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    【期末知识大串讲】第二单元《认识三角形和四边形》章节复习巩固—2021-2022学年数学四年级下册重难点讲义精讲精练(原卷+解析)北师大版

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    【期末知识大串讲】第二单元《认识三角形和四边形》章节复习巩固—2021-2022学年数学四年级下册重难点讲义精讲精练(原卷+解析)北师大版

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    这是一份【期末知识大串讲】第二单元《认识三角形和四边形》章节复习巩固—2021-2022学年数学四年级下册重难点讲义精讲精练(原卷+解析)北师大版,文件包含第二单元《认识三角形和四边形》章节复习巩固2021-2022学年数学四年级下册重难点讲义精讲精练解析北师大版docx、第二单元《认识三角形和四边形》章节复习巩固2021-2022学年数学四年级下册重难点讲义精讲精练原卷北师大版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共57页, 欢迎下载使用。
    北师大版四年级下册同步重难点精讲精练
    第二单元 认识三角形和四边形





    知识点一:图形分类

    知识点二:四边形和三角形的性质
    1.三角形具有稳定性,四边形具有不稳定性。
    2.加固物体时,可以利用三角形的稳定性。
    知识点三:三角形分类
    1.根据角的特征,三角形可以分为直角三角形、钝角三角形和锐角三角形。
    2.根据边的特征,三角形可以分为不等边三角形和等腰三角形。
    3. 等腰三角形是两条边相等的三角形,等边三角形是三条边都相等的三角形,所以可以说所有的等边三角形都是等腰三角形,但不能说所有的等腰三角形都是等边三角形。
    知识点四:三角形内角和
    1. 所有三角形的内角和都是180°。每个三角形的所有内角都能拼成一个平角。
    2. 已知三角形两个角的度数可以求出另外一个角的度数,进而确定三角形的形状。
    3.已知三角形中一个角的度数,根据三角形内角和等于180°,可以求出另外两个角的度数和,并根据每个角的大小来判断这个三角形可能是什么三角形。
    知识点五:三角形三边的关系
    1.三角形边的关系:三角形任意两边之和大于第三边。
    2.判断三条线段能否围成三角形最简捷的方法:只要把较短的两条线段的和与最长的线段进行比较即可。
    知识点六:四边形的分类
    1.四边形的分类:平行四边形、梯形和一般的四边形。
    2.两组对边分别平行的四边形是平行四边形。只有一组对边平行的四边形是梯形。
    3. 正方形、长方形都是特殊的平行四边形;正方形是特殊的长方形。
    =
    考点1:四边形的特点及分类
    【典例分析01】一个图形被遮住了一部分(如图),它可能是(  )

    A.平行四边形 B.直角三角形 C.梯形
    【思路引导】根据图示的显示部分,露出的一个角是直角,有一个角是直角的三角形叫做直角三角形,据此解答。
    【完整解答】解:一个图形被遮住了一部分,它可能是直角三角形。
    故选:B。
    【考察注意点】本题考查了直角三角形的特征。
    【典例分析02】(2021秋•大冶市期末)下面的图形中,有4个角的是(  )
    A. B.
    C. D.
    【思路引导】角是由一个顶点和两条边组成的,三角形有3个角,四边形有4个角,图三有2个角,图四有是一个五边形有5个角。据此解答。
    【完整解答】解:有4个角。
    故选:B。
    【考察注意点】本题考查了角的特征及四边形的认识。
    【变式训练1-1】(2021秋•东营区期中)下面的图形中, ②⑧ 是三角形, ③⑤ 是平行四边形, ①⑥ 是梯形。(填序号)
    【思路引导】三角形特征:三条边,三个角;平行四边形的特征:两组对边分别平行;梯形的特征:只有一组对边平行,据此解答。
    【完整解答】解:,②⑧是三角形,③⑤是平行四边形,①⑥是梯形。
    故答案为:②⑧,③⑤,①⑥。
    【考察注意点】此题根据三角形、平行四边形、梯形的特征进行解答。
    【变式训练1-2】选择合适的图形,将序号填在如图的括号里。
    ①平行四边形
    ②梯形
    ③长方形
    ④正方形

    【思路引导】四边形就是四条线段围成的图形,有四条边,四个角,且内角和是360°,平行四边形:图形两组平行的边,梯形:图形只有一组平行的边,长方形和正方形都有四条边,长方形对边相等,正方形四条边相等,长方形和正方形都是特殊的平行四边形。
    【完整解答】解:如图:

    【考察注意点】此题根据正方形、长方形、平行四边形、梯形的特征进行解答。
    考点2:长方形的特征及性质
    【典例分析03】(2021秋•迎江区期末)下面说法不正确的是(  )
    A.长方形相邻的两条边是互相垂直的
    B.零下10°C比零下4℃高6℃
    C.长方形的宽不变,长扩大2倍,面积也扩大2倍
    【思路引导】长方形的四个角是直角,因此相邻的两条边互相垂直;在数轴上从左到右的顺序,就是数从小到大的顺序,零下10℃即﹣10℃,零下4℃即﹣4℃,在数轴上﹣10在﹣4的左边,所以比﹣10℃比﹣4℃低6℃;根据长方形的面积公式:S=ab,将长方形的长扩大到原来的2倍,宽不变,根据积的变化规律,一个因数不变(0除外),另一个因数扩大2倍,积也扩大2倍,由此解答。
    【完整解答】解:A.长方形的四个角是直角,因此相邻的两条边互相垂直,选项说法正确;
    B.零下10℃即﹣10℃,零下4℃即﹣4℃,在数轴上﹣10在﹣4的左边,所以比﹣10℃比﹣4℃低6℃;选项说法错误;
    C.一个长方形的长扩大到原来的2倍,宽不变,面积扩大到原来的2倍,说法正确。
    故选:B。
    【考察注意点】本题考查了长方形的特征、负数大小比较、长方形的面积公式以及运用因数与积的变化规律解决问题。
    【典例分析04】(2021秋•鄂城区期末)同学们,这学期我们又认识了很多图形,它们之间有着密切的联系.比如长方形和正方形的关系可以用下图表示.除此之外,还有(  )之间的关系也可以用这样的图(如图)表示.

    A.A表示平行四边形,B表示四边形
    B.A表示平行四边形,B表示长方形
    C.A表示平行四边形,B表示梯形
    【思路引导】长方形是有1个角是直角的平行四边形,正方形是邻边相等的长方形,即正方形是特殊的长方形,长方形的特殊的平行四边形;由此解答即可.
    【完整解答】解:同学们,这学期我们又认识了很多图形,它们之间有着密切的联系.比如长方形和正方形的关系可以用下图表示.除此之外,还有平行四边形和长方形之间的关系也可以用这样的图(如图)表示.如图:

    故选:B.
    【考察注意点】明确长方形、正方形、平行四边形的含义及特征,是解答此题的关键.
    【变式训练2-1】(2021秋•西华县期末)一个长方形相邻两边的和是30厘米,则长方形的周长是  60 厘米。
    【思路引导】根据长方形的周长=(长+宽)×2,求出周长即可。
    【完整解答】解:30×2=60(厘米)
    答:长方形的周长是60厘米。
    故答案为:60。
    【考察注意点】熟练掌握长方形的周长公式,是解答此题的关键。
    【变式训练2-2】(2021秋•长安区期末)一个长方形中,有  两 组对边互相平行;两条直线相交成  90 °的角,这两条直线就互相垂直。
    【思路引导】长方形的特性是:对边平行且相等;并且有四个角都是90度;垂直的含义:如果两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角时,那么这两条直线互相垂直。
    【完整解答】解:由分析知:一个长方形中,有两组对边互相平行;两条直线相交成90°的角,这两条直线就互相垂直。
    故答案为:两,90。
    【考察注意点】本题主要考查垂直的定义和长方形的特征。
    考点3:正方形的特征及性质
    【典例分析05】(2021秋•灵丘县期末)仔细读下面三句话,一共有(  )句是错误的。
    ①正方形相邻的两条边互相垂直。
    ②两条线段互相平行,那么这两条线段同样长。
    ③同一平面内,两条直线不是互相平行就是互相垂直。
    A.1 B.2 C.3
    【思路引导】根据题意,对各题进行依次分析、进而得出结论。
    【完整解答】解:①正方形相邻的两条边互相垂直,说法正确,因为正方形中的4个角都是直角;
    ②两条线段互相平行,那么这两条线段同样长,说法错误;
    ③同一平面内,两条直线不是互相平行就是相交,所以本题说法错误;
    故选:A。
    【考察注意点】此题涉及知识点较多,应注意平时基础知识的积累。
    【典例分析06】(2021秋•灌阳县期末)正方形有  四 组互相垂直的边,有  两 组互相平行的边。
    【思路引导】依据正方形的特征及性质可知:正方形有两组互相平行的线段,有两组互相垂直的线段,据此解答即可。
    【完整解答】解:正方形有四组互相垂直的边,有两组互相平行的边。
    故答案为:四,两。
    【考察注意点】此题主要考查正方形的特征及性质。
    【变式训练3-1】找规律,填一填。
    摆1个正方形要用4根小棒,摆2个正方形要用7根小棒,摆3个正方形要用10根小棒,那么摆4个正方形要用  13 根小棒,摆20个正方形要用  61 根小棒。

    【思路引导】通过题意和观察图形可知,第一个正方形由四根小棒摆成,以后加三根就可加一个正方形,摆第两个要3×2+1=7(根),摆第三个要3×3+1=10(根),摆第四个要3×4+1=13(根),以此类推,得出规律连着摆n个这样的正方形需要3n+1根小棒。
    【完整解答】解:由图可知:每增加一个正方形就增加3根火柴棒,即摆n个这样的正方形需要3n+1根小棒。
    摆4个正方形要用:4×3+1=13(根)
    摆20个正方形要用:20×3+1=61(根)
    故答案为:13,61。
    【考察注意点】本题考查了图形的变化类问题,主要培养学生的观察能力和总结能力。
    【变式训练3-2】在点子图里画一个长方形,并在这个长方形中画一个最大的正方形。

    【思路引导】根据长方形的四个角都是直角,正方形的四个角都是直角,四条边都相等,画出图形即可。
    【完整解答】解:
    (答案不唯一)
    【考察注意点】熟练掌握长方形和正方形的性质,是解答此题的关键。
    考点4:平行四边形的特征及性质
    【典例分析07】(2021秋•江源区期末)小兰的妈妈在工艺品商店买了一件苏绣挂件(如图),她想把这个挂件的四周装裱上框,这个框架的周长是多少厘米?

    【思路引导】因为平行四边形的对边相等,所以周长=邻边之和×2,据此解答即可。
    【完整解答】解:(50+29)×2
    =79×2
    =158(厘米)
    答:这个框架的周长是158厘米。
    【考察注意点】本题主要考查了平行四边形的周长的应用。
    【典例分析08】(2021秋•固阳县期末)伸缩门是运用了平行四边形的 易变形 特性.
    【思路引导】由平行四边形的特性可知,平行四边形具有不稳定性,所以容易变形,伸缩门的运用了平行四边形易变形的特性.
    【完整解答】解:伸缩门做成平行四边形的形状,是利用平行四边形的易变形的特性.
    故答案为:易变形.
    【考察注意点】此题主要考查了平行四边形的特性是容易变形.
    【变式训练4-1】(2019春•兴县期末)画一个平行四边形和一个梯形.
    【思路引导】先画两条互相平行的线段AB与CD,并且AB=CD,再连接AD与BC,则四边形ABCD就是要画的平行四边形;先画两条互相平行的线段EF与HG,并且EF<HG,再连接EH与FG(注意EH不能平行FG),则四边形EFHG就是要画的梯形.
    【完整解答】解:根据题干分析画图如下:

    【考察注意点】此题主要是考查平行四边形、梯形的性质以及画法.
    【变式训练4-2】(2017秋•鄂托克旗期末)在方格纸上分别画出一个平行四边形和一个梯形,并画出它们的一条高,写清这条高所对应的底.

    【思路引导】根据平行四边形和梯形的意义即可画出一个平行四边形和一个梯形;在平行四边形中,从一条边上的任意一点向对边作垂线,这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高,平行四边形有无数条高,习惯上作平行四边形的高时都从一个顶点出发作一边的垂线,用三角板的直角可以画出平行四形的高;梯形两底间的距离叫做梯形的高,梯形也有无数条高,通常过上底的一个顶点作下底的垂线用三角板的直角可以画出梯形的一条高.
    【完整解答】解:在如图的方格图中画出一个平行四边形和一个梯形,并分别画出它们各自的一条高(如下图).

    【考察注意点】本题是考查画平行四边形和梯形、作平行四边形、梯形的高.注意:根据平行四边形及梯形的意义即可画出平行四边形的梯形;作高用虚线,并标出垂足.
    考点5:梯形的特征及分类
    【典例分析09】(2021秋•龙湾区期末)如图,已知a∥b,所以图中有(  )个梯形。

    A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
    【思路引导】梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形,据此特征选择。
    【完整解答】解:平行线之间的距离相等,据此可知四边形ADEB、四边形BEFC及四边形ADFC都是梯形,一共有3个梯形。
    故选:B。
    【考察注意点】本题考查了梯形的特征。
    【典例分析10】(2021秋•淮北期末)下面说法正确的是(  )。
    A.长方形也是平行四边形
    B.平行四边形是特殊的梯形
    C.有一组对边平行的四边形是梯形
    【思路引导】长方形对边平行且相等,四个角都是直角,因此长方形是特殊的平行四边形;梯形只有一组对边平行,平行四边形有2组对边平行;据此解答。
    【完整解答】解:A.长方形是特殊的平行四边形,说法正确;
    B.平行四边形和梯形概念不同,因此原题说法错误;
    C.只有一组对边平行的四边形叫做梯形,原题说法错误。
    故选:A。
    【考察注意点】本题考查了长方形、平行四边形、梯形的特征。
    【变式训练5-1】(2021秋•西山区期末)在点子图里画一个梯形并画出它的一条高.

    【思路引导】(1)根据梯形的定义即可画图,答案不唯一;
    (2)过梯形上底的一个顶点向下底作垂线,顶点和垂足之间的线段就是梯形形的一条高.
    【完整解答】解:

    【考察注意点】作图形的高时用虚线,并标出垂直符号.
    【变式训练5-2】两个完全相同的直角梯形既能拼成平行四边形,又能拼成梯形。  √ (判断对错)
    【思路引导】两个完全一样的直角梯形可以拼成平行四边形,又能拼成梯形;可以动手操作一下,据此即可解答。
    【完整解答】解:根据题干分析可得:

    所以两个完全相同的直角梯形既能拼成平行四边形,又能拼成梯形;所以原题说法正确。
    故答案为:√。
    【考察注意点】解答此题关键是根据直角梯形、平行四边形的性质,利用图形拼组的方法进行解答。
    考点6:三角形的特性
    【典例分析11】下列物体中没有应用三角形稳定性的是(  )
    A. B.
    C. D.
    【思路引导】根据三角形具有稳定性,四边形不具有稳定性,解答此题即可。
    【完整解答】解:具有稳定性;
    不具有稳定性;
    具有稳定性;
    具有稳定性。
    故选:B。
    【考察注意点】熟练掌握三角形的特性,是解答此题的关键。
    【典例分析12】(2021春•下城区期末)有三条不同长度的丝带,虚线处表示三条丝带的平均长度,想一想,第一条丝带的长度是(  )厘米。

    A.8 B.14 C.17 D.26
    【思路引导】先算出总长度,再减去后两条的长度即可。
    【完整解答】解:14×3﹣20﹣14
    =42﹣20﹣14
    =8(厘米)
    答:第一条丝带的长度是8厘米。
    故选:A。
    【考察注意点】根据平均数的含义和求法,解答此题即可。
    【变式训练6-1】(2022春•岷县月考)用一根10m长的钢管做一个三角形的支架,如果其中一边长2m,另外两条边分别长 4 m和 4 m.(长度取整米数.)
    【思路引导】根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,进行分析、解答即可.
    【完整解答】解:因为周长是10米,其中一条边长2,则另外两条边长10﹣2=8米,所以另外两条边可以是4米和4米;
    故答案为:4,4.
    【考察注意点】此题应根据三角形的特性进行分析解答.
    【变式训练6-2】(2021春•邓州市期末)学校门口的指示牌歪了请你设计一种加固方案画在图中,并说明这样画的理由。
    理由是: 三角形具有稳定性 。

    【思路引导】根据三角形具有稳定性,可在框架里加根木条,构成三角形的形状。
    【完整解答】解:利用三角形具有稳定性的特点,设计如下:

    故答案为:三角形具有稳定性。
    【考察注意点】本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用问题。
    考点7:三角形的分类
    【典例分析13】(2022春•渭城区校级期中)下面图形的分类图中,不正确的是(  )
    A. B.
    C. D.
    【思路引导】三角形按角分类的方法:锐角三角形:最大角小于90°,直角三角形:最大角等于90°,钝角三角形:最大角大于90°;按边分:三条边都不相等的三角形是不等边三角形,有两条边相等的三角形是等腰三角形,有3条边相等的三角形是等边三角形;有4条边的图形是四边形,平行四边形、梯形都是四边形,据此解答。
    【完整解答】解:平行四边形和梯形是四边形,因此它们之间有包含关系。图示错误。
    故选:D。
    【考察注意点】本题考查了三角形及四边形的分类方法。
    【典例分析14】(2021秋•隆阳区期末)150°的角比直角大  60 °,比平角小  30 °.
    【思路引导】根据钝角、直角、平角的含义进行解答:钝角是大于90°小于180°的角;直角是等于90°的角;平角是等于180°的角;据此解答即可.
    【完整解答】解:180°﹣150°=30°
    150°﹣90°=60°
    答:150°的角比直角大 60°,比平角小 30°.
    故答案为:60°,30°.
    【考察注意点】此题考查了钝角、直角、平角的含义,应注意基础知识的理解.
    【变式训练7-1】分别算出下列三角形中∠3的度数,并说明是什么三角形。
    (1)
    ∠3= 40° 
     锐 角三角形
    (2)
    ∠3= 90° 
     直 角三角形
    (3)
    ∠3= 130° 
     钝 角三角形
    【思路引导】三角形内角和是180度,利用180度减去已知两个角的度数,就是第三个角的度数,根据角的度数判断角的种类,锐角大于0度小于90度,直角等于90度,钝角大于90度小于180度,据此解答。
    【完整解答】解:(1)180°﹣68°﹣72°=40°,40°的角是一个锐角,这个三角形是一个锐角三角形;
    (2)180°﹣36°﹣56°=90°,90°是一个直角,这个三角形是一个直角三角形;
    (3)180°﹣20°﹣30°=130°,130°是一个钝角。这个三角形是一个钝角三角形。
    故答案为:40°,锐;90°,直;130°,钝。
    【考察注意点】本题考查了三角形内角和原理和三角形的分类方法。
    【变式训练7-2】(2021春•浉河区期末)根据所给条件连一连。(单位:cm)

    【思路引导】锐角三角形:最大角小于90°的三角形。
    直角三角形:最大角等于90°的三角形。
    钝角三角形:最大角大于90°的三角形。
    等腰三角形:有两条边长度相等的三角形;
    等边三角形:三条边长度都相等的三角形。据此解答。
    【完整解答】解:

    【考察注意点】本题考查了三角形的分类。
    考点8:三角形的内角和
    【典例分析15】(2022•拱墅区模拟)一个三角形,其中有两个角分别是50°和70°,第三个角是(  )
    A.60° B.70° C.80° D.50°
    【思路引导】根据三角形的内角和等于180°,解答此题即可。
    【完整解答】解:180°﹣50°﹣70°=60°
    答:第三个角是60°。
    故选:A。
    【考察注意点】熟练掌握三角形的内角和,是解答此题的关键。
    【典例分析16】(2021秋•闽清县期末)如图是用一副三角尺拼成的,∠3=(  )

    A.120° B.60° C.45°
    【思路引导】一副三角尺中的角有:45度、45度、90度;60度、30度、90°,180°角是由∠1和30°和95°的两个角组成的,据此进行解答。
    【完整解答】解:180°﹣90°﹣30°=60°
    答:∠3=60°。
    故选:B。
    【考察注意点】知道一副三角尺的6个角分别是多少度是解本题的关键。
    【变式训练8-1】(2022春•惠阳区期中)求下列各角的度数。

    ∠1= 60° 
    ∠2= 75° 
    ∠3= 105° 
    【思路引导】因为∠1和120°角组成一个平角,所以∠1=180°﹣120°;三角形的内角和是180度,据此用180分别减去两个角的度数(45°和∠1),即可求出第三个角∠2的度数;因为∠3和∠2角组成一个平角,所以∠3=180°﹣∠2;据此计算即可。
    【完整解答】解:∠1=180°﹣120°=60°
    ∠2=180°﹣60°﹣45°=75°
    ∠3=180°﹣75°=105°
    故答案为:60°,75°,105°。
    【考察注意点】本题考查了三角形的内角和定理以及平角等于180°的理解和应用。
    【变式训练8-2】(2021秋•淮阳区期末)如图,长方形内有一个等腰直角三角形。∠1=17°,∠2= 73 °。

    【思路引导】根据三角形的内角和=180°以及平角=180°分析计算即可求出∠2。
    【完整解答】解:如图:

    ∵∠1=17°
    ∴∠3=90°﹣17°=73°
    ∵∠3+∠4+90°=180°
    ∴∠3+∠4=90°
    又∵∠2+∠4=90°
    ∴∠2=∠3=73°
    故答案为:73。
    【考察注意点】此题重点考查三角形的特征以及内角和=180°的应用。
    考点9:三角形的稳定性
    【典例分析17】(2021秋•长汀县期末)小东做好了灯笼,它的底部如图。如果要再加一根木条使框架更牢固,下面方法中,最好的是(  )

    A. B. C. D.
    【思路引导】根据三角形的具有稳定性进行解答选择。
    【完整解答】解:小东做好了灯笼,它的底部如图。如果要再加一根木条使框架更牢固,下面方法中,最好的是如图:。
    故选:B。
    【考察注意点】本题考查了三角形的稳定性这一个特性的应用。
    【典例分析18】(2021春•蒲城县期中)请你想一个办法,把这个长方形相框变得更稳固。(画一画,并写出理由)

    【思路引导】根据三角形的稳定性,连接一条对角线就行。
    【完整解答】解:

    因为三角形具有稳定性。
    【考察注意点】熟练掌握三角形的稳定性。
    【变式训练9-1】在长方形框架上钉上一根木条,使它不容易变形.(在图上画一画)这应用的是 三角形 稳定性的特点.

    【思路引导】根据三角形的稳定性即可求解.
    【完整解答】解:由于三角形具有稳定性,可作图如下:

    故答案为:三角形.
    【考察注意点】此题主要考查了三角形的稳定性.
    【变式训练9-2】(2022春•上蔡县月考)自行车的车架是三角形,它为的是美观和骑起来舒服。  × (判断对错)
    【思路引导】三角形具有稳定性,据此解答。
    【完整解答】解:自行车的车架是三角形,它为的是稳固。
    故原题说法错误。
    故答案为:×。
    【考察注意点】此题主要考查了三角形具有稳定性,要熟练掌握。
    考点10:作三角形的高
    【典例分析19】(2021春•越秀区期末)填一填,画一画。
    (1)三角形ABC是  直 角三角形;
    (2)看∠1=55°,则∠2= 35 °;
    (3)以AC为底。画出三角形ABC的高。

    【思路引导】(1)这个三角形中有一个角是直角,根据直角三角形按角分类,此三角形是直角三角形。
    (2)在三角形ABC中,已知∠B是直角,∠1=55°,根据三角形内角和定理即可求出∠2的度数。
    过点B作AC边的垂线,D为垂足,顶点与垂足之间的线段BD就是以AC为底的高。
    【完整解答】解:1)三角形ABC是直角三角形;
    (2)看∠1=55°,则∠2=35°;
    (3)以AC为底,画出三角形ABC的高(下图红色虚线段BD)。

    故答案为:直,35。
    【考察注意点】此题考查的知识点:三角形的分类、三角形内角和定理、作三角形的高。
    【典例分析20】(2021春•回民区期末)(1)画出如图三角形指定底边上的高.
    (2)∠1= 30 °.

    【思路引导】(1)经过三角形的顶点(与底相对的点)向对边(底)作垂线,顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高,用三角板的直角可以画出三角形的高.
    (2)根据平角的意义,∠2+55°=180°即可求出∠2的度数,再根据三角形的内角和定理∠1+∠2+25°=180°即可求出∠1的度数.
    【完整解答】解:(1)画出如图三角形指定底边上的高(图中红色虚线).


    (2)因为∠2+55°=180°
    所以∠2=180°﹣55°=125°
    因为∠1+∠2+25°=180°
    所以∠1=180°﹣125°﹣25°=30°.
    故答案为:30.
    【考察注意点】此题考查的知识点:作三角形的高、三角形内角和定理,平角的意义.
    【变式训练10-1】(2021春•盐城期末)画出下面图形底边上的高.

    【思路引导】经过三角形的顶点(与底相对的点)向对边(底)作垂线,顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高,用三角板的直角可以画出三角形的高;在平行四边形中,从一条边上的任意一点向对边作垂线,这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高,平行四边形有无数条高,习惯上作平行四边形的高时都从一个顶点出发作一边的垂线,用三角板的直角可以画出平行四形的高.
    【完整解答】解:画出下面图形底边上的高:

    【考察注意点】本题是考查作三角形、平行四边形的高.注意作高用虚线,并标出垂足.
    【变式训练10-2】(2020春•衡水期末)(1)过三角形ABC的顶点C画三角形的一条高,并标出对应的底.
    (2)测量三角形三条边的长度(保留整厘米),填空.
    AB边长 5 厘米,BC边长 5 厘米,AC边长 3 厘米.由三条边的长度可以断定三角形ABC是 等腰 三角形.已知∠1=65°,那么∠2= 65 °,∠3= 50 °.

    【思路引导】(1)过点C作AC的垂直线段AD,D垂足,AD就是过三角形ABC的顶点C画三角形的一条高,垂足所在的边是底.
    (2)用刻度尺即可分别量出AB、BC、AC的长度.这个三角形中AB=AC,这个三角形是等腰三角形.在这个三角形中∠1的度数已知,根据等腰三角形两个底角相等的特征及三角形的内角和定理即可求出∠2、∠3的度数.
    【完整解答】解:(1)过三角形ABC的顶点C画三角形的一条高(线段CD),并标出对应的底(下图).

    (2)AB边长5厘米,BC边长5厘米,AC边长3厘米.由三条边的长度可以断定三角形ABC是等腰三角形.已知∠1=65°,那么∠2=65°,∠3=180°﹣65°﹣65°=50°.
    故答案为:5,5,3,等腰,65,50.
    【考察注意点】此题考查的知识点有:作三角形的高、度量线段的长度、三角形(按边)的分类、等腰三角形的特征、三角形内角和定理的应用等

    基础练
    一、选择题
    1.现在有三根同样长的木棒(  )围成一个三角形
    A.可以 B.不可以 C.有可能
    【答案】A
    【完整解答】解:现在有三根同样长的木棒可以围成一个三角形。
    故答案为:A。
    【思路引导】三根同样长的木棒可以围成一个等边三角形。
    2.在△ABC中,如果AB=5cm,BC=9cm,那么AC的取值范围是(  )。
    A.AC>4 B.AC<14 C.4<AC<14 D.以上都不对
    【答案】C
    【完整解答】解:5+9=14(厘米)
    9-5=4(厘米)
    4<AC<14。
    故答案为:C。
    【思路引导】三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。
    3.下面是小明为爷爷的菜地设计的篱笆,(  )种方案最稳固。
    A. B. C.
    【答案】C
    【完整解答】解:第三种方法最稳定。
    故答案为:C。
    【思路引导】三角形具有稳定性,四边形具有不稳定性。
    二、判断题
    4.由三条线段所组成的图形叫做三角形。(  )
    【答案】(1)错误
    【完整解答】解:由三条线段首尾顺次相连形成的图形是三角形。原题说法错误。
    故答案为:错误。
    【思路引导】三条线段必须首尾顺次相连,据此解答。
    5.伸缩式大门是根据平行四边形容易变形的特点制成的。(  )
    【答案】(1)正
    【完整解答】解:伸缩式大门是根据平行四边形容易变形的特点制成的,原题干说法正确。
    故答案为:正确。
    【思路引导】平行四边形不稳定,容易变形。
    6.(2022四上·永吉期末)一个梯形最多有一个直角,但它有无数条高。(  )
    【答案】(1)错误
    【完整解答】解:一个梯形最多有两个直角,但它有无数条高。原题说法错误。
    故答案为:错误。
    【思路引导】直角梯形中有两个直角,据此解答。
    三、填空题
    7.三角形有   个顶点,   条边,   个角。
    【答案】3;3;3
    【完整解答】解:三角形有3个顶点,3条边,3个角。
    故答案为:3;3;3。
    【思路引导】由三条线段首尾顺次相连形成的图形是三角形。三角形具有稳定性,四边形具有不稳定性。
    8.(2021四上·市中期末)一个梯形最多有   个直角,最多有   条边相等。
    【答案】2;2
    【完整解答】 一个梯形最多有2个直角,最多有2条边相等。
    故答案为:2;2。
    【思路引导】此题主要考查了梯形的认识,只有一组对边互相平行的四边形是梯形,一个梯形中最多有2个直角,最多有2条边相等。
    9.(2021四下·花都期末)一条红领巾,它的顶角是100°,它的一个底角是    °。
    【答案】40
    【完整解答】解:(180°-100°)÷2
    =80°÷2
    =40°
    故答案为:40。
    【思路引导】它的一个底角的度数=(三角形的内角和-顶角的度数 )÷2。
    四、作图题
    10.(2021四下·沈阳月考)在点子图上画出一个三角形,一个平形四边形和一个梯形。

    【答案】
    【解析】【思路引导】三角形是由三条线段围成的封闭图形;两组对边分别平行的四边形是平行四边形;只有一组对边平行的四边形是梯形。
    五、解答题
    11.对照相要求比较高的时候,摄影师一般用一个三脚支架,为什么不用两脚的或者四脚的呢?你能用数学知识来解释这一现象吗?生活中还有哪些类似的应用呢?

    【答案】解:三角形具有稳定性。例如:三角形屋架、三角形框架、起重机、三角形吊臂等。
    【解析】【思路引导】三角形具有稳定性的特征,也就是三角形不容易变形。为了稳定,好多设计都是利用了三角形的稳定性。
    12.你能判断出下面哪些图形是三角形吗?(是三角形的在括号里画“√”,不是的画“×”)

    【答案】
    【解析】【思路引导】由3条线段首位顺次连接组成的封闭图形叫做三角形。三角形三边是三条线段,有3个顶点。
    13.在图形中填出各部分的名称。
    (1)
    这是(  )梯形
    (2)
    这是(  )梯形
    【答案】(1)解:
    这是一个等腰梯形。
    (2)解:
    这是直角梯形。
    【解析】【思路引导】只有一组对边平行的四边形叫作梯形。两条平行线短边是上底、长边是下底,上底到下底的距离是梯形的高,不平行的两条边是梯形的腰。两条腰长相等的梯形是等腰梯形,一条腰垂直底边的梯形是直角梯形。
    六、应用题
    14.图中有哪些图形?

    【答案】三角形,平行四边形,梯形
    【完整解答】一共有三种图形
    【思路引导】考察了四边形的分类、特点及识别
    15.猜猜看这是什么三角形

    【答案】直角三角形
    【完整解答】只要有直角,就一定是直角三角形
    【思路引导】考察了三角形的分类
    七、综合题
    16.把下面各三角形的编号填在相应的横线上。

    (1)   是锐角三角形;   是等腰三角形
    (2)   是直角三角形;   是等边三角形
    (3)   是钝角三角形
    【答案】(1)④⑥⑨;②④⑥⑦⑧⑨
    (2)①③⑤⑧;⑥
    (3)②⑦
    【完整解答】解:(1)④⑥⑨是锐角三角形;②④⑥⑦⑧⑨是等腰三角形;
    (2)①③⑤⑧是直角三角形;⑥是等边三角形;
    (3)②⑦是钝角三角形。
    故答案为:(1)④⑥⑨;②④⑥⑦⑧⑨;(2)①③⑤⑧;⑥;(3)②⑦。
    【思路引导】(1)三个角都是锐角的三角形是锐角三角形;两腰相等的三角形是等腰三角形;
    (2)有一个角是直角的三角形是直角三角形;三条边都相等的三角形是等边三角形;
    (3)有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。
    17.(2021四下·商丘期末)已知∠1,∠2,∠3是三角形的内角。
    (1)∠1=38°,∠2=29°,∠3=   ,这是一个   三角形。
    (2)∠1=43°,∠2=47°,∠3=   ,这是一个   三角形。
    【答案】(1)113°;钝角
    (2)90°;直角
    【完整解答】解:(1)180°-38°-29°
    =142°-29°
    =113°,这是一个钝角三角形;
    (2)180°-43°-47°
    =137°-47°
    =90°,这是一个直角三角形。
    故答案为:(1)113°;钝角;(2)90°;直角。
    【思路引导】(1)∠3=三角形内角和-其余两个内角的度数,有一个角是钝角的三角形是钝角三角形;
    (2)∠3=三角形内角和-其余两个内角的度数,有一个角是直角的三角形是直角三角形。
    提高练
    一、选择题
    1.小明现在有4根小棒,长度分别为3cm、4cm、7cm、8cm。选其中三根组成一个三角形,有(  )种选法。
    A.1 B.2 C.3 D.4
    【答案】B
    【完整解答】解:可以选择:①3cm、7cm、8cm,②4cm、7cm、8cm2种选法。
    故答案为:B。
    【思路引导】三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。
    2.已知三条线段的比是:a.1:2:3;b.1:4:6;c.3:3:6;d.6:6:10;e.3:4:5。其中可构成三角形的有(  )组。
    A.1 B.2 C.3 D.4
    【答案】B
    【完整解答】解:a:1+2=3,3=3,不能构成三角形;
    b:1+4=5,5<6,不能构成三角形;
    c:3+3=6,不能构成三角形;
    d:6+6=12,12>10,能构成三角形;
    e:3+4=7,7>5,能构成三角形,其中可构成三角形的有2组。
    故答案为:B。
    【思路引导】三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。
    3.有一个三角形的三条边的长度都是整数,周长为13,且有一条边长为5,则这个三角形可能的最大边长是(  )。
    A.3 B.4 C.5 D.6
    【答案】D
    【完整解答】解:13-5-1
    =8-1
    =7(厘米)
    7-1=6(厘米)
    故答案为:D。
    【思路引导】三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。
    二、判断题
    4.一个角是60°的等腰三角形一定是等边三角形。(  )
    【答案】(1)正
    【完整解答】 一个角是60°的等腰三角形一定是等边三角形,此题说法正确。
    故答案为:正确。
    【思路引导】三角形的内角和是180°,等腰三角形的两个底角相等,一个角是60°的等腰三角形,不管这个角是顶角还是底角,剩下的两个角都是60°,三个角都是60°的三角形是等边三角形,据此判断。
    5.(2022四上·临江期末)在梯形中每一组对边的长度都不相等。(  )
    【答案】(1)错误
    【完整解答】解:在等腰梯形中两条腰相等。
    故答案为;错误。
    【思路引导】两腰相等的梯形是等腰梯形。
    6.(2021四下·沭阳期末)任意的两个三角形可以拼成一个平行四边形。(  )
    【答案】(1)错误
    【完整解答】任意两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。
    故答案为:错误。
    【思路引导】必须是任意两个完全一样的三角形才可以拼成一个平行四边形;如果不是完全一样的三角形才不能拼成一个平行四边形。
    三、填空题
    7.长为2、5、8、9的四根木条,选其中三根组成三角形,有   种选法。
    【答案】2
    【完整解答】解:可以选择:①2、8、9,② 5、8、9,共2种选法。
    故答案为:2。
    【思路引导】三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。
    8.已知两根小棒的长度分别为6厘米和10厘米,第三根小棒的长度一定比   厘米短,比   厘米长,才能拼成一个三角形。
    【答案】16;4
    【完整解答】解:10+6=16(厘米),10-6=4(厘米),
    第三根小棒的长度一定比16厘米短,比4厘米长,才能拼成一个三角形。
    故答案为:16;4。
    【思路引导】两边之差<三角形第三边的取值范围<两边之和。
    9.一个梯形最多有   个直角,最多有   条边长度相等。
    【答案】2;2
    【完整解答】解:一个梯形最多有2个直角,最多有2条边长度相等。
    故答案为:2;2。
    【思路引导】直角梯形有2个直角,等腰梯形有2条边长度相等。
    10.数一数。
       个三角形
       个三角形
    【答案】13;12
    【完整解答】解:9+3+1
    =12+1
    =13(个)
    3+5+1+2+1
    =8+1+2+1
    =9+2+1
    =11+1
    =12(个)。
    故答案为:13;12。
    【思路引导】(1)三角形的总个数=9个小三角形+四个小三角形合成的一个稍大的三角形×3个+整个大的三角形;
    (2)三角形的总个数=3个小三角形+两个小三角形合成的一个稍大的三角形×5个+三个小三角形合成的一个稍大的三角形×1个+四个小三角形合成的一个稍大的三角形×2个+整个大的三角形。
    四、作图题
    11.将下面的图形分割成一个锐角三角形、一个钝角三角形和两个直角三角形。

    【答案】
    【解析】【思路引导】如图所示把平行四边形分成了左边一个锐角三角形,中间两个直角三角形,右边一个钝角三角形。
    12.(2022四上·椒江期末)操作题。下图小正方形的边长是1cm。

    (1)量一量,∠ABC是   °
    (2)找到点D,与图上点A、B、C构成平行四边形ABCD,并连接AD和CD。
    (3)过B点画平行四边形AD边上的高BE,并标上垂足E。
    (4)如果将B点向   平移   格,则四边形ABCD就变成了直角梯形:如果将D点向   平移   格,则四边形ABCD就变成了等腰梯形。
    【答案】(1)125
    (2)
    (3)
    (4)右;2;左;4
    【完整解答】解:(1)∠ABC=125°;
    (4)如果将B点向右平移2格,则四边形ABCD就变成了直角梯形:如果将D点向左平移4格, 则四边形ABCD就变成了等腰梯形。
    故答案为:(1)125;(4)右;2;左;4。
    【思路引导】(1)量角器量角的方法:把量角器的中心和角的顶点重合,0°刻度线和角的一条边重合;另一条边所对应的量角器上的度数就是这个角的度数;
    (2)依据平行四边形的定义找出D点,两组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形;
    (3)平行四边形作高的方法:从底边对边的一个顶点向底边作一条垂线,这点和垂足之间的距离就是平行四边形的高;
    (4)有一个角是直角的梯形是直角梯形;两腰相等的梯形是等腰梯形。
    13.下面的图形是平行四边形吗?怎样改才能成为平行四边形?画一画。

    【答案】解:

    不是平行四边形,改后图形如上。(改法不唯一,有多种方法)
    【解析】【思路引导】平行四边形的对边平行且相等,据此解答。
    14.下图是用9根火柴棒摆成的3个等边三角形,现在请只移动其中的3根,使3个等边三角形变成5个等边三角形,并画出示意图。

    【答案】
    【解析】【思路引导】如图所示:4个小的等边三角形,再加上1个大的等边三角形,共5个等边三角形。
    五、解答题
    15.一个三角形被一张长方形的纸遮住,只露出一个角(如图)。小明说这个三角形是锐角三角形,你同意他的观点吗?说出你的想法。

    【答案】解:不同意,因为每个三角形都至少有两个锐角,所以仅凭一个锐角无法判断是什么三角形。
    【解析】【思路引导】三个角都是锐角的三角形是锐角三角形;有一个角是直角的三角形是直角三角形;有一个角是钝角的三角形是钝角三角形;每个三角形中至少有2个锐角,仅仅凭借一个锐角,无法判断是什么三角形。
    16.王叔叔给一块等腰三角形菜地围篱笆,量得这个三角形菜地的底边和腰分别长5米和4米。请你帮王叔叔算算至少需要多长的篱笆。
    【答案】解:5+4+4=13(米)
    答:王叔叔至少需要13米长的篱笆。
    【完整解答】解:5+4×2
    =5+8
    =13(米)
    答:王叔叔至少需要13米长的篱笆。
    【思路引导】当三角形的腰是4米的时候,用篱笆最短;至少需要篱笆的长度=腰长×2+底边长。
    17.已知一个等腰三角形顶角是40°,那么它的一个底角是多少度?
    【答案】解:(180°-40°)÷2
    =140°÷2
    =70°
    答:它的一个底角是70度。
    【解析】【思路引导】三角形的内角和是180°,等腰三角形的两个底角相等,(三角形的内角和-顶角的度数)÷2=等腰三角形的一个底角度数,据此列式解答。
    六、应用题
    18.用一根长36米的铁丝做一个等边三角形,每条边的长应该是多少米?
    【答案】解:36÷3=12(米)
    答:每条边的长应该是12米.
    【解析】【思路引导】36米就是三角形的周长,等边三角形的三条边长度相等,因此用三角形的周长除以3即可求出一条边的长度.
    19.一个平行四边形的周长是56厘米,其中一条边长是10厘米。平行四边形另外三条边分别是多少厘米?
    【答案】解:(56-10×2)÷2=18(厘米)
    10厘米,18厘米,18厘米
    【完整解答】另一条边:
    (56-10×2)÷2
    =(56-20)÷2
    =36÷2
    =18(厘米)
    答:另外三条边分别是10厘米,18厘米,18厘米.
    【思路引导】平行四边形的对边相等,用(平行四边形的周长-一条边的长度×2)÷2=另一边的长度,据此列式解答.
    20.有一个边长是70米的等腰三角形框架,底边长30米,腰长是多少米?
    【答案】解:(70-30)÷2=40÷2=20(米)答:腰长是20米.
    【解析】【思路引导】等腰三角形两条腰的长度相等,因此用三角形的周长减去底边的长度再除以2即可求出腰的长度.
    七、综合题
    21.星期日,张宁要去李明家一起复习功课。

    (1)张宁去李明家有   条路线可以走。
    (2)怎样走最近?在图中将这条路涂色。
    (3)张宁所走的最近的路,用线段的知识来解释:两点之间   。用三角形的边的知识来解释:   。
    【答案】(1)3
    (2)解:走中间的路最近。

    (3)线段最短;三角形两边之和大于第三边
    【完整解答】解:(1)张宁去李明家有3条路线可以走;
    (3)张宁所走的最近的路,用线段的知识来解释:两点之间线段最短。用三角形的边的知识来解释:三角形两边之和大于第三边。
    故答案为:(1)3;(3)线段最短;三角形两边之和大于第三边。
    【思路引导】(1)从张宁家可以直接去李明家,也可以先去体育馆再去李明家,还可以先去张红家再去李明家;
    (2)给中间那条路涂色即可;
    (3)两点之间线段最短。三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。

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