2023年高考数学(文数)一轮复习课时39《空间线、面的垂直关系》达标练习（2份，答案版+教师版）

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2023年高考数学(文数)一轮复习课时39《空间线、面的垂直关系》达标练习一 、选择题1.已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则(　　)A.β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B.β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C.β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直D.β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直【答案解析】答案为：C；解析：如图，设平面α与平面β的交线为a，若在平面β内的直线与α，β的交线a平行，则该直线与m垂直.但β内不一定存在直线与m平行，只有当α⊥β时才存在.故选C.2.已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m，n，有下列四个命题：①若m∥n，m⊥α，则n⊥α；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m，n与α所成的角相等，则m∥n；④若m∥α，α∩β=n，则m∥n.其中正确命题的个数是(　　)A.1       B.2           C.3       D.4【答案解析】答案为：B解析：对于①，若m∥n，m⊥α，则n⊥α，故该命题为真命题；对于②，若m⊥α，m⊥β，则α∥β，故该命题为真命题；对于③，若m，n与α所成的角相等，则m与n可能平行、相交或异面，故该命题为假命题；对于④，若m∥α，α∩β=n，则m与n的位置关系不确定，故该命题为假命题.故选答案为：B.3.如图所示，直线PA垂直于⊙O所成的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点.现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长.其中正确的是(　 　)A.①②      B.①②③          C.①        D.②③【答案解析】答案为：B；解析：对于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∵AC∩PA=A，∴BC⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥PA，∵PA⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，∴OM∥平面PAC；对于③，由①知BC⊥平面PAC，∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故①②③都正确.4.设α，β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的(　 　)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案解析】答案为：A.解析：依题意，由l⊥β，l⊂α可以推出α⊥β；反过来，由α⊥β，l⊂α不能推出l⊥β.因此“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件，故选A.5.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则(　　)A.A1E⊥DC1　        B.A1E⊥BD      C.A1E⊥BC1          D.A1E⊥AC【答案解析】答案为：C.解析：如图.∵A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，∴B，D错；∵A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1C⊥BC1，∴A1E⊥BC1，故C正确；(证明：由条件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C=C，∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E平面CEA1B1，∴A1E⊥BC1)∵A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故A错.]6.已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(　　)A.m∥l         B.m∥n        C.n⊥l         D.m⊥n【答案解析】答案为：C；解析：因为α∩β=l，所以l⊂β，又n⊥β，所以n⊥l.故选C.7.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，下面结论错误的是(　 　)A.BD∥平面CB1D1B.异面直线AD与CB1所成的角为45°C.AC1⊥平面CB1D1D.AC1与平面ABCD所成的角为30°【答案解析】答案为：D.解析：因为BD∥B1D1，所以BD∥平面CB1D1，A不符合题意；因为AD∥BC，所以异面直线AD与CB1所成的角为∠BCB1=45°，B不符合题意；因为AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，所以AC1⊥平面CB1D1，C不符合题意；AC1与平面ABCD所成的角为∠CAC1≠30°，故选D.8.已知平面α⊥平面β，α∩β=l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是(　　)A.AB∥m         B.AC⊥m      C.AB∥β         D.AC⊥β【答案解析】答案为：D；解析：因为直线m∥α，m∥β，α∩β=l，所以m∥l，所以AB∥m正确，AC⊥m正确；根据线面平行的判定定理可得AB∥β正确；当直线AC不在平面α内时，尽管AC⊥l，AC与平面β可以平行，也可以相交(不垂直)，所以AC⊥β不一定成立.故选D.9.若平面α⊥平面β，平面α∩平面β=直线l，则(　 　)A.垂直于平面β的平面一定平行于平面αB.垂直于直线l的直线一定垂直于平面αC.垂直于平面β的平面一定平行于直线lD.垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直【答案解析】答案为：D；解析：对于A，垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A错误；对于B，垂直于直线l的直线与平面α垂直、斜交、平行或在平面α内，故B错误；对于C，垂直于平面β的平面与直线l平行或相交，故C错误.D正确.10.直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF相交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为(　　)A.          B.1         C.          D.2【答案解析】答案为：A解析：设B1F＝x，因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，所以AB1⊥DF.由已知可得A1B1＝，设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，则DE＝h.又2×＝h，所以h＝，DE＝.在Rt△DB1E中，B1E＝.由面积相等得× ＝x，得x＝.11.如图所示，四棱锥P－ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论不一定成立的是(　　)A.PB⊥AC          B.PD⊥平面ABCDC.AC⊥PD          D.平面PBD⊥平面ABCD【答案解析】答案为：B解析：如图所示，对于选项A，取PB的中点O，连接AO，CO.∵在四棱锥P－ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，∴AO⊥PB，CO⊥PB，∵AO∩CO＝O，∴PB⊥平面AOC，∵AC⊂平面AOC，∴PB⊥AC，故选项A正确；对于选项B，设AC与BD交于点M，易知M为AC的中点，若PD⊥平面ABCD，则PD⊥BD，由已知条件知点D满足AC⊥BD且位于BM的延长线上，∴点D的位置不确定，∴PD与BD不一定垂直，∴PD⊥平面ABCD不一定成立，故选项B不正确；对于选项C，∵AC⊥PB，AC⊥BD，PB∩BD＝B，∴AC⊥平面PBD，∵PD⊂平面PBD，∴AC⊥PD，故选项C正确；对于选项D，∵AC⊥平面PBD，AC⊂平面ABCD，∴平面PBD⊥平面ABCD，故选项D正确.故选B.12.如图所示，三棱锥A－BCD的底面是等腰直角三角形，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝BD＝2，E是棱CD上的任意一点，F，G分别是AC，BC的中点.则在下面命题中：①平面ABE⊥平面BCD；②平面EFG∥平面ABD；③四面体FECG体积的最大值是.真命题的个数是(　　)A.0          B.1       C.2          D.3【答案解析】答案为：C解析：①正确，因为AB⊥平面BCD，且AB⊂平面ABE，由面面垂直的判定定理可知平面ABE⊥平面BCD；②错误，若两平面平行，则必有AD∥EF，而点E是棱CD上任意一点，故该命题为假命题；③正确，由已知易得GF⊥平面GCE，且GF＝AB＝1，而S△GCE＝GC·CE·sin45°＝CE≤1，故VF－GCE＝S△GCE·FG≤.故正确的命题为①③.二 、填空题13.如图，已知∠BAC=90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有         ；与AP垂直的直线有       .【答案解析】答案为：AB，BC，AC；AB.解析：∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC.∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC=C，∴AB⊥平面PAC，又∵AP⊂平面PAC，∴AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB.14.α，β是两平面，AB，CD是两条线段，已知α∩β=EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一个条件，就能得出BD⊥EF.现有下列条件：①AC⊥β；②AC与α，β所成的角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF.其中能成为增加条件的序号是　   　.【答案解析】答案为：①③；解析：由题意得，AB∥CD，∴A，B，C，D四点共面.①中，∵AC⊥β，EF⊂β，∴AC⊥EF，又∵AB⊥α，EF⊂α，∴AB⊥EF，∵AB∩AC=A，∴EF⊥平面ABCD，又∵BD⊂平面ABCD，∴BD⊥EF，故①正确；②不能得到BD⊥EF，故②错误；③中，由AC与CD在β内的射影在同一条直线上可知平面ABCD⊥β，又AB⊥α，AB⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥α.∵平面ABCD⊥α，平面ABCD⊥β，α∩β=EF，∴EF⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，∴BD⊥EF，故③正确；④中，由①知，若BD⊥EF，则EF⊥平面ABCD，则EF⊥AC，故④错误，故填①③.15.已知一个直角三角形的三个顶点分别在底面边长为2的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为________.【答案解析】答案为：2解析：记该直角三角形为△ABC，且AC为斜边.不妨令点A与正三棱柱的一个顶点重合，如图，取AC的中点O，连接BO，∴BO=AC，∴当AC取得最小值时，BO取得最小值，即点B到平面ADEF的距离.∵△AHD是边长为2的正三角形，∴点B到平面ADEF的距离为，∴AC的最小值为2.16.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论：①EF∥平面ABCD；②平面ACF⊥平面BEF；③三棱锥E­ABF的体积为定值；④存在某个位置使得异面直线AE与BF所成的角为30°.其中正确的是         .(写出所有正确的结论序号)【答案解析】答案为：①②③④.解析：由正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=知，在①中，由EF∥BD，且EF⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD，得EF∥平面ABCD，故①正确；在②中，如图，连接BD，CF，由AC⊥BD，AC⊥DD1，可知AC⊥平面BDD1B1，而BE⊂平面BDD1B1，BF⊂平面BDD1B1，则AC⊥平面BEF.又因为AC⊂平面ACF，所以平面ACF⊥平面BEF，故②正确；在③中，三棱锥E­ABF的体积与三棱锥A­BEF的体积相等，三棱锥A­BEF的底面积和高都是定值，故三棱锥E­ABF的体积为定值，故③正确；在④中，令上底面中心为O，当E与D1重合时，此时点F与O重合，则两异面直线所成的角是∠OBC1，可求解∠OBC1=30°，故存在某个位置使得异面直线AE与BF成角30°，故④正确.