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    决胜新高考•名校交流2021高三3月联考卷

    数学答案及评分标准

     

    一、选择题本题共12个小题,每小题5分,共601-8题为单选题,9-12题为多选题,多选题全部选对得5分,有选错的得0分,部分选对的得3.

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    12

    D

    D

    B

    D

    B

    D

    C

    C

    ACD

    ACD

    BC

    BC

     

    二、填空题本题共4小题,每小题5分,共60.

    13.

    14.-9 

    15.   (第一空2分,第二空3分)

    16116π

    评分标准:按参考答案给分,结果必须化简,完全正确,写错、未化简、多写答案、少写答案均不给分。

     

    三、解答题:本小题共6小题,共70.

    评分标准:具体步骤分参照答案解析,没有步骤只有答案均不给分。

    试题有不同解法时,解法正确即可酌情给分。

    17.解:()设等差数列{an}公差为d

    因为Tn1bn

    n1时,T11b1b1

    所以b1(1)

    n2时,bnTnTn11bn(1bn1)(2)

    整理得

    所以数列{bn}是首项为,公比为的等比数列,

    bn.(4)

    a83a3,得17d3·(12d),解得d2.

    a12b11,所以an2n1.(5)

    ()()可知,an·bn(2n1)·(6)

    所以Q n1×3×5×(2n1)×, 

    Qn1×3×5×(2n1)×, (7)

    Qn1×2×2×2×(2n1)×2×(2n1)×(8)

    所以Qn3.(10)

     

    18.解:()mnm·n0

    m·n2cosAcosC(tanAtanC1)1

      2sinAsinC2cosAcosC1

      =-2cos(AC)1

      2cosB1

      0(4)

    cosB.(5)

    B(0π)B.(6)

    ()

    sinAasinCc.(7)

    sinAsinCac13.

    b2a2c22accosB(9)

    72a2c22accos

    ac40(10)

    SABCacsinB×40×sin10.(12)

     

    19.解:()zh时,x2y216h2,截面为圆面,

    16h212,解得h±2.

    h0,所以h2.(6)

    ()W1中,平面zh所截的截面为圆,其面积为π(16h2)

    W2中,平面zh所截的截面为圆环,其面积为π(16h2)

    zhW1W2所得面积均相等,从而由祖暅原理知,W1W2体积相等,

    W1为半球知其体积V×π×43π.(12)

     

    20.解:()若第(n1)次由甲组答题,则包括第n次由甲组答题,第(n1)次继续由甲组答题,以及第n次由乙组答题,第(n1)次由甲组答题.

    答对的题数之和为3的倍数分别为

    12241545336636

    其概率为

    则答对的题数之和不是3的倍数的概率为(3)

    所以第n次由甲组答题,第(n1)次继续由甲组答题的概率为Pn

    n次由乙组答题,第(n1)次由甲组答题的概率为(1Pn)

    因此Pn1Pn(1Pn)=-Pn(nN*)(4)

    Pn1=-.(5)

    因为第一次由甲组开始,则P11

    是首项为,公比为-的等比数列,

    所以Pn

    Pn.(7)

    ()由于第1次由甲组答题,则只要第2次、第3次、第4次这3次中再由甲组答题一次即可,所以所求概率PP1P2(1P3)(1P4)P1(1P2)P3(1P4)P1(1P2)(1P3)P4(9)

    ()可知P2P3P4(10)

    所以P.(12)

     

    21.解:()由题意及三角形内切圆的性质可得

    ·2c·b(2a2c)·,化简得. (2)

    |AB|2a4

    所以 a2c1b(4)

    所以椭圆E的标准方程为1.(5)

    ()()F1(10)B(20),由题意,直线CD的斜率不为0

    设直线CD的方程为xmy1

    代入椭圆E的方程1

    整理得(3m24)y26my90.(6)

    C(x1y1)D(x2y2)

    y1y2y1y2=-, 

    直线BCy(x2)

    x=-4,得N(7)

    同理可得M(8)

    所以以MN为直径的圆的方程为

    (x4)(x4)0

    x28x16y2y0, 

    y1y2=-my1y2

    代入得圆的方程为x28x7y26my0.(10)

    若圆过定点,则(11)

    解得

    所以以MN为直径的圆恒过两定点(70)(10)(12)

     

    22.解:()证明:当x1时,>0

    <1.(2)

    ()x>a时,f(x)>0恒成立,

    函数f(x)没有零点;

    x<a时,f(x)ex.

    h(x)ex(xa)1

    h′(x)ex(xa1)

    易知h′(a1)0

    x(a1)时,h′(x)<0h(x)是减函数;

    x(a1a)时,h′(x)>0h(x)是增函数,

    函数h(x)(a)上的最小值为

    h(a1)1ea1.

    显然,当a1时,h(a1)0

    xa1是函数f(x)的唯一的零点;

    a<1时,h(a1)1ea1>0

    函数f(x)没有零点;

    a>1时,h(a1)1ea1<0

    函数f(x)有两个零点.(6)

    ()证明:由()知当x>0时,<1

    只需证x>0时,ex>(x2)x24.(8)

    M(x)ex(x2)x24exx22x2

    M′(x)ex2x2.

    令φ(x)ex2x2

    φ′(x)ex2

    易知φ(x)(0ln2)上单调递减,在(ln2,+)上单调递增.

    φ(1)φ(2)<0

    M′(x)(0,+)上只有一个零点x0(1<x0<2)

    ex02x020(10)

    M(x)(0x0)上单调递减,在(x0,+)上单调递增,

    M(x)ex0x2x024x>0

    ex>(x2)x24.

    1>

    ex>(x2)x24.(12)

     

     

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