16. ________.

四．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.(本题满分10分)复平面内有A,B,C三点,点A对应的复数是5+i,向量对应的复数是-3-4i,向量对应的复数是-4+i,求B点对应的复数.

【解析】因为向量对应的复数是-3-4i,向量对应的复数是-4+i,

所以表示的复数是(-3-4i)-(-4+i)=1-5i,故=+对应的复数为(5+i)+(1-5i)=5-2i,所以B点对应的复数为6-4i.

18.(本题满分12分)已知两向量a=(2,0),b=(3,2).

(1)当k为何值时,ka-b与a+2b共线?

(2)若=2a+3b,=a+mb且A,B,C三点共线,求m的值.

【解析】(1)ka-b=(2k,0)-(3,2)=(2k-3,-2),a+2b=(2,0)+(6,4)=(8,4).

当ka-b与a+2b共线时,4(2k-3)-(-2)×8=0,

解得k=-.

(2)由已知可得=2a+3b=(4,0)+(9,6)=(13,6),=a+mb=(2,0)+(3m,2m)=(3m+2,2m).

因为A,B,C三点共线,所以∥,

所以26m-6(3m+2)=0.解得m=.

19.(本题满分12分)已知z是复数,z+2i,均为实数(i为虚数单位),对于复数w=(z-ai)2,当a为何值时,w为:(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.

【解析】设z=x+yi(x,y∈R),

z+2i=x+(y+2)i,由题意得y=-2,

==(x-2i)(2+i)=(2x+2)+(x-4)i.

由题意得x=4,所以z=4-2i.

因为w=(z-ai)2=(12-4a-a2)+8(2-a)i,

(1)当w为实数时,令2-a=0,所以a=2,

(2)w为虚数,只要2-a≠0,所以a≠2.

(3)w为纯虚数,只要12-4a-a2=0且a-2≠0,

所以a=-6.

20.（本题满分12分）在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cos C=.

(1)若·=,求△ABC的面积;

(2)设向量x=,y=,且x∥y,求sin(B-A)的值.

【解析】(1)由·=,得abcos C=.

又因为cos C=,所以ab==.

又C为△ABC的内角,所以sin C=.

所以△ABC的面积S=absin C=3.

(2)因为x∥y,所以2sin cos =cos B,

即sin B=cos B,

因为cos B≠0,所以tan B=.

因为B为三角形的内角,所以B=.

所以A+C=,所以A=-C.

所以sin(B-A)=sin=sin

=sin C-cos C=×-×=.

21.（本题满分12分）已知关于x的方程x2-(tan θ+i)x-(i+2)=0(θ∈R,x∈C)

(1)若此方程有实数根,求锐角θ的值;

(2)求证:对任意的实数θ(θ≠+kπ),原方程不可能有纯虚数根.

【解析】(1)设x∈R是方程x2-(tan θ+i)x-(i+2)=0的根,则x2-xtan θ-2-i(x+1)=0.

所以

由②得x=-1,代入①得tan θ=1,所以锐角θ=.

(2)反证法.若方程有纯虚数根,设为x=ai(a≠0),代入原方程并整理得(-a2+a-2)-(atan θ+1)i=0.

所以(*)

因为方程-a2+a-2=0无实根,所以方程组(*)无解.故假设不成立,因此原方程无纯虚数根.