高中人教版 (2019)第一章 动量守恒定律5 弹性碰撞和非弹性碰撞学案设计

第5节 弹性碰撞和非弹性碰撞

自主学习·必备知识

教材研习

教材原句

要点一 弹性碰撞和非弹性碰撞

如果系统在碰撞前后 动能不变①，这类碰撞叫作 弹性碰撞②。如果系统在碰撞后 动能减少③，这类碰撞叫作 非弹性碰撞④。

要点二 正碰

两个小球相碰，碰撞之前球的运动速度与两球心的连线 在同一条直线上⑤，碰撞之后两球的速度仍会沿着这条直线。这种碰撞称为 正碰⑥，也叫作对心碰撞或一维碰撞。

自主思考

①“动能不变”指的是发生碰撞的物体动能都不变吗？

答案：提示 “动能不变”指的是发生碰撞的系统的动能不变，单个物体的动能可以发生变化。

②两球发生弹性正碰时，两者碰后一定交换速度吗？

答案：提示 不一定。只有质量相等的两个小球发生弹性正碰时，碰后才会交换速度。

③在非弹性碰撞过程中，系统的动能有损失，能否说明碰撞过程能量不守恒？

答案：提示 不能。碰撞过程中能量守恒，损失的动能变成了其他形式的能，如内能。

④子弹射入并停在木块中，系在绳子两端的物体将松弛的绳子突然拉直，以上两个过程可以视为哪一类碰撞？

答案：提示 都可视为完全非弹性碰撞，因为两个过程中，发生作用的两个物体最后都以相同的速度一起运动。

⑤如图所示为两个台球碰撞的示意图，这两个球发生的是正碰吗？

答案：提示 不是。如果碰撞之前球的运动速度方向与两球心的连线不在同一条直线上，碰撞之后两球的速度方向都会偏离原来两球心的连线而运动，这样的碰撞叫作斜碰(非对心碰撞)。

名师点睛

1.碰撞后，两个物体粘在一起，动量是守恒的，但机械能损失是最大的。

2.与静止的小球发生弹性碰撞时，入射小球碰后的速度不可能大于其入射速度。

3.质量相等的两球发生弹性正碰时，两者碰后交换速度。

互动探究·关键能力

探究点一 碰撞的特点和分类

情境探究

1.保龄球运动中，10个保龄球瓶摆放在一个三角形区域内，有经验的运动员可以一次用保龄球击倒全部保龄球瓶，这其中除了运用好掷球技巧外，对碰撞规律的深刻理解也很关键。那么保龄球与保龄球瓶之间的碰撞遵守什么规律？

答案：提示 保龄球与保龄球瓶之间的碰撞遵守动量守恒定律。

探究归纳

1.碰撞过程的四个特点

（1）时间短：在碰撞现象中，相互作用的时间很短。

（2）相互作用力大：碰撞过程中，相互作用力先急剧增大，后急剧减小，平均作用力很大。

（3）位移小：碰撞过程是在一瞬间发生的，时间极短，在物体发生碰撞的瞬间，可忽略物体的位移，认为物体在碰撞前后仍在同一位置。

（4）满足动量守恒的条件：系统的内力远远大于外力，所以即使系统所受合外力不为零，外力也可以忽略，系统的总动量守恒。

2.碰撞的种类及特点

探究应用

例 如图，立柱固定于光滑水平面上 点，质量为 的小球 向右运动，与静止于 点的质量为 的小球b发生弹性碰撞，碰后 球立即向左运动，b球与立柱碰撞能量不损失，所有碰撞时间均不计，b球恰好在 点追上 球， 点为 中点，则 、 球质量之比 为(      )

A. B. C. D.

答案：

解析：设 、 两球碰后速度大小分别为 、

由题有，b球与挡板发生弹性碰撞后恰好在 点追上 ，则从碰后到相遇， 、 球通过的路程之比为

根据 得

以水平向右为正方向，两球发生弹性碰撞，设 球的初速度为 。由动量守恒定律得

由机械能守恒定律得

解得 ，故选 。

思维引导

本题中 、 两球的碰撞为弹性碰撞，碰撞前后系统动量和动能都守恒， 球与立柱碰撞发生的也是弹性碰撞，碰撞后 球速度大小不变，方向反向。

迁移应用

1.在光滑水平面上，一质量为 、速度大小为 的 球与质量为 且静止的 球碰撞后， 球的速度方向与碰撞前速度方向相反，则碰撞后 球的速度大小可能是(      )

A. B. C. D.

答案：

解析：以 球碰撞前速度方向为正方向，两球在碰撞的过程中动量守恒，有 ，又 ，故 ，选项 正确。

2.如图所示，轨道 中的 段为一半径 的光滑 圆形轨道， 段为足够长的粗糙水平面。一小滑块 由 点从静止开始下滑，滑到 点时与静止在 点相同质量的小滑块 碰撞后粘在一起，两滑块在 水平面上滑行一段距离后停下。 取 ，两滑块与水平面间的动摩擦因数均为 ＝0.1。

（1）小滑块 刚到达 圆形轨道 点时轨道对它的支持力 为 ，求该滑块的质量和运动到 点的速度大小；

（2）求两滑块在水平面上滑行的距离。

答案：（1） （2）

解析：（1）小滑块 沿光滑 圆形轨道下滑到达 点的过程中，由动能定理得

在 点，由牛顿第二定律得

代入数据解得 ，

（2）碰撞过程中动量守恒，由动量守恒定律得

解得

两滑块在水平面上滑行的过程中，由动能定理得

解得

探究点二 弹性碰撞的规律

情境探究

1.如图是“牛顿摆”装置，5个完全相同的小钢球用轻绳悬挂在水平支架上，5根轻绳互相平行，5个钢球彼此紧密排列，球心等高。用1、2、3、4、5分别标记5个小钢球，当把小钢球1向左拉起一定高度，如图甲所示，然后由静止释放，在极短时间内经过小钢球间的相互碰撞，可观察到小钢球5向右摆起，且到达的最大高度与小钢球1的释放高度相同，如图乙所示，你能解释这是为什么吗？

答案：提示 该碰撞为弹性碰撞。满足动量守恒、动能守恒，质量相等的小钢球发生弹性碰撞，碰后速度“交换”。小钢球1与小钢球2碰撞后交换速度，小钢球2与小钢球3碰撞后交换速度，小钢球3与小钢球4碰撞后交换速度，小钢球4与小钢球5碰撞后交换速度，最终小钢球1、2、3、4静止，小钢球5运动，且上升的最大高度与小钢球1的释放高度相同。

探究归纳

1.一动一静"弹性碰撞模型的建立

如图所示，已知 、 两个刚性小球质量分别是 、 ，小球 静止在光滑水平面上， 以初速度 与小球 发生弹性碰撞，求碰撞后小球 的速度 、小球 的速度 的大小和方向。

答案：取小球 初速度 的方向为正方向，因发生的是弹性碰撞，碰撞前后系统动量守恒、动能不变，有

联立解得 ,

讨论：（1）若 ，则 、 ，物理意义：入射小球质量大于被碰小球质量，则入射小球碰后仍沿原方向运动但速度变小，被碰小球的速度大于入射小球碰前的速度。

（2）若 ，则 、 ，物理意义：入射小球与被碰小球质量相等，则碰后两球交换速度。

（3）若 ，则 （即 与 方向相反 、 ，物理意义：入射小球质量小于被碰小球质量，则入射小球将被反弹回去，被碰小球的速度小于入射小球碰前的速度。

（4）若 ，则 趋近于 、 趋近于 ，物理意义：入射小球质量比被碰小球质量大得多，则入射小球的速度几乎不变，被碰小球的速度接近入射小球碰前速度的2倍，也就是说被碰小球对入射小球的运动影响很小，但入射小球对被碰小球的运动影响不能忽略，例如用一个铅球去撞击一个乒乓球。

（5）若 ，则 趋近于 、 趋近于0，物理意义：入射小球质量比被碰小球质量小得多，则入射小球几乎被以原速率反弹回去，被碰小球几乎不动，例如乒乓球撞击铅球。

注意：上面讨论出的结果不能盲目套用，应用的前提条件是一个运动的物体去碰撞一个静止的物体，且是弹性碰撞。

2."一动一静"弹性碰撞模型的类比应用

广义地讲，“碰撞”就是一种相互作用，弹性碰撞模型的应用不仅仅局限于“碰撞”，如果相互作用前后系统满足动量守恒、动能不变，具备了这一特征的物理过程，就可理解为“弹性碰撞”过程，就可以类比弹性碰撞的规律解题。

如图所示，光滑水平地面上静止放置由弹簧相连的木块 和 ，开始时弹簧处于原长，现给 一个向右的瞬时冲量，让 开始以速度 向右运动，若 ，则当弹簧再次恢复原长时，木块 和 通过弹簧相互作用，系统动量守恒，机械能守恒， 和 之间的相互作用可以视为弹性碰撞，弹簧再次恢复原长时，相当于木块 与木块 之间的弹性碰撞结束，则此时 、 的速度分别为 ， ，由于 ，所以此时 的速度向右，且 的速度小于 的速度。

探究应用

例 如图，在足够长的光滑水平面上，物体 、 、 位于同一直线上， 位于 、 之间。 的质量为 ， 、 的质量都为 ，三者均处于静止状态。现使 以某一速度向右运动，求 和 之间应满足什么条件，才能使 只与 、 各发生一次碰撞。设物体间的碰撞都是弹性碰撞。

答案：

解析： 向右运动与 发生第一次碰撞，碰撞过程中，系统的动量守恒、机械能守恒。设速度方向向右为正，开始时 的速度为 ，第一次碰撞后 的速度为 ， 的速度为 。由动量守恒定律和机械能守恒定律得

联立解得

如果 ，第一次碰撞后， 与 速度同向，且 的速度小于 的速度，不可能与 发生碰撞；如果 ，第一次碰撞后， 停止， 以 碰前的速度向右运动， 不可能与 发生碰撞；所以只需考虑 的情况。第一次碰撞后， 反向运动与 发生碰撞。设与 发生碰撞后， 的速度为 ， 的速度为 ，同样有

根据题意，要求 只与 、 各发生一次碰撞，应有

联立解得

解得

另一解 舍去。所以， 和 应满足的条件为

变式 如图，三个质量相同的滑块 、 、 ，间隔相等地静置于同一水平直轨道上。现给滑块 向右的初速度 ，一段时间后 与 发生碰撞，碰后 、 分别以 、 的速度向右运动， 再与 发生碰撞，碰后 、 粘在一起向右运动。滑块 、 与轨道间的动摩擦因数为同一恒定值。两次碰撞时间均极短。求 、 碰后瞬间共同速度的大小。

答案：

解析：设滑块质量为 ， 与 碰撞前 的速度大小为 ，由题意知，碰撞后 的速度大小为 ， 的速度大小为 ，由动量守恒定律得

设碰撞前 克服轨道阻力所做的功为 ，由功能关系得

设 与 碰撞前 的速度大小为 ， 克服轨道阻力所做的功为 ，由功能关系得

据题意可知

设 、 碰撞后瞬间共同速度的大小为 ，由动量守恒定律得

联立解得

技巧点拨

处理碰撞问题的几个关键点

（1）选取动量守恒的系统：若有三个或更多个物体参与碰撞，要合理选取所研究的系统。

（2）弄清碰撞的类型：弹性碰撞、完全非弹性碰撞还是其他非弹性碰撞。

（3）弄清碰撞过程中存在的关系：能量转化关系、几何关系、速度关系等。

迁移应用

1.一中子（质量数为1）与一质量数为 的原子核发生弹性正碰。若碰前原子核静止，则碰撞前与碰撞后中子的速率之比为(      )

A. B. C. D.

答案：

解析：利用动量守恒定律及动能定理联立求出碰撞前后中子的速度代数式，再进行比较。

2. （2021山东青岛高二期中）如图所示的三个小球的质量都为 ， 、 两球用轻弹簧连接后放在光滑的水平面上， 球以速度 沿 、 两球球心的连线向 球运动，碰后 、 两球粘在一起。求：

（1） 、 两球刚粘合在一起时的速度大小；

（2）弹簧压缩至最短时三个小球的速度大小；

（3）弹簧的弹性势能最大是多少。

答案：（1） （2） （3）

解析：（1） 、 两球碰撞过程中动量守恒，以 球的初速度方向为正方向，设 、 粘合在一起时的速度为 ，由动量守恒定律得

解得

（2）以 、 、 三球组成的系统为研究对象，设弹簧压缩至最短时三个小球的速度大小为 ，由动量守恒定律得

解得

（3）弹簧压缩至最短时弹性势能最大，由能量守恒定律得

解得

评价检测·素养提升

课堂检测

1.（多选）甲物体在光滑水平面上运动的速度为 ，与静止的乙物体相碰，碰撞过程中无机械能损失，下列结论正确的是(      )

A.乙的质量等于甲的质量时，碰撞后乙的速度为

B.乙的质量远小于甲的质量时，碰撞后乙的速度是

C.乙的质量远大于甲的质量时，碰撞后甲的速度是

D.碰撞过程中甲对乙做的功大于乙动能的增量

答案： ; ;

解析：由于碰撞过程中无机械能损失，故是弹性碰撞，根据动量守恒定律和机械能守恒定律可以解得两球碰后的速度 ， ，将各项条件代入即可。

2.如图所示，物体 静止在光滑的水平面上， 的左边固定有轻质弹簧，与 质量相等的物体 以速度 向 运动并与弹簧发生碰撞， 、 始终沿同一直线运动，则 、 组成的系统动能损失最大的时刻是(      )

A. 开始运动时

B. 的速度等于 时

C. 的速度等于零时

D. 和 的速度相等时

答案：

解析：当 触及弹簧后减速，而物体 加速，当 、 两物体速度相等时， 、 间距离最小，弹簧压缩量最大，弹性势能最大。由能量守恒定律可知 、 组成的系统损失的动能最多，故 正确。

3.（2021北京东城高二检测） 、 两物体发生正碰，碰撞前后物体 、 都在同一直线上运动，其位置 时间图像如图所示。由图可知，物体 、 的质量之比为(      )

A. B. C. D.

答案：

解析：由图像知，碰前 ， 。碰后 ，由动量守恒定律可知 ，解得 ，故 正确。

4.（多选）水平地面上有两个物体在同一直线上运动，两物体碰撞前后的速度 时间图像如图所示（其中一个物体碰后速度变为0）。下列说法正确的是(      )

A. 时，两物体的距离为

B. 时，两物体的距离为

C.两物体间的碰撞为弹性碰撞

D.碰撞前，地面对两个物体的摩擦力大小不相等

答案： ;

解析：两物体相向运动，均做匀减速直线运动，1 s时相碰，可知 时，两物体的距离为 ， 错误； 时，两物体的距离为 ， 正确；设碰前速度为正值的物体的质量为 ，碰前速度为负值的物体的质量为 ，由题设可知，碰后原来速度为正值的物体的速度变为0，由动量守恒定律可知， ，解得 ，碰前动能 ，碰后动能 ，则两物体间的碰撞为弹性碰撞， 正确；碰前速度为正值的物体所受的摩擦力大小 ，速度为负值的物体所受的摩擦力大小 ，则 错误。

素养视角

科学思维

判断一个碰撞过程是否存在的依据

对于碰撞类选择题，必须从以下三个原则去考查选项，逐一筛选、淘汰，全部通过的才是正确答案。这三个原则是：

1.满足动量守恒 。

2.满足动能不增加 。

3.速度要符合实际

（1）如果碰前两物体同向运动，则后面物体的速度必大于前面物体的速度，即 ，否则无法实现碰撞。碰撞后，原来在前的物体的速度一定增大，且原来在前的物体的速度大于或等于原来在后的物体的速度 。

（2）如果碰前两物体是相向运动，则碰后两物体的运动方向不可能都不改变，除非两物体碰撞后速度均为零。若碰后沿同向运动，则前面物体的速度大于或等于后面物体的速度，即 。

素养演练

1.甲、乙两球在水平光滑轨道上同向运动，已知它们的动量分别是 ， ，甲从后面追上乙并发生碰撞，碰后乙球的动量变为 ，则甲球质量 与乙球质量 间的关系可能正确的是(      )

A. B.

C. D.

答案：

解析：设碰后甲球动量变为 ，乙球动量变为 ，根据动量守恒定律得 ，解得 。碰撞过程系统的总动能不增加，则有，解得 ，碰撞前甲的速度大小大于乙的速度大小，则 ，解得 ，碰撞后甲的速度大小不大于乙的速度大小，则有 ，解得 ，综上有 ， 正确， 、 、 错误。

2.（多选）（2021河北邯郸测试）如图所示，光滑水平地面上有大小相同的 、 两球在同一直线上运动。两球质量关系为 ，规定向右为正方向， 、 两球的动量均为 ，运动中两球发生碰撞，碰撞前后 球动量变化量为 ，则(      )

A.左方是 球

B.右方是 球

C.碰撞后 、 两球速度大小之比为2∶5

D.两球发生的碰撞不是弹性碰撞

答案： ;

解析：光滑水平地面上大小相同的 、 两球在发生碰撞时，规定向右为正方向，由动量守恒定律可得 ，由于碰后 球的动量变化量为负值，所以右边不可能是 球，若是 球，则动量的变化量应该是正值，因此碰后 球的动量为 ，所以碰后 球的动量是增加的，为 ，由于两球质量关系为 ，那么碰撞后 、 两球速度大小之比为 ， 、 正确， 错误；设 的质量为 ，则 的质量为 ，根据 ，碰前动能： ；碰后动能： ，则两球发生的是弹性碰撞， 错误。

3.（多选）质量相等的 、 两球在光滑水平地面上沿同一直线向同一方向运动， 球的动量是 ， 球的动量是 ， 球追上 球发生碰撞，则碰撞后 、 两球的动量可能为(      )

A. ，

B. ，

C. ，

D. ，

答案： ;

解析：从动量守恒的角度分析，四个选项都正确；从能量角度分析， 、 碰撞过程中没有其他形式的能量转化为它们的动能，所以碰撞后它们的总动能不能增加。碰前 在前， 在后，碰后如果二者同向，一定仍是 在前， 在后， 不可能超越 ，所以碰后 的速度应小于或等于 的速度。 中，显然碰后 的速度大于 的速度，这是不符合实际情况的， 错误；碰前 、 的总动能 ，计算碰后 、 的总动能， 中, ， 中,， 中,， 错误， 、 正确。