广西专用高考数学一轮复习考点规范练25解三角形含解析新人教A版理

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考点规范练25　解三角形基础巩固1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,b=2,A=60°,则c=(　　)A B.1 C D.2答案:B解析:由已知及余弦定理,得3=4+c2-2×2×c,整理,得c2-2c+1=0,解得c=1.故选B.2.(2020辽宁锦州期末)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2,c=2,A=30°,则角C为(　　)A.60° B.60°或120° C.45° D.45°或135°答案:B解析:由正弦定理得,即,得sinC=,∵c>a,∴C>A,得C=60°或C=120°.3.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,a=1,ccos A+acos C=2bcos B,△ABC的面积S=,则b等于(　　)A B.4 C.3 D答案:A解析:由题意可得,2sinBcosB=sinC·cosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB,又B∈(0,π),∴sinB≠0,∴cosB=,∴B=∴S=ac·sinB=1×c,∴c=4.又b2=a2+c2-2accosB=1+16-2×1×4=13,∴b=4.在三角形ABC中,若sin Csin(A-B)=sin2(A+B),则此三角形是(　　)A.直角三角形 B.等腰三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形答案:A解析:∵在△ABC中,sin(A+B)=sinC,∴sinCsin(A-B)=sin2C,又sinC≠0,故sin(A-B)=sinC=sin(A+B),得sinAcosB-cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB,即2cosAsinB=0,∴cosA=0或sinB=0(不合题意,舍去),∴A=90°.则此三角形为直角三角形.5.(2020广西贵港四模)已知△ABC中,BC边上的中线AD=3,BC=4,∠BAC=60°,则△ABC的周长为(　　)A+4 B.4+4 C.5+4 D.2+4答案:A解析:在△ABD和△ADC中,根据余弦定理可得AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠ADB=13-12cos∠ADB,AC2=AD2+CD2-2AD·CD·cos∠ADC=13-12cos∠ADC,∴AB2+AC2=26,又BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=26-AB·AC=16,∴AB·AC=10,∴(AB+AC)2=AB2+AC2+2AB·AC=26+20=46.∴AB+AC=故△ABC的周长为AB+AC+BC=+4.6.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=,则△ABC的面积为　　　　. 答案:6解析:∵b2=a2+c2-2accosB,∴由题意可得(2c)2+c2-2×2c×c=62,即3c2=36,解得c=2或c=-2(舍去).∴a=2c=4∴S△ABC=acsinB=42=67.(2020陕西西安模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin2A-sin2B=sin2C-sin Bsin C,a=,则△ABC的外接圆面积为　　　　　. 答案:π解析:由于sin2A-sin2B=sin2C-sinBsinC,利用正弦定理得,a2-b2=c2-bc,整理得cosA=,由于A∈(0,π),所以A=,设△ABC外接圆半径为R,则2R==2,故R=1.所以所求面积为π·12=π.8.在△ABC中,B=120°,AB=,A的角平分线AD=,则AC=　　　　　. 答案:解析:由题意及正弦定理,可知,即,则sin∠ADB=,又0°<∠ADB<60°,故∠ADB=45°.所以A=180°-120°-45°,故A=30°,则C=30°,所以三角形ABC是等腰三角形.所以AC=9.如图,为了测量两山顶D,C间的距离,飞机沿水平方向在A,B两点进行测量,在A位置时,观察D点的俯角为75°,观察C点的俯角为30°;在B位置时,观察D点的俯角为45°,观察C点的俯角为60°,且AB= km,则C,D之间的距离为　　　　　. 答案: km解析:在△ABD中,∵∠BAD=75°,∠ABD=45°,∴∠ADB=60°.由正弦定理可得,即,∴AD=(km),由题意得∠ABC=120°,∠BAC=∠BCA=30°,∴BC=AB=km,∴AC=3km.在△ACD中,由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC·ADsin∠DAC=5,即CD=km.10.(2020湖北武汉模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,b=2acos C.(1)判断△ABC的形状;(2)若b=2,△ABC的面积为2,BC的中点为D,求AD的长.解:(1)b=2acosC可化为sinB=2sinAcosC.又B=π-(A+C),所以sin(A+C)=2sinAcosC,可得sinAcosC+cosAsinC=2sinAcosC,可得sinAcosC-cosAsinC=0,可得sin(A-C)=0.因为0<A<π,0<C<π,所以-π<A-C<π,所以A-C=0,A=C.所以△ABC为等腰三角形.(2)由(1)知a=c,在△ABC中,取AC的中点E,连接BE,则BE⊥AC,又△ABC的面积为absinC=2,所以sinC=,又cosC=,根据sin2C+cos2C=1,得=1,所以a=c=3,cosC=在△ADC中,由余弦定理,得AD2=4+-2×2,所以AD=能力提升11.(2020湖北武汉期末)在锐角△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a2=b2+c2,则tan A的取值范围是(　　)A B C.(,+∞) D.[2,+∞)答案:B解析:由a2=b2+c2,又a2=b2+c2-2bccosA,则b2+c2=b2+c2-2bccosA,可得c=4bcosA.由正弦定理得sinC=4sinBcosA,即sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=4sinBcosA,化简为3sinBcosA=sinAcosB,在锐角△ABC中,cosA≠0,cosB≠0,则tanA=3tanB,又tanC=-tan(A+B)=-=-,由tanA>0,tanC>0,可得1-tan2A<0,解得tanA>12.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,b=4,则△ABC的面积的最大值为(　　)A.4 B.2 C.2 D答案:A解析:∵在△ABC中,,∴(2a-c)cosB=bcosC.∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC.∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA.又sinA≠0,∴cosB=,即B=又b=4,故由余弦定理可得16=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,故ac≤16,当且仅当a=c时取等号,因此,△ABC的面积S=acsinB=ac≤4,故选A.13.(2020浙江绍兴二模)在四边形ABCD中,∠BAD=60°,∠BCD=120°,BC=2,BD=5,则cos∠BDC=　　　,AB·AC的最大值为　　　　. 答案:　30解析:在△BCD中,∠BCD=120°,BC=2,BD=5,由正弦定理得,,解得sin∠BDC=又0°<∠BDC<60°,∴cos∠BDC=在四边形ABCD中,∠BAD+∠BCD=60°+120°=180°,故A,B,C,D四点共圆,故∠BAC=∠BDC,在△ABC中,BC=2,由余弦定理和基本不等式,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC≥2AB·AC-2AB·AC·cos∠BDC=AB·AC,∴12AB·AC,解得AB·AC≤30.故AB·AC的最大值为30.14.设函数f(x)=sin+2cos2x.(1)当x时,求函数f(x)的值域;(2)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且f(A)=a=b,c=1+,求△ABC的面积.解:(1)由已知得,f(x)=sin2x-cos2x+cos2x+1=sin2x+cos2x+1=sin+1.∵x,2x+,sin+1≤2.∴函数f(x)的值域为(2)∵f(A)=sin+1=,∴sin又0<A<π,<2A+,∴2A+,即A=a=b,∴由正弦定理得,sinA=sinB,∴sinB=又0<B<,∴B=sinC=sin(A+B)=由正弦定理得,=2,∴b=2.∴S△ABC=bcsinA=高考预测15.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,若4S=b2+c2-a2.(1)求角A;(2)若a=2,b=2,求角C.解:(1)∵△ABC中,b2+c2-a2=4S=4bcsinA=2bcsinA,∴cosA=sinA,∴tanA=又0<A<π,∴A=(2)∵a=2,b=2,A=,∴由得sinB=,∵0<B<,且B>A,∴B=,∴当B=时,C=;当B=时,C=