2020白城通榆县一中高二上学期第三次月考数学（理）试题含答案

www.ks5u.com2019—2020学年度高二上学期第三次月考

数学试卷 (理科)

一、选择题（本大题共12小题，共60分）

1. 已知集合，集合，则    

A.  B.  

C. D.

2. “”是“”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 

C. 既不充分也不必要条件 D. 充分必要条件

3. 已知命题，，则命题p的否定是   

A.  B.  

C.  D.

4. 某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为

A. 6 B. 12 

C. 18 D. 16

5. 如图是由容量为100的样本得到的频率分布直方图．其中前4组的频率成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，在到之间的数据个数为b，则a，b的值分别为

A. ，78
B. ，83
C. ，78
D. ，83
 

6. 在一个口袋中装有5个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，则摸出白球的个数多于黑球个数的概率为   

A.  B.  

C.  D.

7. 正方形的四个顶点分别在抛物线和上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是 
   A.  B.  

C.     D.

8. 已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值为

A.  B.  

C.  D.

9. 椭圆的左右焦点、，点P在椭圆上且满足，则的面积是

A.    B.  

C.    D.

10. 点P是双曲线与圆的一个交点，且，其中、分别为双曲线的左右焦点，则双曲线的离心率为 

A.  B.  

C.  D.

11. 执行如图所示的程序框图，则程序最后输出的结果为
     

A.  B.  

C.  D.

12. 已知双曲线E的中心为原点，是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点且AB的中点为，则双曲线E的渐近线的方程为 

A.  B.  

C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 设一组数据51，54，m，57，53的平均数是54，则这组数据的标准差等于______．
14. 若六进制数，化为十进制数为4934，则______ ．
15. 已知直线与相交于A， B两点，O是坐标原点，在弧AOB上求一点P，使的面积最大，则P的坐标为____ ．
16. 已知抛物线的准线为l，为一定点，设该抛物线上任一点P到l的距离为d，则的最小值为______．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知，，其中．
    若，且为真，求x的取值范围；
    若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
18. 节能减排以来，兰州市100户居民的月平均用电量单位：度，以分组的频率分布直方图如图．

求直方图中x的值；
求月平均用电量的众数和中位数；

估计用电量落在中的概率是多少？






 

19. 已知双曲线，直线

若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求k的取值范围；

 P为双曲线C右支上一动点，点A的坐标是，求的最小值．






 

20. 如图，直三棱柱中，底面ABC为等腰直角三角形，，，，M是侧棱上一点．
    
    
     

若，求的值；

若，求直线与平面ABM所成角的正弦值．






 

21. 如图所示，在直三棱柱中，D点为棱AB的中点．
    求证：平面；
    若，，求二面角的余弦值；
    若，，两两垂直，求证：此三棱柱为正三棱柱．
    
    
    
    
    
     

22. 已知椭圆C：的离心率，且过点．
    求椭圆C的方程；
    如图，过椭圆C的右焦点F作两条相互垂直的直线AB，DE交椭圆分别于A，B，D，E，且满足，，求面积的最大值．
    
    
    
    
    
    
    
    
     

参考答案

1.【答案】A
2.【答案】A

3.【答案】D

4.【答案】D
5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】A
8.【答案】A

9.【答案】C

10.【答案】A

11.【答案】B
12.【答案】A

13.答案2

14.答案4
15.答案

 16.答案
17.答案解：由，解得，所以； 
又 ，因为，解得，所以．
当时，又为真，都为真，所以．
由是的充分不必要条件，即，，其逆否命题为， 
由，，所以，
即：
18.解：依题意，
   ，
解得．
由图可知，最高矩形的数据组为，
众数为．
的频率之和为 ，
依题意，设中位数为y，
 解得，中位数为224．
由频率分布直方图可知，月平均用电量在中的概率是
．
19.解：由，
所以，
解得
设，
所以
因为，
所以时，．
20.答案解：以A为坐标原点，AB、AC、所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，， ，
设，则  ，，，
因为，
所以，即，
解得，
所以，
所以；
因为，所以，
所以，
设平面ABM的法向量为，
则由得
所以，
所以， 
设直线与平面ABM所成的角为，
则，
所以直线与平面ABM所成角的正弦值为．
 

21.答案证明：连接交于E，连接DE，则DE是的中位线，所以
又  平面，平面
平面分
解：过B作于F，连接，则平面，
为二面角的平面角，设
由已知可得，∽
，，，
即二面角的余弦值为分
证明：作，，垂足分别为M，N，连接BM，
由已知可得  平面，
又  ，且，是平面内的两条相交直线，
平面，
同理  
又 直线，，BM都在平面内，，
又，四边形是平行四边形，，
又≌，，
同理，
是等边三角形，又三棱柱是直三棱柱三棱柱为正三棱柱．分
 

22.解：由题意可得，
解得，，
所以椭圆C的方程为；
根据，可知，M，N分别为AB，DE的中点，且直线AB，DE斜率均存在且不为0，
设点，，直线AB的方程为，不妨设，
直线AB与椭圆C联立，可得，
根据韦达定理得：，，
，，
同理可得，
所以面积，
令，当且仅当时，等号成立；
那么，
所以当，时，的面积取得最大值．