2020盐城高三第三次模拟考试（6月）数学含答案

2020届高三模拟考试试卷

数　　学

(满分160分，考试时间120分钟)

2020．6

参考公式：

锥体体积公式：V＝Sh，其中S为锥体的底面积，h为高．

一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1. 若集合A＝{x|x≤m}，B＝{x|x≥－1}，且A∩B＝{m}，则实数m的值为________．

2. 已知i为虚数单位，复数z满足z(3＋i)＝10，则|z|的值为________．

3. 从数字0，1，2中任取两个不同的数字构成一个两位数，则所得的两位数大于10的概率为________．

4. 如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，图中小矩形从左向右所对应的区间依次为[0，50)，[50，100)，[100，150)，[150，200)，[200，250]．若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内这种面包的日销售量少于100个的天数为________天．

5. 执行如图所示的流程图，输出k的值为________．

6. 若双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线为y＝±2x，则其离心率的值为________．

7. 若三棱柱ABCA1B1C1的体积为12，点P为棱AA1上一点，则四棱锥PBCC1B1的体积为________．

8. “ω＝2”是“函数f(x)＝sin(ωx＋)的图象关于点(，0)对称”的__________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)

9. 在△ABC中，C＝B＋，AB＝AC，则tan B的值为________．

10. 若数列{an}的前n项和为Sn，an＝2n－1＋(－1)n(2n－1)，则2a100－S100的值为________．

11. 若集合P＝{(x，y)|x2＋y2－4x＝0}，Q＝{(x，y)|≥}，则P∩Q表示的曲线的长度为________．

12. 若函数f(x)＝的图象上存在关于原点对称的相异两点，则实数m的最大值是________．

13. 在△ABC中，AB＝10，AC＝15，∠A的平分线与边BC的交点为D，点E为边BC的中点．若·＝90，则 ·的值是________．

14. 若实数x，y满足4x2＋4xy＋7y2＝1，则7x2－4xy＋4y2的最小值是________．

二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15. (本小题满分14分)

若函数f(x)＝Msin(ωx＋φ)(M>0，ω>0，0<φ<π)的最小值是－2，最小正周期是2π，且图象经过点N(，1)．

(1) 求f(x)的解析式；

(2) 在△ABC中，若f(A)＝，f(B)＝，求cos C的值．

16. (本小题满分14分)

如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PC⊥BC，点E是PC的中点，且平面PBC⊥平面ABCD.求证：

(1) PA∥平面BDE；

(2) 平面PAC⊥平面BDE.

17. (本小题满分14分)

如图，在一旅游区内原有两条互相垂直且相交于点O的道路l1，l2，一自然景观的边界近似为圆形，其半径约为1千米，景观的中心C到l1，l2的距离相等，点C到点O的距离约为10千米．现拟新建四条游览道路方便游客参观，具体方案：在线段OC上取一点P，新建一条道路OP，并过点P新建两条与圆C相切的道路PM，PN(M，N为切点)，同时过点P新建一条与OP垂直的道路AB(A，B分别在l1，l2上)．为促进沿途旅游经济，新建道路长度之和越大越好，求新建道路长度之和的最大值．(所有道路宽度忽略不计)

18. (本小题满分16分)

如图，在平面直角坐标系中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，过点F2的动直线与椭圆交于点P，Q，过点F2与PQ垂直的直线与椭圆C交于A，B两点．当直线AB过原点时，PF1＝3PF2.

(1) 求椭圆C的标准方程；

(2) 若点H(3，0)，记直线PH，QH，AH，BH的斜率依次为k1，k2，k3，k4.

① 若k1＋k2＝，求直线PQ的斜率；

② 求(k1＋k2)(k3＋k4)的最小值．

19. (本小题满分16分)

如果存在常数k使得无穷数列{an}满足amn＝kaman恒成立，则称{an}为P(k)数列．

(1) 若数列{an}是P(1)数列，a6＝1，a12＝3，求a3；

(2) 若等差数列{bn}是P(2)数列，求{bn}的通项公式；

(3) 是否存在P(k)数列{cn}，使得c2 020，c2 021，C2 022，…是等比数列？若存在，请求出所有满足条件的数列{cn}；若不存在，请说明理由．

20. (本小题满分16分)

设函数f(x)＝－3ln x＋x3＋ax2－2ax.

(1) 当a＝0时，求函数f(x)的单调递增区间；

(2) 若函数f(x)在x＝1时取极大值，求实数a的取值范围；

(3) 设函数f(x)的零点个数为m，试求m的最大值．

2020届高三模拟考试试卷

            数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)

21. 【选做题】 在A，B，C三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

A. (选修42：矩阵与变换)

已知矩阵A＝.若矩阵A属于特征值3的一个特征向量为α＝，求该矩阵属于另一个特征值的特征向量．

B. (选修44：坐标系与参数方程)

在极坐标系中，已知直线l：ρcos θ＋2ρsin θ＝m(m为实数)，曲线C：ρ＝2cos θ＋4sin θ，当直线l被曲线C截得的弦长取最大值时，求实数m的值．

C. (选修45：不等式选讲)

已知实数x，y，z满足x＋y＋2z＝1，求x2＋y2＋z2的最小值．

【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

22. 如图，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点P(2，0)作直线l与抛物线交于A，B两点，当直线l与x轴垂直时AB的长为4.

(1) 求抛物线的方程；

(2) 若△APF与△BPO的面积相等，求直线l的方程．

23. 若有穷数列{an}共有k项(k≥2)，且a1＝1，＝，当1≤r≤k－1时恒成立．设Tk＝a1＋a2＋…＋ak.

(1) 求T2，T3；

(2) 求Tk.

2020届高三模拟考试试卷(盐城)

数学参考答案及评分标准

1. －1　2. 　3. 　4. 12　5. 4　6. 　7. 8　8. 充分不必要　9. 2　10. 299　11.

12. 1＋e2　13. 　14.

15. 解：(1) 因为f(x)的最小值是－2，所以M＝2.(2分)

因为f(x)的最小正周期是2π，所以ω＝1.(4分)

又由f(x)的图象经过点N(，1)，可得f()＝1，sin(＋φ)＝，

所以φ＋＝2kπ＋或φ＋＝2kπ＋，k∈Z.

又0<φ<π，所以φ＝，故f(x)＝2sin(x＋)，即f(x)＝2cos x．(6分)

(2) 由(1)知f(x)＝2cos x.

又f(A)＝，f(B)＝，

故2cos A＝，2cos B＝，即cos A＝，cos B＝.

因为在△ABC中，A，B∈(0，π)，

所以sin A＝＝＝，sin B＝＝＝，(10分)

所以cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)

＝－(cos Acos B－sin Asin B)＝－(×－×)＝.(14分)

16. 证明：(1) 设AC∩BD＝O，连结OE，

因为底面ABCD是菱形，故O为BD中点．

因为点E是PC的中点，所以AP∥OE. (2分)

因为OE⊂平面BDE，AP⊄平面BDE，所以AP∥平面BDE.(6分)

(2)  因为平面PBC⊥平面ABCD，PC⊥BC，平面PBC∩平面ABCD＝BC，PC⊂平面PBC，

所以PC⊥平面ABCD.(9分)

又BD⊂平面ABCD，所以PC⊥BD.

因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.

又PC⊥BD，AC∩PC＝C，AC⊂平面PAC，PC⊂平面PAC，

所以BD⊥平面PAC. (12分)

又BD⊂平面BDE，所以平面PAC⊥平面BDE.(14分)

17. 解：连结CM，设∠PCM＝θ，则PC＝，PM＝PN＝tan θ，

OP＝OC－PC＝10－，AB＝2OP＝20－.

设新建的道路长度之和为f(θ)，则f(θ)＝PM＋PN＋AB＋OP＝2tan θ－＋30.(6分)

由1<PC≤10得≤cos θ<1.

设cos θ0＝，θ0∈(0，)，则θ∈(0，θ0]，sin θ0＝，f′(θ)＝.

令f′(θ)＝0得sin θ＝.(10分)

设sin θ1＝，θ1∈(0，θ0]，则θ，f′(θ)，f(θ)的情况如下表：

由表可知当θ＝θ1时f(θ)有最大值，

此时sin θ＝，cos θ＝，tan θ＝，f(θ)＝30－.(13分)

答：新建道路长度之和的最大值为30－千米．(14分)

注：定义域扩展为(0，)，求出最值后验证也可．

18. 解：(1) 因为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，所以b＝1.

当直线AB过原点时，PQ⊥x轴，所以△PF1F2为直角三角形．

由定义知PF1＋PF2＝2a，而PF1＝3PF2，故PF1＝a，PF2＝a.

由PF＝PF＋F1F得a2＝a2＋4c2＝a2＋4(a2－1)，化简得a2＝2，

故椭圆的方程为＋y2＝1. (4分)

(2) ① 设直线PQ：y＝k(x－1)，代入到椭圆方程得(1＋2k2)x2－4k2x＋(2k2－2)＝0.

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，  (6分)

所以k1＋k2＝＋＝，

化简可得k1＋k2＝＝，(10分)

解得k＝1或k＝，即为直线PQ的斜率．(12分)

② 当这两条直线中有一条与坐标轴垂直时，(k1＋k2)(k3＋k4)＝0.

当两条直线与坐标轴都不垂直时，

由①知k1＋k2＝，同理可得k3＋k4＝，(14分)

故(k1＋k2)(k3＋k4)＝＝≥＝－，

当且仅当k2＝，即k＝±1时取等号．

综上，(k1＋k2)(k3＋k4)的最小值为－.(16分)

19. 解：(1) 由数列{an}是P(1)数列得a6＝a2a3＝1，a12＝a2a6＝3，可得a3＝.(2分)

(2) 由{bn}是P(2)数列知bmn＝2bmbn恒成立，取m＝1得bn＝2b1bn恒成立．

当b1＝0，bn＝0时满足题意，此时bn＝0.

当b1≠0时，由b1＝2b，可得b1＝，取m＝n＝2得b4＝2b.

设公差为d，则＋3d＝2(＋d)2，解得d＝0或d＝.

综上，bn＝0或bn＝或bn＝，经检验均合题意．(8分)

(3) (解法1)假设存在满足条件的P(k)数列{cn}，不妨设该等比数列c2 020，c2 021，c2 022，…的公比为q，

则有c2 020×2 020＝kc2 020·c2 020⇒c2 020·q2 020×2 020－2 020＝kc2 020·c2 020，可得q2 020×2 020－2 020＝kc2 020　①，

c2 020×2 021＝kc2 020·c2 021⇒c2 020·q2 020×2 021－2 020＝kc2 020·c2 020·q，可得q2 020×2 021－2 021＝kc2 020　②.

综合①②可得q＝1，(10分)

故c2 020×2 020＝c2 020，代入c2 020×2 020＝kc2 020·c2 020得c2 020＝，则当n≥2 020时cn＝.(12分)

又c2 020＝kc1·c2 020⇒c1＝.

当1<n<2 020时，不妨设ni≥2 020，i∈N*且i为奇数，

由cni＝cn×ni－1＝kcn×cni－1＝kcn×cn×ni－2＝k2(cn)2×cni－2＝…＝ki－1(cn)i.

而cni＝，所以＝ki－1(cn)i，(cn)i＝()i，cn＝.

综上，满足条件的P(k)数列{cn}有无穷多个，其通项公式为cn＝.(16分)

(解法2)同解法1得，当n≥2 020时cn＝.

当1<n<2 020时，cn×2 020＝kcnc2 020，而cn×2 020＝，c2 020＝，故cn＝，以下同解法1.

(解法3)假设存在满足条件的P(k)数列{cn}，显然{cn}的所有项及k均不为零，c1＝，

不妨设该等比数列c2 020，c2 021，c2 022，…的公比为q，

当1≤n≤2 018时，cn×2 020＝kcnc2 020，c(n＋1)×2 020＝kcn＋1c2 020，

两式相除可得＝＝q2 020，

故当1≤n≤2 019时，{cn}也为等比数列，(10分)

故cn＝c1×q2 020(n－1)＝×q2 020(n－1)，则c2＝×q2 020，c4＝×q6 060.

由c4＝k(c2)2得q2 020＝1，且当1≤n≤2 019时cn＝，(12分)

则c2 020＝kc2c1 010＝k××＝，c2 025＝kc5c405＝k××＝，所以＝1＝q5，所以q＝1，

故当n≥2 020时cn＝.

综上，满足条件的P(k)数列{cn}有无穷多个，其通项公式为cn＝.(16分)

20. 解：(1) 当a＝0时，f(x)＝－3ln x＋x3，所以f′(x)＝＋3x2＝3()，(1分)

由f′(x)＝0得x＝1，当x∈(0，1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，

所以函数f(x)的单调增区间为(1，＋∞)．(3分)

(2) 由题意得f′(x)＝＋3x2＋2ax－2a＝[x2＋(＋1)x＋1]．

令g(x)＝x2＋(＋1)x＋1(x>0)，则f′(x)＝g(x)．

当＋1≥0，即a≥－时，g(x)>0恒成立，得f(x)在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，所以x＝1是函数f(x)的极小值点；

当Δ＝(＋1)2－4<0，即－<a<时，此时g(x)>0恒成立，f(x)在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，所以x＝1是函数f(x)的极小值点；

当Δ＝(＋1)2－4＝0，即a＝－或a＝时，易得f(x)在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，所以x＝1是函数f(x)的极小值点；(6分)

当Δ＝(＋1)2－4>0时，解得a<－或a>(舍去)，

当a<－时，设g(x)的两个零点为x1，x2，所以x1x2＝1，不妨设0<x1<x2.

又g(1)＝＋3<0，所以0<x1<1<x2，故f′(x)＝(x－x1)(x－1)(x－x2)．

当x∈(0，x1)时，f′(x)<0；当x∈(x1，1)时，f′(x)>0；当x∈(1，x2)时，f′(x)<0；

当x∈(x2，＋∞)时，f′(x)>0；

所以f(x)在(0，x1)上递减，在(x1，1)上递增，在(1，x2)上递减，在(x2，＋∞)上递增；

所以x＝1是函数f(x)极大值点．

综上所述a<－.(10分)

(3) ① 由(2)知当a≥－时，函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故函数f(x)至多有两个零点，欲使f(x)有两个零点，需f(1)＝1－a<0，得a>1，

此时f(x)＝－3ln x＋x3＋ax2－2ax>－3ln x－2ax，f()>3ln a－2，

当a>e时，f()>0，此时函数f(x)在(0，1)上恰有1个零点；(12分)

又当x>2时，f(x)＝－3ln x＋x3＋ax(x－2)>－3ln x＋x3.

由(1)知φ(x)＝－3ln x＋x3在(1，＋∞)上单调递增，

所以f(e)>－3＋e3>0，故此时函数f(x)在(1，＋∞)上恰有1个零点；

由此可知当a>e时，函数f(x)有两个零点．(14分)

② 当a<－时，由(2)知f(x)在(0，x1)上递减，在(x1，1)上递增，在(1，x2)上递减，在(x2，＋∞)上递增；

而0<x1<1，所以f(x1)＝－3ln x1＋x＋ax1(x1－2)>0，

此时函数f(x)也至多有两个零点．

综上①②所述，函数f(x)的零点个数m的最大值为2.(16分)

2020届高三模拟考试试卷(盐城)

数学附加题参考答案及评分标准

21. A. 解：由题意知Aα＝＝3，所以即(4分)

所以矩阵A的特征多项式f(λ)＝＝(λ－1)2－4.

由f(λ)＝0，解得λ＝3或λ＝－1.(8分)

当λ＝－1时，令x＝1，则y＝－1，

所以矩阵A的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为.(10分)

B. 解：由题意知直线l的直角坐标方程为x＋2y－m＝0.(2分)

又曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋4sin θ，即ρ2＝2ρcos θ＋4ρsin θ，

所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－4y＝0，

所以曲线C是圆心为(1，2)的圆，(8分)

当直线l被曲线C截得的弦长最大时，得1＋2×2－m＝0，解得m＝5.(10分)

C. 解：由柯西不等式有(12＋12＋22)(x2＋y2＋z2)≥(x＋y＋2z)2＝1，(6分)

所以x2＋y2＋z2≥(当且仅当＝＝，即x＝y＝，z＝时取等号)，(8分)

所以x2＋y2＋z2的最小值是.(10分)

22. 解：(1) 当直线l与x轴垂直时AB的长为4，又P(2，0)，取A(2，2)，(1分)

所以(2)2＝2p·2，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.(2分)

(2) 由题意知S△APF＝·FP·|yA|＝|yA|，S△BPO＝·OP·|yB|＝|yB|.

因为S△APF＝S△BPO，所以|yA|＝2|yB|.(4分)

当kAB＝0时，直线AB与抛物线不存在两个交点，所以kAB≠0，

故设直线AB的方程为x＝my＋2，代入抛物线方程得y2－4my－8＝0,

所以yA＋yB＝4m，yAyB＝－8.(6分)

当yA>0，yB<0时，yA＝－2yB，－2y＝－8，所以yB＝－2，xB＝＝1，

所以kPB＝2，直线AB的方程为2x－y－4＝0.(8分)

当yA<0，yB>0时，同理可得直线AB的方程为2x＋y－4＝0.

综上所述，直线AB的方程为2x±y－4＝0.(10分)

23. 解：(1) 当k＝2时，r＝1，由＝＝－1，得a2＝－1，T2＝0.(1分)

当k＝3时，r＝1或2，由＝＝－2，得a2＝－2.

由＝＝－，得a3＝，T3＝.(3分)

(2) 因为＝，由累乘法得··…·＝··…·，

所以ar＋1＝(－2)r··…·＝(－2)r，(5分)

所以ar＋1＝C(－2)r＋1.(6分)

当r＝0时，a1＝1也适合ar＋1＝C(－2)r＋1，

所以Tk＝[C(－2)1＋C(－2)2＋…＋C(－2)k]，(8分)

即Tk＝[C(－2)0＋C(－2)1＋C(－2)2＋…＋C(－2)k－1]，

所以Tk＝[(1－2)k－1]＝[1－(－1)k]．(10分)