高考数学一轮复习考点规范练55古典概型条件概率与全概率公式含解析新人教版

考点规范练55　古典概型、条件概率与全概率公式

一、基础巩固

1.某市气象监测资料表明,清明节当天下雨的概率为0.9,清明节当天及随后一天都下雨的概率为0.63.若该市某年清明节当天下雨,则随后一天也下雨的概率为(　　)

A.0.63 B.0.7 C.0.9 D.0.567

答案:B

解析:设“清明节当天下雨”为事件A,“清明节随后一天下雨”为事件B,则P(A)=0.9,P(AB)=0.63,

故P(B|A)==0.7.

2.将三枚质地均匀的骰子各掷一次,设事件A=“三个点数都不同”,B=“至少出现一个3点”,则概率P(A|B),P(B|A)分别是(　　)

A B 

C D

答案:A

解析:由题意可知P(A)=,

P(B)=,

P(AB)=,

故P(A|B)=,

P(B|A)=

3.已知P(A)=0.6,P(B)=0.5,P(A|B)=0.3,则P(B|A)=(　　)

A.0.25 B.0.5 

C.0.75 D.0.125

答案:A

解析:P(B|A)==0.25.

4.纹样是中国传统文化的重要组成部分,小楠从小就对纹样艺术有浓厚的兴趣,他收集了9枚不同的纹样徽章,其中4枚凤纹徽章,5枚龙纹徽章.小楠从9枚徽章中任取3枚,则其中至少有1枚凤纹徽章的概率为(　　)

A B 

C D

答案:B

解析:从9枚徽章中任取3枚的不同取法有种,其中没有凤纹徽章的不同取法有种,

故其中至少有1枚凤纹徽章的概率为1-

5.从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取两个不同的数,则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为　　　　　. 

答案:

解析:从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取两个不同的数,有=36(种)情形,设事件A=“其中一个数恰是另一个数的3倍”,则A={(1,3),(2,6),(3,9)},共3种等可能的样本点,故所求概率为

6.已知一批零件是由甲、乙、丙三名工人生产的,三人生产的产品分别占总产量的20%,40%,40%.已知三人生产产品的次品率分别为5%,4%,3%,现从这批零件中任取一个零件,则它是次品的概率为　　　　　. 

答案:0.038

解析:设事件A=“任取一个零件是次品”,B1=“任取一个零件是甲生产的”;B2=“任取一个零件是乙生产的”,B3=“任取一个零件是丙生产的”,则由题意可知P(B1)=0.2,P(B2)=0.4,P(B3)=0.4,P(A|B1)=0.05,P(A|B2)=0.04,P(A|B3)=0.03,故P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)·P(A|B3)=0.2×0.05+0.4×0.04+0.4×0.03=0.038.

7.某海关对同时从A,B,C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此种商品的数量(单位:件)如下表所示.工作人员用分层随机抽样的方法从这些商品中抽取6件商品进行检测.

(1)求分别从A,B,C三个地区的商品中抽取的商品数量;

(2)若从这6件商品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测,求这2件商品来自相同地区的概率.

解:(1)由题意可知从A地区商品中抽取50=1(件),从B地区商品中抽取150=3(件),从C地区商品中抽取100=2(件).

(2)从6件商品中随机抽取2件,有=15(种)不同的取法,其中2件商品来自相同地区的不同取法有=4(种),故所求概率为

8.已知某人从外地赶来参加紧急会议.他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是,若他乘飞机来,则不会迟到;而乘火车、轮船或汽车来,迟到的概率分别为已知此人迟到,请推断他是怎样来的.

解:设事件A1=“乘火车来”,A2=“乘轮船来”,A3=“乘汽车来”,A4=“乘飞机来”,B=“迟到”.

由题意得P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(A4)=,P(B|A1)=,P(B|A2)=,P(B|A3)=,P(B|A4)=0.

由贝叶斯公式,得

P(A1|B)=

同理P(A2|B)=,P(A3|B)=,P(A4|B)=0.

因为P(A1|B)>P(A2|B)>P(A3|B)>P(A4|B),

所以推断此人乘火车来的可能性最大.

二、综合应用

9.已知a∈{0,1,2},b∈{-1,1,3,5},则函数f(x)=ax2-2bx在区间(1,+∞)内单调递增的概率是(　　)

A B C D

答案:A

解析:由题意可知样本空间Ω={(a,b)|a∈{0,1,2},b∈{-1,1,3,5}},其中共有12个等可能的样本点.

设事件A=“函数f(x)=ax2-2bx在区间(1,+∞)内单调递增”.

由函数f(x)=ax2-2bx在区间(1,+∞)内单调递增,可知

①当a=0时,f(x)=-2bx,则-2b>0,即b<0,故b=-1.

②当a>0时,需要满足1,故当a=1时,b=-1或b=1,当a=2时,b=-1或b=1.

所以A={(0,-1),(1,-1),(1,1),(2,-1),(2,1)},n(A)=5.

所以函数f(x)=ax2-2bx在区间(1,+∞)内单调递增的概率P(A)=

10.(2021天津耀华中学一模)为了解学生的身体状况,某校随机抽取了一批学生测量体重,经统计,这批学生的体重数据(单位:千克)全部介于45至70之间.将数据分成5组,并得到频率分布直方图如图所示.现采用分层随机抽样的方法,从[55,60),[60,65),[65,70]这三个区间中随机抽取6名学生,再从这6名学生中随机抽取3人,则这3人中恰有2人体重位于区间[55,60)的概率是              (　　)

A B C D

答案:B

解析:由频率分布直方图,可得(0.01+0.07+0.06+a+0.02)×5=1,解得a=0.04.

由分层随机抽样,可知从区间[55,60)中抽取6=3(人),

从区间[60,65)中抽取6=2(人),

从区间[65,70]中抽取6=1(人).

所以从这6名学生中随机抽取3人,这3人中恰有2人体重位于区间[55,60)的概率为

11.(2021首都师大附中月考)已知袋中有大小、质地相同的4个黑球,3个白球.现掷一枚均匀的骰子,掷出几点就从袋中取出几个球.若取出的球全是白球,则掷出2点的概率为(　　)

A B C D

答案:C

解析:记事件Ai=“骰子掷出的点数为i(i=1,2,3)”,B=“取出的球全是白球”,

则P(Ai)=,P(B|Ai)=,

所以P(B)=P(Ai)P(B|Ai)=

所以若取出的球全是白球,则掷出2点的概率为P(A2|B)=

12.已知甲箱产品中有5个正品和3个次品,乙箱产品中有4个正品和3个次品.

(1)从甲箱中任取2个产品,求这2个产品都是次品的概率;

(2)若先从甲箱中任取2个产品放入乙箱中,再从乙箱中任取一个产品,求取出的这个产品是正品的概率.

解:(1)从甲箱中任取2个产品,有=28(种)不同的取法,

其中2个产品都是次品的不同取法有=3(种),

故从甲箱中任取2个产品,这2个产品都是次品的概率为

(2)设事件A=“从乙箱中取出一个产品是正品”,B1=“从甲箱中取出2个产品都是正品”,B2=“从甲箱中取出1个正品,1个次品”,B3=“从甲箱中取出2个产品都是次品”,则

P(B1)=,P(B2)=,

P(B3)=,

P(A|B1)=,

P(A|B2)=,

P(A|B3)=,

故所求概率P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=

13.某种仪器由三个部件组装而成.假设各部件质量互不影响,它们的优质品率分别为0.8,0.7,0.9.如果三个部件都是优质品,那么组装后的仪器一定合格;如果有一个部件不是优质品,那么组装后仪器的不合格率为0.2;如果有两个部件不是优质品,那么组装后仪器的不合格率为0.6;如果三个部件都不是优质品,那么组装后仪器的不合格率为0.9.

(1)求仪器的不合格率;

(2)若已发现一台仪器不合格,则它有几个部件不是优质品的概率最大?

解:记事件B=“仪器不合格”,Ai=“仪器有i个部件不是优质品”,i=0,1,2,3.

显然A0∪A1∪A2∪A3=Ω,且A0,A1,A2,A3两两互斥.

根据题意得P(B|A0)=0,P(B|A1)=0.2,P(B|A2)=0.6,P(B|A3)=0.9,P(A0)=0.8×0.7×0.9=0.504,

P(A1)=0.2×0.7×0.9+0.8×0.3×0.9+0.8×0.7×0.1=0.398,

P(A3)=0.2×0.3×0.1=0.006,

P(A2)=1-P(A0)-P(A1)-P(A3)=0.092.

(1)由全概率公式,得

P(B)=P(Ai)P(B|Ai)=0.504×0+0.398×0.2+0.092×0.6+0.006×0.9=0.1402.

(2)由贝叶斯公式,得P(A0|B)=0,

P(A1|B)=,

P(A2|B)=,

P(A3|B)=

比较结果可知,若已发现一台仪器不合格,则它有一个部件不是优质品的概率最大.

三、探究创新

14.深受广大球迷喜爱的某支足球队,在对球员的安排上总是进行数据分析.

(1)为了考察甲球员对球队的贡献,现作如下数据统计:

求a,b,c,d,n的值,根据小概率值α=0.05的独立性检验,据此分析球队胜负与甲球员参赛是否有关.

(2)根据以往的数据统计,乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置,且出场率分别为0.2,0.5,0.2,0.1,当其出任前锋、中锋、后卫以及守门员时,球队输球的概率依次为0.4,0.2,0.6,0.2.

①当乙球员参加比赛时,求球队某场比赛输球的概率;

②当乙球员参加比赛时,在球队输了某场比赛的条件下,求他担任前锋的概率;

③如果你是教练员,应用概率统计的有关知识,该如何安排乙球员?

附表及公式:

χ2=

解:(1)依题意,a=30-22=8,b=30-22=8,c=8+12=20,d=8+12=20,n=30+20=50.

零假设为H0:球队胜负与甲球员参赛无关.

根据表中数据计算得χ2=5.556>3.841=x0.05.

根据小概率值α=0.05的独立性检验,可以推断H0不成立,即认为球队胜负与甲球员参赛有关,此推断犯错误的概率不大于0.05.

(2)①设事件A1=“乙球员担任前锋”,A2=“乙球员担任中锋”,A3=“乙球员担任后卫”,A4=“乙球员担任守门员”,B=“球队输掉某场比赛”,则P(A1)=0.2,P(A2)=0.5,P(A3)=0.2,P(A4)=0.1,P(B|A1)=0.4,P(B|A2)=0.2,P(B|A3)=0.6,P(B|A4)=0.2,

故P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)·P(B|A3)+P(A4)P(B|A4)=0.2×0.4+0.5×0.2+0.2×0.6+0.1×0.2=0.32.

②由①及题意知所求概率P(A1|B)==0.25.

③因为P(B|A2)=P(B|A4)<P(B|A1)<P(B|A3),

所以乙球员担任中锋或守门员时,球队输球的概率最小,

所以应该多让乙球员担任中锋或守门员.