2022年高考数学真题类汇编：02代数选择题知识点分类②

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02代数选择题知识点分类② 一、导数的运算（共1小题）（2022•甲卷）当x＝1时，函数f（x）＝alnx+取得最大值﹣2，则f′（2）＝（　　）A．﹣1 B．﹣ C． D．1【答案】B．【解析】解：由题意f（1）＝b＝﹣2，则f（x）＝alnx﹣，则f′（x）＝，∵当x＝1时函数取得最值，可得x＝1也是函数的一个极值点，∴f′（1）＝a+2＝0，即a＝﹣2．∴f′（x）＝，易得函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，故x＝1处，函数取得极大值，也是最大值，则f′（2）＝．二、利用导数研究函数的最值（共1小题）（2022•乙卷）函数f（x）＝cosx+（x+1）sinx+1在区间[0，2π]的最小值、最大值分别为（　　）A．﹣， B．﹣， C．﹣，+2 D．﹣，+2【答案】D．【解析】解：f（x）＝cosx+（x+1）sinx+1，x∈[0，2π]，则f′（x）＝﹣sinx+sinx+（x+1）cosx＝（x+1）cosx，令cosx＝0得，x＝或，∴当x∈[0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（，2π]时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）在区间[0，2π]上的极大值为f（）＝，极小值为f（）＝﹣，又∵f（0）＝2，f（2π）＝2，∴函数f（x）在区间[0，2π]的最小值为﹣，最大值为，三、简单线性规划（共2小题）（2022•浙江）若实数x，y满足约束条件则z＝3x+4y的最大值是（　　）A．20 B．18 C．13 D．6【答案】B．【解析】解：实数x，y满足约束条件则不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，由已知可得A（2，3），由图可知：当直线3x+4y﹣z＝0过点A时，z取最大值，则z＝3x+4y的最大值是3×2+4×3＝18，（2022•乙卷）若x，y满足约束条件则z＝2x﹣y的最大值是（　　）A．﹣2 B．4 C．8 D．12【答案】C．【解析】解：作出可行域如下图阴影部分所示，由图可知，当（x，y）取点C（4，0）时，目标函数z＝2x﹣y取得最大值，且最大为8．四、等比数列的通项公式（共1小题）（2022•乙卷）已知等比数列{an}的前3项和为168，a2﹣a5＝42，则a6＝（　　）A．14 B．12 C．6 D．3【答案】D．【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，q≠0，由题意，q≠1．∵前3项和为a1+a2+a3＝＝168，a2﹣a5＝a1•q﹣a1•q4＝a1•q（1﹣q3）＝42，∴q＝，a1＝96，则a6＝a1•q5＝96×＝3，五、数列的应用（共2小题）（2022•新高考Ⅱ）图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3．已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝（　　）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【答案】D．【解析】解：设OD1＝DC1＝CB1＝BA1＝1，则CC1＝k1，BB1＝k2，AA1＝k3，由题意得：k1＝k3﹣0.2，k2＝k3﹣0.1，且，解得k3＝0.9，（2022•上海）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，则下列选项判断正确的是（　　）A．若S2022＞S2021，则数列{an}是递增数列 B．若T2022＞T2021，则数列{an}是递增数列 C．若数列{Sn}是递增数列，则a2022≥a2021 D．若数列{Tn}是递增数列，则a2022≥a2021【答案】D．【解析】解：如果数列a1＝﹣1，公比为﹣2，满足S2022＞S2021，但是数列{an}不是递增数列，所以A不正确；如果数列a1＝1，公比为﹣，满足T2022＞T2021，但是数列{an}不是递增数列，所以B不正确；如果数列a1＝1，公比为，Sn＝＝2（1﹣），数列{Sn}是递增数列，但是a2022＜2021，所以C不正确；数列{Tn}是递增数列，可知Tn＞Tn﹣1，可得an＞1，所以q≥1，可得a2022≥a2021正确，所以D正确；六、数列递推式（共1小题）（2022•浙江）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝an﹣an2（n∈N*），则（　　）A．2＜100a100＜ B．＜100a100＜3 C．3＜100a100＜ D．＜100a100＜4【答案】B．【解析】解：∵an+1﹣an＝﹣an2＜0，∴{an}为递减数列，又，且an≠0，∴，又a1＝1＞0，则an＞0，∴，∴，∴，则，∴；由得，得，累加可得，，∴，∴；综上，．七、平面向量的基本定理（共1小题）（2022•新高考Ⅰ）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝，＝，则＝（　　）A．3﹣2 B．﹣2+3 C．3+2 D．2+3【答案】B．【解析】解：如图，＝，∴，即．八、平面向量数量积的性质及其运算（共2小题）（2022•北京）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°．P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则•的取值范围是（　　）A．[﹣5，3] B．[﹣3，5] C．[﹣6，4] D．[﹣4，6]【答案】D．【解析】解：在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，以C为坐标原点，CA，CB所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图：则A（3，0），B（0，4），C（0，0），设P（x，y），因为PC＝1，所以x2+y2＝1，又＝（3﹣x，﹣y），＝（﹣x，4﹣y），所以＝﹣x（3﹣x）﹣y（4﹣y）＝x2+y2﹣3x﹣4y＝﹣3x﹣4y+1，设x＝cosθ，y＝sinθ，所以＝﹣（3cosθ+4sinθ）+1＝﹣5sin（θ+φ）+1，其中tanφ＝，当sin（θ+φ）＝﹣1时，有最小值为﹣4，当sin（θ+φ）＝﹣1时，有最大值为6，所以∈[﹣4，6]，（2022•乙卷）已知向量，满足||＝1，||＝，|﹣2|＝3，则•＝（　　）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【解析】解：因为向量，满足||＝1，||＝，|﹣2|＝3，所以|﹣2|＝＝＝＝3，两边平方得，13﹣4＝9，解得＝1，【答案】C．九、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（共1小题）（2022•乙卷）已知向量＝（2，1），＝（﹣2，4），则|﹣|＝（　　）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D．【解析】解：，故，十、数量积表示两个向量的夹角（共1小题）（2022•新高考Ⅱ）已知向量＝（3，4），＝（1，0），＝+t，若＜，＞＝＜，＞，则t＝（　　）A．﹣6 B．﹣5 C．5 D．6【答案】C．【解析】解：∵向量＝（3，4），＝（1，0），＝+t，∴＝（3+t，4），∵＜，＞＝＜，＞，∴＝，∴＝，解得实数t＝5．十一、虚数单位i、复数（共3小题）（2022•浙江）已知a，b∈R，a+3i＝（b+i）i（i为虚数单位），则（　　）A．a＝1，b＝﹣3 B．a＝﹣1，b＝3 C．a＝﹣1，b＝﹣3 D．a＝1，b＝3【答案】B．【解析】解：∵a+3i＝（b+i）i＝﹣1+bi，a，b∈R，∴a＝﹣1，b＝3，（2022•乙卷）设（1+2i）a+b＝2i，其中a，b为实数，则（　　）A．a＝1，b＝﹣1 B．a＝1，b＝1 C．a＝﹣1，b＝1 D．a＝﹣1，b＝﹣1【答案】A．【解析】解：∵（1+2i）a+b＝2i，∴a+b+2ai＝2i，即，解得．（2022•乙卷）已知z＝1﹣2i，且z+a+b＝0，其中a，b为实数，则（　　）A．a＝1，b＝﹣2 B．a＝﹣1，b＝2 C．a＝1，b＝2 D．a＝﹣1，b＝﹣2【答案】A．【解析】解：因为z＝1﹣2i，且z+a+b＝0，所以（1﹣2i）+a（1+2i）+b＝（1+a+b）+（﹣2+2a）i＝0，所以，解得a＝1，b＝﹣2．十二、复数的运算（共3小题）（2022•甲卷）若z＝﹣1+i，则＝（　　）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i【答案】C．【解析】解：∵z＝﹣1+i，∴＝4，则＝．（2022•新高考Ⅱ）（2+2i）（1﹣2i）＝（　　）A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．6+2i D．6﹣2i【答案】D．【解析】解：（2+2i）（1﹣2i）＝2﹣4i+2i﹣4i2＝6﹣2i．40．（2022•新高考Ⅰ）若i（1﹣z）＝1，则z+＝（　　）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【答案】D．【解析】解：由i（1﹣z）＝1，得1﹣z＝，∴z＝1+i，则，∴．十三、复数的模（共2小题）（2022•甲卷）若z＝1+i，则|iz+3|＝（　　）A．4 B．4 C．2 D．2【答案】D．【解析】解：z＝1+i，∴iz+3＝i+i2+3（1﹣i）＝i﹣1+3﹣3i＝2﹣2i，则|iz+3|＝＝2．（2022•北京）若复数z满足i•z＝3﹣4i，则|z|＝（　　）A．1 B．5 C．7 D．25【答案】B．【解析】解：由i•z＝3﹣4i，得z＝，∴|z|＝||＝＝．