2021成都外国语学校高二下学期期中考试数学(理)试题含答案
展开成都外国语学校2020-2021学年度下期期中考试
高二数学(理)试卷
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分;
2.本堂考试120分钟,满分150分;
3.答题前,考生务必先将自己的姓名、考号填写在答题卡上,并使用2B铅笔填涂。
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2. 已知复数,则( )
A. B. C. D.
3.某班60名同学中选出4人参加户外活动,利用随机数表法抽取样本时,先将60名同学按01,02,…,
60进行编号,然后从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始从左往右依次选取两个数字,则选出的第
4个同学的编号为( )
0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6297 |
7424 6292 4281 1457 2042 5332 3732 1676 |
(注:表中的数据为随机数表的第一行和第二行)
A.24 B.36 C.46 D.47
4.命题“若,则或”的否定是( )
A.若,则或 B.若,则且
C.若,则或 D.若,则且
5.设,是两条不同的直线,,,是三个不同的平面,给出下列四个命题:①若,,则;②若,,,则;③若,,则.其中正确命题的序号是( )
A.①和② B.②和③ C.①和③ D.①②③
6.干支历法是上古文明的产物,又称节气历或中国阳历,是一部深奥的历法。它是用60组各不相同的天干地支标记年月日时的历法。具体的算法如下:先用年份的尾数查出天干,如2013年3为癸;再用2013年除以12余数为9,9为巳。那么2013年就是癸巳年了。
高二学生李东是甲申年5月出生,李东的父亲也是5月出生,刚好比他大27岁,问李东的父亲是哪一年出生( )
A.甲子 B.乙丑 C.丁巳 D.丙卯
7.已知函数在处取得极值0,则( )
A.4 B.4或11 C. 11 D.3或 9
8. 给出如图所示的算法框图,若输出的时,的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.已知,,若成立,
则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.过双曲线的右焦点的直线在第一、第四象限交两渐近线分别于两点,且,为坐标原点,若内切圆的半径为,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
11.已知为圆上任意一点,若存在不同于点的点,使为不等于1的常数,则点的坐标为( )
A. B. C. D.
12.已知偶函数满足,且当时,,若关于x的不等式在上有且只有个整数解,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡上。
13.已知函数,则 .
14.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次,观察向上的点数,则点数和为的概率是 .
15.某公司招聘员工,甲、乙、丙、丁四人去应聘,最后只有一人被录用.关于应聘结果四人说法如下:甲说“我没有被录用”;乙说“丙被录用”;丙说“丁被录用”;丁说“我没有被录用”,现知道他们只有一人说的是真话.根据以上条件,可以判断被录用的人是 .
16.若对任意,不等式恒成立,则的范围 .
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
(1)已知直线的极坐标方程为,点的极坐标为,求点到直线的距离.
(2)把曲线化为极坐标方程.
18.(本小题满分12分)
已知函数,,函数在处与直线相切.
(1)求实数的值; (2)判断函数在上的单调性.
19.(本题满分12分)
某校2011年到2019年参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生人数(每位学生只能参加“北约”“华约”中的一种考试)可以通过以下表格反映出来.(为了方便计算,将2011年编号为1,2012年编号为2,依此类推)
年份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
人数 | 2 | 3 | 5 | 4 | 5 | 7 | 8 | 10 | 10 |
(1)求这九年来,该校参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生人数的平均数和方差;
(2)根据最近五年的数据,利用最小二乘法求出与的线性回归方程,并依此预测该校2020年参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生人数.(最终结果精确至个位)
参考数据:回归直线的方程是,其中,.,.
20.(本小题满分12分)
如图,四棱锥中,,,,.
(1)求证:平面平面;
(2)在线段上是否存在点,使得平面与平面所成锐二面角为?若存在,求的值;若不存在,说明理由.
21.(本题满分12分)
已知直线分别于抛物线相切于两点.
(1)若点的坐标为,求直线的方程;
(2)若直线与的交点为,且点在圆上,设直线与轴分别交于点,求的取值范围.
22.(本题满分12分)
已知函数,其中为正实数.
(1)若函数在处的切线斜率为,求的值;
(2)若函数有两个极值点,求证:.
成都外国语学校2020-2021学年度下期期中考试
高二数学(理)参考答案
一、选择题:
1-12:BACDA CCBBB AD
二、填空题:
13. 12 14. 15.甲 16.
三、解答题
17.(1) ; (2)ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0
18.(1) ; (2)增区间,减区间.
19. 【详解】
(1)由表格中的数据,利用平均数的计算公式,可得.
由方差的公式,可得.
(2)由表中近五年的数据知,,,,,
, 又,所以,
故y与x的线性回归方程为, 当时,,
故估计该校2020年参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生有12人.
20. 【详解】 (1)证明:因为四边形为直角梯形,且, ,,所以,
又因为.根据余弦定理得 所以,故.
又因为, ,且,平面,所以平面,
又因为平面PBC,所以
(2)由(1)得平面平面, 设为的中点,连结,因为,
所以,,又平面平面,平面平面,
平面.
如图,以为原点分别以,和垂直平面的方向为轴正方向,
建立空间直角坐标系,
则,,,,,
假设存在满足要求,设,即,
所以,易得平面的一个法向量为.
设为平面的一个法向量,,
由得,不妨取.
因为平面与平面所成的锐二面角为,所以,
解得,(不合题意舍去).故存在点满足条件,且.
21. 【详解】
(1)由题意知直线l1,l2的斜率一定存在,设直线l1:y+1=k(x﹣1),与抛物线方程联立,
得ky2﹣y﹣k﹣1=0. 由△=1+4k(k+1)=0,得,则l1的方程为.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),设直线l1: ,与抛物线方程y2=x联立,得.
由 ,解得,所以直线,同理得直线,则,.
设点P(x0,y0),代入可得,则直线AB方程为.
与抛物线方程联立,得y2﹣2y0y+x0=0,则有y1+y2=2y0,y1y2=x0.
则,,所以.
又点P在圆(x+2)2+y2=1上,所以,即,所以.
所以的取值范围为.
22. 【详解】
因为,
所以,则,所以a的值为
,函数的定义域为,
若,即,则,
此时的单调减区间为;
若,即,则的两根为,
此时的单调减区间为,,
单调增区间为
当时,函数有两个极值点,,且,.
因为
,
要证,只需证
构造函数,则,
在上单调递增,
又,,且在定义域上不间断,
由零点存在定理,可知在上唯一实根,
且在上递减,上递增,
所以的最小值为,
因为,
当时,,所以,
所以恒成立.所以,
所以.
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