2021北京顺义区高三下学期第二次统练数学试题含答案

北京市顺义区2021届高三下学期第二次统练数学试题

数    学

第一部分（选择题  共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知集合，则（    ）

A．    B．    C．    D．

2．在复平面内，复数对应的点位于（    ）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

3．在的展开式中，的系数为（    ）

A．    B．    C．    D．40

4．已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ）

A．       B．

C．        D．

5．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是（    ）

A．    B．1    C．    D．2

6．已知函数，则不等式的解集是（    ）

A．                      B．

C．    D．

7．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是．那么后物体的温（单位：℃）可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有46℃的物体，放在10℃的空气中冷却，以后物体的温度是38℃，则k的值约为（    ）

A．0.25    B．    C．0.89    D．

8．已知圆经过原点，则圆上的点到直线距离的最大值为（    ）

A．    B．    C．    D．

9．已知函数，则“存在使得”是“”的（    ）

A．充分必要条件    B．充分而不必要条件    C．必要而不充分条件    D．既不充分也不必要条件

10．设函数，若恰有两个零点，则实数a的取值范围是（    ）

A．    B．    C．    D．

第二部分（非选择题  共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11．设向量，若，则实数__________．

12．若双曲线的焦距等于实轴长的倍，则C的渐近线方程为________．

13．已知为等差数列，为其前n项和，若，则公差_________，的最大值为_________．

14．已知是任意角，且满足，则常数k的一个取值为__________．

15．曲线C是平面内与两个定点的距离的积等于的点P的轨迹，给出下列四个结论：

①曲线C关于坐标轴对称；

②周长的最小值为；

③点P到y轴距离的最大值为；

④点P到原点距离的最小值为．

其中所有正确结论的序号是__________．

三、解答题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．

16．（本小题14分）

如图，在四棱锥中，底面为正方形．且平面，M，N分别为的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若，求与平面所成角的正弦值．

17．（本小题13分）

在中，已知，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：

（Ⅰ）c的值；

（Ⅱ）的面积．

条件①：；

条件②：．

注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．

18．（本小题14分）

某学校食堂为了解师生对某种新推出的菜品的满意度，从品尝过该菜品的学生和老师中分别随机调查了20人，得到师生对该菜品的满意度评分如下：

教师：60  63  65  67  75  77  77  79  79  82  83  86  87  89  92  93  96  96  96

学生：47  49  52  54  55  57  63  65  66  66  74  74  75  77  80  82  83  84  95  96

根据师生对该菜品的满意度评分，将满意度从低到高分为三个等级：

假设教师和学生对该菜品的评价结果相互独立，根据所给数据，用事件发生的频率估计相应事件发生的概率．

（Ⅰ）设数据中教师和学生评分的平均值分别为和，方差分别为和，试比较和，和的大小（结论不要求证明）；

（Ⅱ）从全校教师中随机抽取3人，设X为3人中对该菜品非常满意的人数，求随机变量X的分布列及数学期望；

（Ⅲ）求教师的满意度等级高于学生的满意度等级的概率．

19．（本小题14分）

已知椭圆的离心率为，且过点．

（Ⅰ）求椭圆G的方程；

（Ⅱ）过点斜率为的直线l交椭圆G于A，B两点，在y轴上是否存在点N使得（点N与点M不重合），若你在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．

20．（本小题15分）

已知函数．

（Ⅰ）已知曲线在点处的切线方程为，求m的值；

（Ⅱ）若存在，使得，求m的取值范围．

21．（本小题15分）

已知数列，记，首项，若对任意整数，有，且是k的正整数倍．

（Ⅰ）若，写出数列的前10项；

（Ⅱ）证明：对任意，数列的第n项由唯一确定；

（Ⅲ）证明：对任意正整数，数列从某一项起为等差数列．

北京市顺义区2021届高三下学期第二次统练数学试题

参考答案

一.     选择题（共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项）

二.填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分)

(11)                                  (12)

(13) ，（前3分，后2分）          (14)  （答案不唯一）

(15)  ①②④

三．解答题（本大题共6小题，共85分,其它答案参考给分）

（16）（共14分）

解：（Ⅰ）如图，连接，

因为，分别是，的中点，

所以.-----------------2分

又，，

所以平面.-----------5分

（Ⅱ）因为平面，

，，

所以，.

因为底面是正方形，

所以.

以为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.------6分

则，，，.-------------8分

因为是的中点，

所以.

所以，，.------10分

设平面的法向量为，

所以. 即.

令，则，.

于是.--------------------------------------12分

设直线与平面所成角为，则

.---------14分

所以与平面所成角的正弦值为.

（17）（共13分）

解：选择条件①：.

（Ⅰ）在中，由正弦定理：.--------------1分

所以.

又，

所以.--------------------------------------2分

因为，

所以.----------------------------3分

因为，

所以.-----------------------------------4分

由余弦定理：，--------------------5分

所以.----------------------------6分

解得.

因为，

所以.--------------------------------------8分

（Ⅱ）因为，，

所以.--------------------------------------10分

所以.-------------13分

选择条件②：．

（Ⅰ）在中，因为，

所以.----------------------------3分

因为，

所以.

所以.---------------------------------5分

因为，

所以.

所以.-------------------------------------8分

（Ⅱ）因为，，，

所以.-----------13分

（18）（共14分）

解：（Ⅰ），.----------------------------------2分

（Ⅱ）由题意可知，随机抽取的教师对该菜品非常满意的概率为.

-----------------------------3分

X的取值为0，1，2，3，-----------------------------4分

则~，.

所以，--------------------5分

，----------------------------6分

，---------------------------7分

.--------------------------8分

所以的分布列为：

---------------------------9分

故的期望.--------------------------10分

（Ⅲ）设事件为“教师对该菜品满意”，设事件为“教师对该菜品非常满意”，设事件为“学生对该菜品不满意”，设事件为“学生对该菜品满意”，设事件为“教师的满意度等级高于学生的满意度等级”

则.--------------------------------11分

易知.

因为事件,，彼此互斥，事件，，，彼此独立，

所以

.----14分

所以教师的满意度等级高于学生的满意度等级的概率为.

（19）（共14分）

解：（Ⅰ）由题意得，----------------------------1分

解得，.------------------------------3分

所以椭圆的方程为.--------------------4分

（Ⅱ）解法一：

设，，，

所以直线AN的斜率为，

直线BN的斜率为.------------------------6分

所以当且仅当.-------------7分

即满足

.--------------------------------9分

即.

根据题意，直线l的方程为.-----------------10分

由得.---------------11分

则，.----------------13分

所以.

又因为，

所以.----------------------------------------14分

因此在轴上存在点N使得，点的

坐标为.

（Ⅱ）解法二：

设，，，

当t=0时，，显然，不满足题意.

所以直线AN的斜率为.--------------------5分

所以直线AN的方程为.

所以原点O到直线AN的距离为.

同理可得原点O到直线BN的距离为.-6分

所以当且仅当.-----------------7分

即.

因为，

所以.

根据题意，直线l的方程为.------------------8分

所以.

整理得

因为，，

所以，.

所以.-------------------------10分

由得.--------------11分

则，.----------------13分

所以.

又，

所以.

所以.---------------------------------------14分

因此在轴上存在点N使得，点的

坐标为.

（20）（共15分）

解：（Ⅰ），--------------------------------2分

因为曲线在点处的切线方程为，

所以，即.--------------------4分

所以.--------------------------------------5分

（Ⅱ）存在，使得等价于

在区间上有解，-------------6分

显然不是的解，

即等价于在区间上有解.---------------7分

设，，

则.----------------------------9分

设，，

则.-----------------------------11分

所以在区间上单调递减.

所以.------------------------12分

所以，所以在区间上单调递增.

所以.-------------------------14分

依题意需，

所以的取值范围为.-------------------15分

（21）（共15分）

解：（Ⅰ）21，1，2，0，1，5，5，5，5，5.------------------4分

（Ⅱ）当时，根据题意为偶数，并且，

所以.

从而由唯一确定.---------------------------------6分

接下来用反证法，假设数列的某一项可以有两种不同取值.

假设第项是第1个可以有两种不同取值的项，

即前面项由唯一确定.

记第项的两种取值为和，

根据题意存在使得

………①

且………②

并且满足. ----------------------------8分

由①②两式作差可知是的倍数，

又因为，

可知，矛盾.

从而对任意，数列的第n项由唯一确定. ---10分

（Ⅲ）方法一：因为，

所以.------------------------11分

因为都是正整数，由整数的离散性有.---13分

因此，存在，当时，为常数.----------------14分

不妨记为，从而当时，有.

所以从第项起为等差数列.----------------------15分

方法二：一方面，记.

如果，取，

那么是的倍数.------11分

同理...，

即从第项起，数列为常数.----------------------12分

另一方面，由于，

所以.----------------13分

当时，，

所以当时，，满足.

取，则从第项起，数列为等差数列.-----------15分