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江苏省盐城一中2020届高三六月第三次模拟考试数学试题含附加题
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江苏省盐城市第一中学2020届高三年级六月第三次模拟考试
数学试题 2020.06.29
第I卷（必做题，共160分）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）
1.已知集合，，则A∪B＝________．
2.若复数满足，则在复平面内与复数对应的点位于第______象限.
3.袋中共有大小相同的4只小球，编号为1，2，3，4．现从中任取2只小球，则取出的2只球的编号之和是奇数的概率为 ．
4.某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，则第三组的人数为________．
5.如图是某算法的伪代码，输出的结果S的值为________．
6.设向量a＝(1，－1)，a－2b＝(k－1，2k＋2)，且a⊥b，则k＝ _______．
7.已知等比数列满足，，则_______．
8.已知双曲线的渐近线方程为，则 ．
9.我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经验，总结出了一套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国古代数学名著《九章算术》中．《九章算术商功》：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”下图解释了这段话中由一个长方体，得到“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”的过程．已知如图堑堵的棱长，则鳖臑的外接球的体积为 ．
10.已知函数，则不等式的解集是 ．
11.函数的图像向右平移得到函数的图像，则在上的增区间为 ．
12.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，．若关于x的方程f(x)＝m有解，则实数m的取值范围是 ．
13.在△ABC中，当取最大值时，△ABC内切圆的半径为___.
14.已知函数是定义域为的偶函数，当时，若关于的方程
有且仅有8个不同的实数根，则实数的取值范围 ．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.（本题满分14分）
在锐角中，已知内角、、所对的边分别为、、，向量，且向量,共线．
（1）求角的大小； （2）如果，求的面积的最大值．
16.（本题满分14分）
如图，矩形所在平面与直角三角形所在平面互相垂直，，点分别是的中点．
（1）求证：∥平面；
（2）求证：平面平面．
17. （本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，
已知和都在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程．
18. （本小题满分16分）
某房地产商建有三栋楼宇，三楼宇间的距离都为2千米，拟准备在此三楼宇围成的区域外建第四栋楼宇，规划要求楼宇对楼宇，的视角为，如图所示，假设楼宇大小高度忽略不计．
（1）求四栋楼宇围成的四边形区域面积的最大值；
（2）当楼宇与楼宇，间距离相等时，拟在楼宇，间建休息亭，在休息亭和楼宇，间分别铺设鹅卵石路和防腐木路，如图，已知铺设鹅卵石路、防腐木路的单价分别为，（单位：元千米，为常数）．记，求铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值．
19. （本小题满分16分）
已知等差数列和等比数列的各项均为整数，它们的前项和分别为，且，.
（1）求数列，的通项公式；（2）求；
（3）是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由.
20.（本题满分16分）
已知，，其中常数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）若函数有两个零点，求实数的范围；
（3）设，在区间内是否存在区间，使函数在区间的值域也是？请给出结论，并说明理由.
江苏省盐城市第一中学2020届高三年级六月第三次模拟考试
数学试题 2020.06.29
第II卷（附加题，共40分）
21．【选做题】本题共2小题，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
A．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）
已知矩阵，若，求矩阵的特征值．
B．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合．已知圆O：和直线l：
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
22.（本小题满分10分）
袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1个球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数．(1) 求袋中原有白球的个数；(2) 求随机变量ξ的概率分布和数学期望.
23.（本小题满分10分）
如图，已知抛物线焦点为，过上一点作切线，交轴于点，过点作直线交于点.
（1）证明：；
（2）设直线，的斜率为，的面积为，若，求的最小值.
江苏省盐城市第一中学2020届高三年级六月第三次模拟考试
数学试题 2020.06.29
第I卷（必做题，共160分）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）
1.已知集合，，则A∪B＝________．
【答案】
【解析】本题考查的是集合的并集合运算，利用并集运算的定义不难得到A∪B＝
2.若复数满足，则在复平面内与复数对应的点位于第______象限.
【答案】四
【解析】因为，所以在复平面内与复数对应的点为，复数对应的点位于第四象限.
3.袋中共有大小相同的4只小球，编号为1，2，3，4．现从中任取2只小球，则取出的2只球的编号之和是奇数的概率为 ．
【答案】
【解析】从编号为1，2，3，4的4只小球中任取2只小球共有，其中取出的2只球的编号是奇数有，所以所求概率为.
4.某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，则第三组的人数为________．
【答案】18
【解析】
5.如图是某算法的伪代码，输出的结果S的值为________．
【答案】16
【解析】运用追踪法：初始，第一次循环；第二次循环；第三次循环，这时退出，所以.
6.设向量a＝(1，－1)，a－2b＝(k－1，2k＋2)，且a⊥b，则k＝ _______．
【答案】
【解析】由a＝(1，－1)，a－2b＝(k－1，2k＋2)解得
由a⊥b得，所以得，所以得
7.已知等比数列满足，，则_______．
【答案】
【解析】由得，所以得，，所以得
8.已知双曲线的渐近线方程为，则 ．
【答案】2
【解析】由双曲线的渐近线方程为得，所以
9.我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经验，总结出了一套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国古代数学名著《九章算术》中．《九章算术商功》：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”下图解释了这段话中由一个长方体，得到“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”的过程．已知如图堑堵的棱长，则鳖臑的外接球的体积为 ．
【答案】
【解析】由题意 “鳖臑”的外接球即为“堑堵”的外接球，即为长方体的的外接球
所以得，
所以得，所以
10.已知函数，则不等式的解集是 ．
【答案】
【解析】因为函数是偶函数且在上递增，所以得，即 或，解之得
11.函数的图像向右平移得到函数的图像，则在上的增区间为 ．
【答案】
【解析】，所以
由，解之得，所以在在上的增区间为.
12.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，．若关于x的方程f(x)＝m有解，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【解析】当时，，所以，所以，当时，，令，所以，所以在上单调递减，在上单调递增，且当时，，当时，，所以当时，，即，由对称性可知，当时，，又，故当时，，若关于的方程有解，则，
13.在△ABC中，当取最大值时，△ABC内切圆的半径为___.
【答案】
【解析】设，则，所以，
当且仅当时，，即当，即时取最大值，这时
△ABC中求得，由解得.
14.已知函数是定义域为的偶函数，当时，若关于的方程
有且仅有8个不同的实数根，则实数的取值范围 ．
【答案】
【解析】当时，递减，当时，递增，由于函数是定义域为的偶函数，
则函数在和上递减，在和上递增，
当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值．
当时，；当时，.
要使关于的方程，，有且仅有个不同实数根，
设，则的两根均在区间．
则有，即为，解得．
因此，实数的取值范围是.
二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.（本题满分14分）
在锐角中，已知内角、、所对的边分别为、、，向量，且向量,共线．
（1）求角的大小； （2）如果，求的面积的最大值．
【解析】（1）由向量共线有：
即，又，∴，则=，即
（2）由余弦定理得则，
∴当且仅当时等号成立∴．
16.（本题满分14分）
如图，矩形所在平面与直角三角形所在平面互相垂直，，点分别是的中点．
（1）求证：∥平面；
（2）求证：平面平面．
【解析】证明：（1）取中点，连接，
又∵是中点，∴，
又∵是矩形边中点，
∴，∴四边形是平行四边形， ……………4分
∴，又面，面，∴∥平面．…７分
（2）∵平面平面，，∴平面，…………9分
∵平面，∴， …………10分
又，，∴平面，
而平面，∴平面平面． ……………14分
17. （本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，
已知和都在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程．
【解析】（1）椭圆的方程为：
（2）由（1）得，设，
，
且
验证：当直线的斜率为0时，不符合题意，
设直线的方程为，
由，可得．
，
，直线的方程为：
18. （本小题满分16分）
某房地产商建有三栋楼宇，三楼宇间的距离都为2千米，拟准备在此三楼宇围成的区域外建第四栋楼宇，规划要求楼宇对楼宇，的视角为，如图所示，假设楼宇大小高度忽略不计．
（1）求四栋楼宇围成的四边形区域面积的最大值；
（2）当楼宇与楼宇，间距离相等时，拟在楼宇，间建休息亭，在休息亭和楼宇，间分别铺设鹅卵石路和防腐木路，如图，已知铺设鹅卵石路、防腐木路的单价分别为，（单位：元千米，为常数）．记，求铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值．
【解析】（1）因为三楼宇间的距离都为2千米，所以AB＝AC＝BC＝2，(1分)
因为楼宇D对楼宇B，C的视角为120°，所以∠BDC＝120°，(2分)
在△BDC中，因为BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC，(3分)
所以22＝BD2＋CD2－2BD·CD·cos 120o＝BD2＋CD2＋BD·CD≥2BD·CD＋BD·CD＝3BD·CD，
则BD·CD≤，(4分)
当且仅当BD＝CD时等号成立，此时∠DBC＝∠DCB＝30°，BD＝CD＝＝.
区域最大面积S＝S△ABC＋S△BCD＝×2×2×sin 60°＋BD·CD·sin 120°＝(平方千米)．(7分)
(或者：因为直角三角形△ABD，△ACD全等，区域最大面积S＝S△ABD＋S△ACD＝2S△ABD＝2×AB·BD＝(平方千米)．(7分))
（2）当楼宇与楼宇间距离相等时由（1）得：
则，又因为，所以，因为等边三角形
所以，所以
在中，，所以
，则
所以铺设鹅卵石路和防腐木路的总费用
令因为，所以
-
0
+
↘
极小值
↗
所以当时，
即：的最小值为
答：铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值元.
19. （本小题满分16分）
已知等差数列和等比数列的各项均为整数，它们的前项和分别为，且，.
（1）求数列，的通项公式；（2）求；
（3）是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由.
【解析】（1）设数列的公差为，数列的公比为，因为，
所以，即，解得，或（舍去）.
所以.
（2），
，
所以，
所以.
（3）由（1）可得，，所以.
因为是数列或中的一项，所以，
所以，因为，
所以，又，则或.
当时，有，即，令.
则.
当时，；当时，，即.
由，知无整数解.
当时,有，即存在使得是数列中的第2项，
故存在正整数，使得是数列中的项.
20.（本题满分16分）
已知，，其中常数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）若函数有两个零点，求实数的范围；
（3）设，在区间内是否存在区间，使函数在区间的值域也是？请给出结论，并说明理由.
【解析】函数的定义域为，
（1）当时，，， …………2分
而在上单调递增，又，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，所以有极小值，没有极大值． …………4分
（2） 令， ，因为，所以
0
增
减
因为有两个零点，所以，所以
当时因为，，所以有两个零点.
(3)，假设在区间内是存在区间，使函数在区间的值域也是，因为，当时
所以在上是增函数，所以，即
即方程有两个大于的不等实根.上述方程等价于
设，所以
所以在上是增函数，所以上至多一个实数根.
即上不可能有两个不等实数根，所以假设不成立，所以不存在区间符合要求.
江苏省盐城市第一中学2020届高三年级六月第三次模拟考试
数学试题 2020.06.29
第II卷（附加题，共40分）
21．【选做题】本题共2小题，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
A．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）
已知矩阵，若，求矩阵的特征值．
【解析】因为，所以，解得，
所以，--------------------5分
其特征多项式为， ---------8分
令，解得特征值为，．---------------10分
B．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合．已知圆O：和直线l：
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．
【解析】（1）圆O：，即，
故圆O 的直角坐标方程为：即．
直线l：即，则直线的直角坐标方程为．
（2）由，可得，直线l与圆O公共点的直角坐标为（0，1），
故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
22.（本小题满分10分）
袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1个球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数．(1) 求袋中原有白球的个数；(2) 求随机变量ξ的概率分布和数学期望.
【解析】（1）设袋中原有个白球，
由题意知，所以.
解得 (，舍去).即袋中原有3个白球.
（2）由题意，的可能取值为1,2,3,4,5.
；；
；；
.
所以，取球次数的分布列为.
1
2
3
4
5
所以.
23.（本小题满分10分）
如图，已知抛物线焦点为，过上一点作切线，交轴于点，过点作直线交于点.
（1）证明：；
（2）设直线，的斜率为，的面积为，若，求的最小值.
【解析】（1）设过点与相切的切线，
联立，消去得，
由，
则，则，因为直线的斜率不为0，
设直线，联立方程得，故；
（2）由（1）得，则
整理得，即，
当时，点在轴上方，必有，与矛盾
所以必有，则，
则故，
则，
点到的距离，
，
，令，
则，
令，则
则对于函数，则，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
， ，
，故的最小值为.
数学试题 2020.06.29
第I卷（必做题，共160分）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）
1.已知集合，，则A∪B＝________．
2.若复数满足，则在复平面内与复数对应的点位于第______象限.
3.袋中共有大小相同的4只小球，编号为1，2，3，4．现从中任取2只小球，则取出的2只球的编号之和是奇数的概率为 ．
4.某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，则第三组的人数为________．
5.如图是某算法的伪代码，输出的结果S的值为________．
6.设向量a＝(1，－1)，a－2b＝(k－1，2k＋2)，且a⊥b，则k＝ _______．
7.已知等比数列满足，，则_______．
8.已知双曲线的渐近线方程为，则 ．
9.我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经验，总结出了一套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国古代数学名著《九章算术》中．《九章算术商功》：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”下图解释了这段话中由一个长方体，得到“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”的过程．已知如图堑堵的棱长，则鳖臑的外接球的体积为 ．
10.已知函数，则不等式的解集是 ．
11.函数的图像向右平移得到函数的图像，则在上的增区间为 ．
12.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，．若关于x的方程f(x)＝m有解，则实数m的取值范围是 ．
13.在△ABC中，当取最大值时，△ABC内切圆的半径为___.
14.已知函数是定义域为的偶函数，当时，若关于的方程
有且仅有8个不同的实数根，则实数的取值范围 ．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.（本题满分14分）
在锐角中，已知内角、、所对的边分别为、、，向量，且向量,共线．
（1）求角的大小； （2）如果，求的面积的最大值．
16.（本题满分14分）
如图，矩形所在平面与直角三角形所在平面互相垂直，，点分别是的中点．
（1）求证：∥平面；
（2）求证：平面平面．
17. （本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，
已知和都在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程．
18. （本小题满分16分）
某房地产商建有三栋楼宇，三楼宇间的距离都为2千米，拟准备在此三楼宇围成的区域外建第四栋楼宇，规划要求楼宇对楼宇，的视角为，如图所示，假设楼宇大小高度忽略不计．
（1）求四栋楼宇围成的四边形区域面积的最大值；
（2）当楼宇与楼宇，间距离相等时，拟在楼宇，间建休息亭，在休息亭和楼宇，间分别铺设鹅卵石路和防腐木路，如图，已知铺设鹅卵石路、防腐木路的单价分别为，（单位：元千米，为常数）．记，求铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值．
19. （本小题满分16分）
已知等差数列和等比数列的各项均为整数，它们的前项和分别为，且，.
（1）求数列，的通项公式；（2）求；
（3）是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由.
20.（本题满分16分）
已知，，其中常数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）若函数有两个零点，求实数的范围；
（3）设，在区间内是否存在区间，使函数在区间的值域也是？请给出结论，并说明理由.
江苏省盐城市第一中学2020届高三年级六月第三次模拟考试
数学试题 2020.06.29
第II卷（附加题，共40分）
21．【选做题】本题共2小题，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
A．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）
已知矩阵，若，求矩阵的特征值．
B．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合．已知圆O：和直线l：
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
22.（本小题满分10分）
袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1个球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数．(1) 求袋中原有白球的个数；(2) 求随机变量ξ的概率分布和数学期望.
23.（本小题满分10分）
如图，已知抛物线焦点为，过上一点作切线，交轴于点，过点作直线交于点.
（1）证明：；
（2）设直线，的斜率为，的面积为，若，求的最小值.
江苏省盐城市第一中学2020届高三年级六月第三次模拟考试
数学试题 2020.06.29
第I卷（必做题，共160分）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）
1.已知集合，，则A∪B＝________．
【答案】
【解析】本题考查的是集合的并集合运算，利用并集运算的定义不难得到A∪B＝
2.若复数满足，则在复平面内与复数对应的点位于第______象限.
【答案】四
【解析】因为，所以在复平面内与复数对应的点为，复数对应的点位于第四象限.
3.袋中共有大小相同的4只小球，编号为1，2，3，4．现从中任取2只小球，则取出的2只球的编号之和是奇数的概率为 ．
【答案】
【解析】从编号为1，2，3，4的4只小球中任取2只小球共有，其中取出的2只球的编号是奇数有，所以所求概率为.
4.某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，则第三组的人数为________．
【答案】18
【解析】
5.如图是某算法的伪代码，输出的结果S的值为________．
【答案】16
【解析】运用追踪法：初始，第一次循环；第二次循环；第三次循环，这时退出，所以.
6.设向量a＝(1，－1)，a－2b＝(k－1，2k＋2)，且a⊥b，则k＝ _______．
【答案】
【解析】由a＝(1，－1)，a－2b＝(k－1，2k＋2)解得
由a⊥b得，所以得，所以得
7.已知等比数列满足，，则_______．
【答案】
【解析】由得，所以得，，所以得
8.已知双曲线的渐近线方程为，则 ．
【答案】2
【解析】由双曲线的渐近线方程为得，所以
9.我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经验，总结出了一套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国古代数学名著《九章算术》中．《九章算术商功》：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”下图解释了这段话中由一个长方体，得到“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”的过程．已知如图堑堵的棱长，则鳖臑的外接球的体积为 ．
【答案】
【解析】由题意 “鳖臑”的外接球即为“堑堵”的外接球，即为长方体的的外接球
所以得，
所以得，所以
10.已知函数，则不等式的解集是 ．
【答案】
【解析】因为函数是偶函数且在上递增，所以得，即 或，解之得
11.函数的图像向右平移得到函数的图像，则在上的增区间为 ．
【答案】
【解析】，所以
由，解之得，所以在在上的增区间为.
12.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，．若关于x的方程f(x)＝m有解，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【解析】当时，，所以，所以，当时，，令，所以，所以在上单调递减，在上单调递增，且当时，，当时，，所以当时，，即，由对称性可知，当时，，又，故当时，，若关于的方程有解，则，
13.在△ABC中，当取最大值时，△ABC内切圆的半径为___.
【答案】
【解析】设，则，所以，
当且仅当时，，即当，即时取最大值，这时
△ABC中求得，由解得.
14.已知函数是定义域为的偶函数，当时，若关于的方程
有且仅有8个不同的实数根，则实数的取值范围 ．
【答案】
【解析】当时，递减，当时，递增，由于函数是定义域为的偶函数，
则函数在和上递减，在和上递增，
当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值．
当时，；当时，.
要使关于的方程，，有且仅有个不同实数根，
设，则的两根均在区间．
则有，即为，解得．
因此，实数的取值范围是.
二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.（本题满分14分）
在锐角中，已知内角、、所对的边分别为、、，向量，且向量,共线．
（1）求角的大小； （2）如果，求的面积的最大值．
【解析】（1）由向量共线有：
即，又，∴，则=，即
（2）由余弦定理得则，
∴当且仅当时等号成立∴．
16.（本题满分14分）
如图，矩形所在平面与直角三角形所在平面互相垂直，，点分别是的中点．
（1）求证：∥平面；
（2）求证：平面平面．
【解析】证明：（1）取中点，连接，
又∵是中点，∴，
又∵是矩形边中点，
∴，∴四边形是平行四边形， ……………4分
∴，又面，面，∴∥平面．…７分
（2）∵平面平面，，∴平面，…………9分
∵平面，∴， …………10分
又，，∴平面，
而平面，∴平面平面． ……………14分
17. （本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，
已知和都在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程．
【解析】（1）椭圆的方程为：
（2）由（1）得，设，
，
且
验证：当直线的斜率为0时，不符合题意，
设直线的方程为，
由，可得．
，
，直线的方程为：
18. （本小题满分16分）
某房地产商建有三栋楼宇，三楼宇间的距离都为2千米，拟准备在此三楼宇围成的区域外建第四栋楼宇，规划要求楼宇对楼宇，的视角为，如图所示，假设楼宇大小高度忽略不计．
（1）求四栋楼宇围成的四边形区域面积的最大值；
（2）当楼宇与楼宇，间距离相等时，拟在楼宇，间建休息亭，在休息亭和楼宇，间分别铺设鹅卵石路和防腐木路，如图，已知铺设鹅卵石路、防腐木路的单价分别为，（单位：元千米，为常数）．记，求铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值．
【解析】（1）因为三楼宇间的距离都为2千米，所以AB＝AC＝BC＝2，(1分)
因为楼宇D对楼宇B，C的视角为120°，所以∠BDC＝120°，(2分)
在△BDC中，因为BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC，(3分)
所以22＝BD2＋CD2－2BD·CD·cos 120o＝BD2＋CD2＋BD·CD≥2BD·CD＋BD·CD＝3BD·CD，
则BD·CD≤，(4分)
当且仅当BD＝CD时等号成立，此时∠DBC＝∠DCB＝30°，BD＝CD＝＝.
区域最大面积S＝S△ABC＋S△BCD＝×2×2×sin 60°＋BD·CD·sin 120°＝(平方千米)．(7分)
(或者：因为直角三角形△ABD，△ACD全等，区域最大面积S＝S△ABD＋S△ACD＝2S△ABD＝2×AB·BD＝(平方千米)．(7分))
（2）当楼宇与楼宇间距离相等时由（1）得：
则，又因为，所以，因为等边三角形
所以，所以
在中，，所以
，则
所以铺设鹅卵石路和防腐木路的总费用
令因为，所以
-
0
+
↘
极小值
↗
所以当时，
即：的最小值为
答：铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值元.
19. （本小题满分16分）
已知等差数列和等比数列的各项均为整数，它们的前项和分别为，且，.
（1）求数列，的通项公式；（2）求；
（3）是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由.
【解析】（1）设数列的公差为，数列的公比为，因为，
所以，即，解得，或（舍去）.
所以.
（2），
，
所以，
所以.
（3）由（1）可得，，所以.
因为是数列或中的一项，所以，
所以，因为，
所以，又，则或.
当时，有，即，令.
则.
当时，；当时，，即.
由，知无整数解.
当时,有，即存在使得是数列中的第2项，
故存在正整数，使得是数列中的项.
20.（本题满分16分）
已知，，其中常数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）若函数有两个零点，求实数的范围；
（3）设，在区间内是否存在区间，使函数在区间的值域也是？请给出结论，并说明理由.
【解析】函数的定义域为，
（1）当时，，， …………2分
而在上单调递增，又，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，所以有极小值，没有极大值． …………4分
（2） 令， ，因为，所以
0
增
减
因为有两个零点，所以，所以
当时因为，，所以有两个零点.
(3)，假设在区间内是存在区间，使函数在区间的值域也是，因为，当时
所以在上是增函数，所以，即
即方程有两个大于的不等实根.上述方程等价于
设，所以
所以在上是增函数，所以上至多一个实数根.
即上不可能有两个不等实数根，所以假设不成立，所以不存在区间符合要求.
江苏省盐城市第一中学2020届高三年级六月第三次模拟考试
数学试题 2020.06.29
第II卷（附加题，共40分）
21．【选做题】本题共2小题，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
A．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）
已知矩阵，若，求矩阵的特征值．
【解析】因为，所以，解得，
所以，--------------------5分
其特征多项式为， ---------8分
令，解得特征值为，．---------------10分
B．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合．已知圆O：和直线l：
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．
【解析】（1）圆O：，即，
故圆O 的直角坐标方程为：即．
直线l：即，则直线的直角坐标方程为．
（2）由，可得，直线l与圆O公共点的直角坐标为（0，1），
故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
22.（本小题满分10分）
袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1个球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数．(1) 求袋中原有白球的个数；(2) 求随机变量ξ的概率分布和数学期望.
【解析】（1）设袋中原有个白球，
由题意知，所以.
解得 (，舍去).即袋中原有3个白球.
（2）由题意，的可能取值为1,2,3,4,5.
；；
；；
.
所以，取球次数的分布列为.
1
2
3
4
5
所以.
23.（本小题满分10分）
如图，已知抛物线焦点为，过上一点作切线，交轴于点，过点作直线交于点.
（1）证明：；
（2）设直线，的斜率为，的面积为，若，求的最小值.
【解析】（1）设过点与相切的切线，
联立，消去得，
由，
则，则，因为直线的斜率不为0，
设直线，联立方程得，故；
（2）由（1）得，则
整理得，即，
当时，点在轴上方，必有，与矛盾
所以必有，则，
则故，
则，
点到的距离，
，
，令，
则，
令，则
则对于函数，则，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
， ，
，故的最小值为.
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