高考数学一轮复习考点规范练4简单的逻辑联结词全称量词与存在量词含解析新人教A版文

考点规范练4　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

基础巩固

1.下列命题中的假命题是(　　)

A.∀x∈R,>0 B.∀x∈N,x2>0 

C.∃x∈R,ln x<1 D.∃x∈N*,sin=1

答案:B

解析:对于B,当x=0时,x2=0,因此B中命题是假命题.

2.若定义域为R的函数f(x)不是偶函数,则下列命题中一定为真命题的是(　　)

A.∀x∈R,f(-x)≠f(x)

B.∀x∈R,f(-x)=-f(x)

C.∃x0∈R,f(-x0)≠f(x0)

D.∃x0∈R,f(-x0)=-f(x0)

答案:C

解析:不是偶函数是对偶函数的否定,定义域为R的偶函数的定义:∀x∈R,f(-x)=f(x),这是一个全称命题,故它的否定为特称命题:∃x0∈R,f(-x0)≠f(x0),故选C.

3.“对x∈R,关于x的不等式f(x)>0有解”等价于(　　)

A.∃x0∈R,使得f(x0)>0成立

B.∃x0∈R,使得f(x0)≤0成立

C.∀x∈R,f(x)>0成立

D.∀x∈R,f(x)≤0成立

答案:A

解析:对x∈R,关于x的不等式f(x)>0有解,即不等式f(x)>0在实数范围内有解,故与命题“∃x0∈R,使得f(x0)>0成立”等价.

4.若命题p:函数y=x2-2x的单调递增区间是[1,+∞),命题q:函数y=x-的单调递增区间是[1,+∞),则(　　)

A.p∧q是真命题 B.p∨q是假命题

C.p是真命题 D.q是真命题

答案:D

解析:因为函数y=x2-2x的单调递增区间是[1,+∞),所以p是真命题;因为函数y=x-的单调递增区间是(-∞,0)和(0,+∞),所以q是假命题.所以p∧q为假命题,p∨q为真命题,p为假命题,q为真命题.

5.下列命题中,正确的是(　　)

A.命题“∀x∈R,x2-x≤0”的否定是“∃x0∈R,-x0≥0”

B.命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件

C.“若am2≤bm2,则a≤b”的否命题为真

D.若实数x,y∈[-1,1],则满足x2+y2≥1的概率为

答案:C

解析:A项中的否定是“∃x0∈R,-x0>0”,故A错误;

B项中命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的充分不必要条件,故B错误;

D项中概率为,故D错误;故选C.

6.已知命题p:对任意x∈R,总有2x>x2;q:“ab>1”是“a>1,b>1”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是(　　)

A.p∧q B.(p)∧q 

C.p∧(q) D.(p)∧(q)

答案:D

解析:命题p:对任意x∈R,总有2x>x2,它是假命题,例如取x=2时,2x与x2相等.

q:由a>1,b>1⇒ab>1;反之不成立,例如取a=10,b=.

∴“ab>1”是“a>1,b>1”的必要不充分条件,即q是假命题.

∴真命题是(p)∧(q),故选D.

7.已知p:x2+2x-3>0;q:x>a,且?q的一个充分不必要条件是p,则a的取值范围是(　　)

A.[1,+∞) B.(-∞,1]

C.[-1,+∞) D.(-∞,-3]

答案:A

解析:由x2+2x-3>0,得x<-3或x>1.由q的一个充分不必要条件是p,可知p是q的充分不必要条件,等价于q是p的充分不必要条件.故a≥1.

8.下列命题的否定为假命题的是(　　)

A.∃x0∈R,+2x0+2≤0

B.任意一个四边形的四个顶点共圆

C.所有能被3整除的整数都是奇数

D.∀x∈R,sin2x+cos2x=1

答案:D

解析:选项A中,命题的否定是“∀x∈R,x2+2x+2>0”.

由于x2+2x+2=(x+1)2+1>0对∀x∈R恒成立,故为真命题;

选项B,C中的命题都是假命题,故其否定都为真命题;

而选项D中的命题是真命题,故其否定为假命题,故选D.

9.已知命题p:∀x∈R,x3<x4;命题q:∃x0∈R,sin x0-cos x0=-.则下列命题为真命题的是(　　)

A.p∧q B.(p)∧q

C.p∧(q) D.(p)∧(q)

答案:B

解析:若x3<x4,则x<0或x>1,故命题p为假命题;

若sinx-cosx=sin=-,

则x-+2kπ(k∈Z),即x=+2kπ(k∈Z),

故命题q为真命题.因此(p)∧q为真命题.

10.若“∀x∈,tan x≤m”是真命题,则实数m的最小值为　　　　　. 

答案:1

解析:∵∀x∈,tanx∈[0,1],

∴m≥1.∴m的最小值为1.

11.(2020全国Ⅱ,文16)设有下列四个命题:

p1:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.

p2:过空间中任意三点有且仅有一个平面.

p3:若空间两条直线不相交,则这两条直线平行.

p4:若直线l⊂平面α,直线m⊥平面α,则m⊥l.

则下述命题中所有真命题的序号是　　　　　. 

①p1∧p4　②p1∧p2　③p2∨p3　④p3∨p4

答案:①③④

解析:∵p1,p4为真命题,p2,p3为假命题,∴p2,p3为真命题,∴p1∧p4为真命题,p1∧p2为假命题,p2∨p3为真命题,p3∨p4为真命题.故填①③④.

能力提升

12.下列命题中的真命题是(　　)

A.存在x0∈R,sin2+cos2

B.任意x∈(0,π),sin x>cos x

C.任意x∈(0,+∞),x2+1>x

D.存在x0∈R,+x0=-1

答案:C

解析:对于选项A,∀x∈R,sin2+cos2=1,所以命题为假命题;对于选项B,存在x=,sinx=,cosx=,sinx<cosx,所以命题为假命题;对于选项C,x2+1-x=>0恒成立,所以命题为真命题;对于选项D,x2+x+1=>0恒成立,所以不存在x0∈R,使+x0=-1,所以命题为假命题.故选C.

13.记不等式组表示的平面区域为D.命题p:∃(x,y)∈D,2x+y≥9;命题q:∀(x,y)∈D,2x+y≤12.下面给出了四个命题

①p∨q　②p∨q　③p∧q　④p∧q

这四个命题中,所有真命题的编号是(　　)

A.①③ B.①② C.②③ D.③④

答案:A

解析:如图,不等式组表示的平面区域D为图中阴影部分.

作出直线2x+y=9与直线2x+y=12,可知两直线均通过平面区域D,所以p真,q假,p假,q真,故①③真,②④假.故选A.

14.已知命题p1:设函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),且f(1)=-a,则f(x)在区间[0,2]上必有零点;p2:设a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的充分不必要条件.则在命题q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:(p1)∨p2,q4:p1∧(p2)中,真命题是(　　)

A.q1,q3 B.q2,q3

C.q1,q4 D.q2,q4

答案:C

解析:p1:因为f(1)=-a,所以a+b+c=-a,即c=-b-2a.

又因为f(0)=c=-b-2a,f(2)=4a+2b+c=4a+2b-b-2a=2a+b,

所以f(0)f(2)=(-b-2a)(2a+b)=-(b+2a)2≤0.

所以f(x)在区间[0,2]上必有零点,故命题p1为真命题.

p2:设f(x)=x|x|=

画出f(x)的图象(图象略)可知函数f(x)在R上为增函数.

所以当a>b时,有f(a)>f(b),即a|a|>b|b|.反之也成立.

故“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件,故命题p2为假命题.则q1:p1∨p2为真命题.q2:p1∧p2为假命题.q3:(p1)∨p2为假命题.q4:p1∧(p2)为真命题.故选C.

15.由命题“存在x0∈R,使+2x0+m≤0”是假命题,求得m的取值范围是(a,+∞),则实数a的值是　　　　　. 

答案:1

解析:∵命题“存在x0∈R,使+2x0+m≤0”是假命题,

∴命题“∀x∈R,x2+2x+m>0是真命题”,

故Δ=22-4m<0,即m>1,故a=1.

16.已知命题p:方程x2-mx+1=0有实数解,命题q:x2-2x+m>0对任意x恒成立.若命题q∨(p∧q)为真,p为真,则实数m的取值范围是　　　　　　. 

答案:(1,2)

解析:因为p为真,所以p为假.所以p∧q为假.

又q∨(p∧q)为真,所以q为真,即命题p为假、q为真.

命题p为假,即方程x2-mx+1=0无实数解,此时m2-4<0,解得-2<m<2;

命题q为真,则4-4m<0,解得m>1.

故所求的m的取值范围是1<m<2.

高考预测

17.下列说法正确的是(　　)

A.“f(0)=0”是“函数f(x)是奇函数”的充要条件

B.若p:∃x0∈R,-x0-1>0,则p:∀x∈R,x2-x-1<0

C.若p∧q为假命题,则p,q均为假命题

D.“若α=,则sin α=”的否命题是“若α≠,则sin α≠”

答案:D

解析:对于A,函数f(x)=是定义域上的奇函数,但f(0)不存在,故A不正确;

对于B,若p:∃x0∈R,-x0-1>0,则p:∀x∈R,x2-x-1≤0,故B不正确;

对于C,若p∧q为假命题,则p,q至少有一个假命题,故C不正确;

对于D,“若α=,则sinα=”的否命题是“若α≠,则sinα≠”,故D正确.