2021重庆市南开中学高二上学期期末考试数学试题含答案

www.ks5u.com重庆南开中学2020-2021学年第一学期高2022级期末考试

数学试题

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、单项选择题：本题共8小题．每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将答案填写在答题卡相应的位置上．

1. 若（），则 （    ）

 A.  B.  C.  D.

2. 若复数，其中为虚数单位，则（    ）

 A． B． C． D．

3. 设为两个平面，则的充要条件是（    ）

 A．内有无数条直线与平行           B．内有两条相交直线与平行

 C．平行于同一条直线               D．垂直于同一平面

4. 设函数的图象如右图所示，则导函数的图象可能为（    ）

 A．  B．

 C．  D．

5. 平面内有两组平行线，一组有条，另一组有条，且这两组平行线相交，则可以构成不同的平行四边形个数为（    ）

 A.  B.  C.  D.

6. 在的展开式中，含项的系数是（    ）

 A.  B.  C.  D.

7. 一个几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积，

则（    ）

 A.           B.

 C.          D.

8. 已知函数，则不等式的解集为（    ）

 A.   B.       C.  D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．

9. 我国古代著名的数学著作中，《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《孙丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《缀术》和《缉古算经》，称为“算经十书”. 某老师将其中的《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五经算术》、《缀术》和《缉古算经》6本书分给5名数学爱好者，其中每人至少一本，则不同的分配方法的种数为（    ）

 A.        B.         C.         D.

10. 函数有两个极值点，则下列结论正确的是（    ）

 A.   B. 在区间上单调递减

 C. 若，则只有一个零点 D. 存在，使得

11. 定义在上的函数，其导函数满足，则下列不等关系正确的是（    ）

A.   B.  

C.   D.

12. 在六棱锥中，底面为正六边形，顶点在底面的射影恰为正六边形的中心，记与、所成角分别为，与平面、平面所成角分别为，则下列结论一定正确的是（    ）

A.   B.

C.   D.

第Ⅱ卷(非选择题  共90分)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应位置上．

13. 已知函数，若的导数，则         .

14. 用五个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数不在相邻数位上，则满足条件的五位数共有          个.（用数字作答）

15. 已知圆锥的顶点和底面圆周均在半径为的球的球面上，且圆锥母线，则该圆锥的高         .

16. 已知函数的图象与轴交于不同两点，则实数的取值范围为          .

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填写在答题卡相应的位置上．

17.（本小题满分10分）

已知的展开式中，所有项的二项式系数之和为.

（1）求的值；

（2）求展开式中的常数项.

18.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，底面为菱形，是棱的中点.

（1）求证：平面；

（2）若平面，，，求点到平面的距离.

19.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）当时，求函数的最小值；

（2）若在上单调递增，求实数的取值范围.

20.（本小题满分12分）

在三棱柱中，侧面，，，.

（1）求证：；

（2）若为棱的中点，且与平面所成角的正弦值为，求二面角的大小.

21.（本小题满分12分）

已知分别为椭圆左、右顶点，为椭圆上位于第一象限的一点.

（1）记直线的斜率分别为，求证：为定值；

（2）过原点作，，其中点在椭圆上. 记、的面积分别为、，求的取值范围.

22.（本小题满分12分）

已知函数，，.

（1）若函数在处的切线与的图象相切，求的值；

（2）当时，记函数的最小值为.

① 求证：；

② 求函数的最小值.

高2022级高二（上）期末考试数学试题参考答案

一、单项选择题

1~8   DBBC   DABA

二、多项选择题

9. AD              10. ACD              11. ABC                12. BC

三、填空题

13．              14.               15．                 16．

四、解答题

17.（1）由，得．

（2）第项：，

由，得，∴展开式中的常数项．

18.（1）连接交于，连接，

∵底面为菱形，∴为中点，又∵是的中点，∴，

又平面，平面，∴平面．

 （2）∵为菱形，，，∴，，∴，

∵平面，，为的中点，∴，∴，

设点到平面的距离为，由，

有，得，解得，

∴点到平面的距离为．

19．（1）当时，，，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

∴函数的最小值．

（2）∵在上单调递增，

∴，恒成立，即，

设，则，

∴在上单调递增，，∴，

∴实数的取值范围是．

20．（1）∵，，，

∴，有，∴，

∵平面，∴，∴平面，∴．

（2）∵平面，，∴，，两两垂直，

以为坐标原点，，，为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，

设，则，，，，

，，，

设与平面所成角为，∵，平面的法向量，

∴，解得，

设平面的法向量为，解得，

设平面的法向量为，解得，

∴，∴二面角的大小为．

21．（1）设，其中，，

又，，∴，，

为定值．

（2）设，，则，，

由题意，直线斜率必然存在，∴可设，

代入，有，

∴，，，①

由，得，

∴，

∴将①代入，化简得，②

，

而，故的取值范围为．

22．（1），，

∴在处的切线为，即，

设与的交点横坐标为，则，

由，解得，故的值为2．

（2）①当时，函数，，

∵在上单调递增，，，

∴存在唯一，使得，即，∴，

当时，，∴在单调递减，

当时，，∴在单调递增，

∴，

∵，∴．

②函数，，

∵在上单调递增，，，

∴存在唯一，使得，即，

∴，∴，

又∵函数在上单调递增，且，∴，

当时，，∴在单调递减，

当时，，∴在单调递增，

∴，

故函数的最小值为．