2021-2022学年陕西省西安市长安区第一中学高一下学期期中数学试题含解析

2021-2022学年陕西省西安市长安区第一中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先根据已知条件得到，再依次判断选项即可得到答案.

【详解】由题知：，

对选项A，，故A错误；

对选项B，，故B错误；

对选项C，，C正确；

对选项D，，故D错误.

故选：C

【点睛】本题主要考查数列的通项公式，属于简单题.

2．如图，已知平面平面，平面平面，平面平面，若，则c与a，b的位置关系是（       ）

A．c与a，b都异面 B．c与a，b都相交

C．c至少与a，b中的一条相交 D．c与a，b都平行

【答案】D

【分析】用线面平行的判定定理和性质定理证明即可．

【详解】解：，平面，平面，

平面，

平面，平面平面

故选：D．

3．已知数列，3，，…，，…，那么9在此数列中的项数是（       ）

A．12 B．13 C．14 D．15

【答案】C

【分析】由，解方程可得．

【详解】根据题意，．

由，解得，即9是此数列的第14项，

故选：C．

4．一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，如图所示，则原平面图形的面积为（       ）

A． B．8 C． D．

【答案】C

【分析】根据斜二测画法，还原其平面图，便可求出面积.

【详解】还原平面图：

，，

所以该平面图形面积为，

故选：C

【点睛】此题考查斜二测画法作直观图，原图与直观图面积关系，通过作图规则，还原原图，即可求出面积；若能熟记原图与直观图面积关系可以迅速求解，大大简化过程.

5．若a>b，则（    ）

A．ln(a−b)>0 B．3a<3b

C．a3−b3>0 D．│a│>│b│

【答案】C

【分析】本题也可用直接法，因为，所以，当时，，知A错，因为是增函数，所以，故B错；因为幂函数是增函数，，所以，知C正确；取，满足，，知D错．

【详解】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．

【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．

6．在中，，则等于　　

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用三角形的内角和求出三角形的内角，然后利用正弦定理求出结果．

【详解】解：在中，若，又

所以，，．

由正弦定理可知：．

故选：．

【点睛】本题主要考查正弦定理、三角形内角和定理以及特殊角的三角函数，属于基础题.

7．在中，，，，则满足条件的（       ）

A．无解 B．有解 C．有两解 D．不能确定

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出即可判断作答.

【详解】在中，，，，由正弦定理得：，

所以无解.

故选：A

8．等差数列的前n项和记为.若为一个确定的常数，则下列各数也是常数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先由等差数列性质得到是一个确定的常数，再由等差数列的求和公式，即可判断出结果.

【详解】因为等差数列中，是一个确定的常数，

所以为确定的常数.

故选B

【点睛】本题主要考查等差数列的性质，熟记等差数列性质以及等差数列的求和公式即可，属于常考题型.

9．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（    ）

A．60 B．54 C．48 D．24

【答案】A

【详解】试题分析：由三视图可知：原几何体是一个横放的三棱柱，其中底面是一个直角边分别为3、4的直角三角形，高为4．由此可求底面的直角三角形的斜边长为5，故该几何体的表面积为．故选A．.

【解析】三视图求面积.

10．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据给定的长方体，作出异面直线与所成的角，利用三角形计算作答.

【详解】在长方体中，连，取中点E，连接OE，，如图，

则O是的中点，于是得，，

则是异面直线与所成的角或其补角，而，，

等腰中，，

所以异面直线与所成角的余弦值为.

故选：C

11．设A是最小内角，则的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先根据三角形最小内角得A范围，再根据辅助角公式化简，最后根据正弦型函数的性质即可求解范围.

【详解】因为是三角形中的最小内角，所以,

因为，，

所以，所以

故选：D.

12．若，则＋的最小值为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】B

【详解】试题分析： ，，，（当且仅当）.

【解析】对数的运算、基本不等式.

13．设奇函数在上是增函数，．若函数对所有的都成立，则当时，t的取值范围是（       ）

A． B．

C．，或，或 D．，或，或

【答案】C

【分析】求出函数在上的最大值，再根据给定条件建立不等关系，借助一次型函数求解作答.

【详解】因奇函数在上是增函数，，则，

依题意，，恒成立，

则有，解得或或，

所以t的取值范围是或或.

故选：C

14．在平面上，，.若，则的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】建立平面直角坐标系，设出点的坐标，根据已知条件求得的取值范围，也即求得的取值范围.

【详解】根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图.设|AB1|＝a，|AB2|＝b，点O的坐标为(x，y)，则点P的坐标为(a，b)，.

由得

则

又由，得，则，即①.

又，得，则；

同理由，得，即有②.

由①②知，所以.

而，所以.

故选：D

【点睛】本小题主要考查利用坐标法求解平面几何问题，属于中档题.

二、填空题

15．已知，且，则________．

【答案】

【分析】由题，进而根据角的范围判断出的符号，即得.

【详解】∵，

∴，

因为，

所以，则，

所以.

故答案为：.

16．若，，与的夹角为60°，若，则m的值为________.

【答案】

【分析】由条件可求得，根据两向量垂直，则两向量的数量积为0，从而会得到关于m的方程，解方程即可求出m.

【详解】∵，，与的夹角为60°，∴，

∵，

∴，

∴，

故答案为：.

17．已知，且，那么下列不等式：①；②；③；④中，正确的序号是________．

【答案】①②④

【分析】利用基本不等式及对勾函数的性质一一判断即可；

【详解】解：对于①:，，，（当且仅当时取得等号），所以①正确；

对于②：由①有，设，则在上单调递减．所以，所以②正确；

对于③：（当且仅当时取得等号），

．所以③错误．

对于④：（当且仅当，即时等号成立），所以④正确．

故答案为：①②④．

18．要测量电视塔的高度，在点测得塔顶的仰角是，在点测得塔顶的仰角是，并测得水平面上的，，则电视塔的高度是_________.

【答案】

【解析】设，可得，，然后在中利用余弦定理可求得的值，由此可求得电视塔的高度.

【详解】由题意，设，

由于平面，、平面，，，

由题意可得，，

在中，，，同理可得，

在中，，，

根据余弦定理，得，

即：，

整理得，解之得 或 （舍）

即所求电视塔的高度为米．

故答案为：.

【点睛】本题考查解三角形的应用，考查余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.

19．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为r，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计6年内还清，以复利计算，则每年应偿还________万元．

【答案】

【分析】设每年应偿还万元，则，利用等比数列求和即可求解．

【详解】设每年应偿还万元，则

所以，故

故答案为：

20．在中，，，的内切圆的面积是________．

【答案】

【分析】利用二倍角余弦公式得到，再由余弦定理得到，即可求出、，利用等面积法求出内切圆的半径，即可得解；

【详解】解：由，所以，

又，所以，

由余弦定理得，所以，

因为，所以，所以．

设其内切圆的半径为，因为，

，所以内切圆的面积是．

故答案为：

三、解答题

21．如图，E，F，G，H分别是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点．

求证：（1）EG平面BB1D1D；

（2）平面BDF平面B1D1H.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）可证明四边形BEGO为平行四边形，故OBEG，由线面平行的判定定理即得证；

（2）可证明BDB1D1，HD1BF，由面面平行的判定定理即得证.

【详解】

（1）如图，取B1D1的中点O，连接GO，OB，

因为OG=B1C1，BE=B1C1，所以BE=OG，

且

所以四边形BEGO为平行四边形，故OBEG，

因为OB⊂平面BB1D1D，EG⊄平面BB1D1D，

所以EG平面BB1D1D.

（2）由于

所以四边形为平行四边形

所以BDB1D1.

连接HB，D1F，

取为中点，连结

因此

因此四边形为平行四边形，故有

又

因此四边形为平行四边形，故有

故HD1BF.

又B1D1∩HD1＝D1，BD∩BF＝B，

所以平面BDF平面B1D1H.

【点睛】本题考查了线面平行和面面平行的证明，考查了学生空间想象、逻辑推理能力，属于中档题

22．已知关于x的不等式的解集为．

(1)写出a和b满足的关系；

(2)解关于x的不等式．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）化简，结合不等式的解集即可判断，得到即可得到a和b满足的关系.

（2）可用或对不等式进行等价转化，化简计算即可求出不等式的解集.

【详解】(1)解：因为，所以，

因为不等式的解集为，所以，且，解得．

(2)由（1）得

则不等式等价为，

即，即．

因为，所以不等式的解为．

即所求不等式的解集为．（说明：解集也可以用a表示）

23．（1）已知，且，，求：的值．

（2）如图所示，已知，Q是内一点，它到两边的距离分别为2和11，求OQ的长．

【答案】（1）；（2）14.

【分析】（1）利用同角公式及和角的余弦公式计算作答.

（2）作于A，于B，用OQ长表示的正余弦，再借助和角的余弦公式计算作答.

【详解】（1）因为，则有，，

又，，则，，

所以.

（2）作于A，于B，有，，设，如图，

在中，，，在中，，，

而Q在内，则，而，

于是得，即，解得，

所以OQ的长是14.

【点睛】关键点睛：涉及直角三角形锐角的三角函数，合理利用直角三角形中边的比表示是解题的关键.

24．已知函数对任意实数p，q都满足，且．

(1)当时，求的表达式；

(2)设（），是数列的前n项和，求．

(3)设（），数列的前n项和为，若对恒成立，求最小正整数m．

【答案】(1)；

(2)；

(3)2012.

【分析】（1）利用给定条件，可得，再借助等比数列定义求解作答.

（2）由（1）的结论，利用错位相减法计算作答.

（3）由（1）的结论，利用裂项相消法求和，结合恒成立的不等式列式计算作答.

【详解】(1)依题意，当时，，而，则数列是以为首项，为公比的等比数列，

所以.

(2)由（1）知，

，

，

两式相减得，

所以.

(3)由（1）知，，于是得，

因此，，

则，

依题意，，解得，

所以最小正整数m的值是2012.

【点睛】思路点睛：如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前n项和时，可采用错位相减法求和，

一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解.