2021浙江省稽阳联谊学校高三下学期4月联考数学试题含答案

这是一份2021浙江省稽阳联谊学校高三下学期4月联考数学试题含答案，共14页。
本科试题卷分选择题和非选择题两部分，全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页，满分150分，考试时间120分钟。
考生注意：
1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。
2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
参考公式：
如果事件A, B互斥, 那么柱体的体积公式
P(A+B)=P(A)+P(B)V=Sh
如果事件A, B相互独立, 那么其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高
P(A·B)=P(A)·P(B)锥体的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是p, 那么nV=Sh
次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高
Pn(k)=Cpk (1－p)n-k (k = 0,1,2,…, n)球的表面积公式
台体的体积公式S = 4πR2
球的体积公式
其中S1, S2分别表示台体的上、下底面积, V=πR3
h表示台体的高 其中R表示球的半径
第Ⅰ卷（选择题，共40分）
选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．复数（为虚数单位）的虚部为
A．1 B． C． D．
3．点关于直线的对称点是
A． B． C． D．
(第4题图)
4．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积
（单位：cm3）是
A． B．C．D．
5．函数在区间上的图象可能是
A．B．
C．D．
6．已知，则“”是“”
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．随机变量的取值为，若，，则
A． B．C． D．
8．已知的值域为，则实数
A．4或0B．4或C．0或 D．2或
9．过双曲线上的任意一点，作双曲线渐近线的平行线，分别交渐近线于点，若，则双曲线离心率的取值范围是
(第9题图)
A． B．
C． D．
10．如图，已知圆柱，在圆上，，，在圆上，且满足，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是
A． B．
(第10题图)
C． D．
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
11．我国《九章算术》中记载有“勾，短面也；股，长面也。长、短相推，以求其弦，故曰勾股。”指出了直角三角形中较短的直角边为“勾”，较长的直角边为“股”，利用“勾”、“股”可以求直角三角形的斜边“弦”。已知直角三角形的“勾”为5，“股”为12，则“弦”为_______，该直角三角形内切圆的面积是_________．
12．二项式展开式中含的项的系数是_________，所有项的系数和是_________．
13．若实数满足约束条件则的最大值是_________，的最小值是_________．
14．已知，，是中点，，则_________，_________．
15．已知且满足，则的最小值是_________．
16．已知数列，若数列与数列都是公差不为0的等差数列，则数列的公差是_________．
17．已知E为平面内一定点且，平面内的动点满足：存在实数，使，若点的轨迹为平面图形，则的面积为_________．
三、解答题：本大题共5小题，共 74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（本题满分14分）已知函数．
（Ⅰ）求函数的对称中心；
（Ⅱ）若，求．
19．（本题满分15分）如图，已知多面体，四边形为矩形，，，且，，分别为的中点．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
(第19题图)
20．（本题满分15分）已知数列满足，，数列满足，．
（Ⅰ）数列，的通项公式；
（Ⅱ）若，求使成立（表示不超过的最大整数）的最大整数的值．
21．（本题满分15分）已知点为抛物线的焦点，点，点为抛物线上的动点，直线截以为直径的圆所得的弦长为定值．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）如图，直线交轴于点，抛物线上的点满足的中垂线过点且直线不与轴平行，求的面积的最大值．
(第21题图)
22．（本题满分15分）已知函数既有极大值，又有极小值．
（Ⅰ）求实数的取值范围；
（Ⅱ）记为函数的极小值点，实数且，证明：．
2021年4月稽阳联考数学科试题卷答案
一、选择题：每小题4分，共40分。
1．C
2．D
因为，故选D
3．B
点关于直线的对称点是，故选B
4．C
半圆锥加半圆柱，故体积为
5． C
奇函数且时，故选C
6．A
“”“”，“”“或”，故选A
7．D
解析：
8．B
解析：（函数零点的根轴法）
，若；
若
9．B
解：设点，分别联立两组直线方程可得
=，
，由题意，
10．A
解：取中点M，连过作，易得
面，记则,，
因为，又因为，
故选：A
二、填空题：多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
11．13，
弦为直角三角形斜边，内切圆半径为2
12．，
解析：
13．2，
由图可知，
14．,
；
15．
解析：
16．
因为中项系数为，中项系数为，故中项系数为，所以公差为
17．
如图所示，故面积为
三、解答题：本大题共5小题，共74分。
18．满分14分。
（Ⅰ）由二倍角公式得
，
故
， ………………4分
所以函数的对称中心是
． ………………6分
（Ⅱ）由得
， ………………8分
故
．
………………14分
19．满分15分。
（1）以A为原点，AB，AD为x,y轴建立如图空间直角坐标系
则，取AB中点S，连FS
令面DMN的法向量为
面DMN………………6分
（2）
令面BCEF的法向量为
………………15分
20．满分15分。
（Ⅰ）由得
，
解得
．………………5分
由得
，
解得
． ………………10分
（Ⅱ）由得
，
记，
为单调递减且，，，所以
，
因此
，
故由得
的最大值为44． ………………15分
21．满分15分。
（1）
设截得的弦为GH，圆心C到弦的距离为．
则，………………4分
………………6分
（2）由上题可得，设，线段中点为，直线AB的斜率存在且不等于0，设直线，联立直线与抛物线方程得：
………………9分
，………………12分
记，，，时，单调递增，
时，单调递减，
时，的最大值为．
此时，的最大值为． ………………15分
22．满分15分。
（Ⅰ）①当时，单调递增，不存在2个零点，故舍去；
②当时，令，则，所以在单调递增，在单调递减，所以，解得
．
下证，当时，函数既有极大值，又有极小值．
由得，存在使，
由得，存在使，故
函数既有极大值，又有极小值．………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数在，单调递减，在单调递增，故要证即证，即．
因为，所以只要证
．
因为得，令，即证当时，
．
设,因为，所以在上单调递增，故，因此在上单调递增，故当时，．
综上，．………………15分
0
↘
极小值
↗
极大值
↘